Основные задачи на прямую и плоскость

Аналитическая геометрия на плоскости. Задачи на прямую.

Аналити́ческая геоме́трия — раздел геометрии, в котором геометрические фигуры и их свойства исследуются средствами алгебры.

В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые применённый Декартом в 1637 году. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела. Такой метод «алгебраизации» геометрических свойств доказал свою универсальность и плодотворно применяется во многих естественных науках и в технике^[1]. В математике аналитическая геометрия является также основой для других разделов геометрии — например, дифференциальной, алгебраической, комбинаторной и вычислительной геометрии.

Аналитическая геометрия на плоскости

Основные формулы

· Расстояние между точками A(x ₁ , y ₁ ) и B(x ₂ , y ₂ )

· Координаты точки С(x, y), которая делит отрезок, соединяющий точки A (x ₁ , y ₁ ) и B (x ₂ , y ₂ ), в отношении
, λ ≠ -1

· Координаты середины отрезка АВ

· Условие принадлежности трёх точек (x ₁ , y ₁ ), (x ₂ , y ₂ ), (x₃, y₃) одной прямой

· Площадь треугольника с вершинами (x ₁ , y ₁ ), (x ₂ , y ₂ ), (x₃, y₃) (знак выбирается так, чтобы площадь была неотрицательной)

Прямая на плоскости

· Общее уравнение прямой

· Уравнение прямой, проходящей через точку (x ₀ , y ₀) перпендикулярно нормальному вектору {A;B}

· Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (x ₀ , y ₀) параллельно вектору {l;m}

Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (x ₀ , y ₀) параллельно вектору {l;m}
, t ∈ (-∞, ∞)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x ₁ , y ₁ ) и (x ₂ , y ₂ )

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, где — угол наклона прямой к оси Оx

Уравнение прямой в отрезках, где (a;0) и — координаты точек пересечения прямой с осями Оx и Оy
, a ≠ 0, b ≠ 0

Нормальное уравнение прямой, где р — расстояние от начала координат до прямой, α — угол между осью Оx и перпендикуляром к прямой, проходящим через начало координат

Нормальный вид общего уравнения прямой; знак нормирующего множителя противоположен знаку С

Расстояние от точки (x ₀ , y ₀) до прямой Ax+By+C=0

Координаты точек пересечения двух прямых
A ₁ x+B ₁ y+C ₁ =0 и A ₂ x+B ₂ y+C ₂ =0

Координаты точек пересечения прямых y=k ₁ x+b ₁ и y=k ₂ x+b ₂

· Условия параллельности прямых, заданных в общем виде A ₁ x+B ₁ y+C ₁ =0, A ₂ x+B ₂ y+C ₂ =0 и в виде y=k ₁ x+b ₁, y=k ₂ x+b ₂

· Условия перпендикулярности прямых, заданных в общем виде A ₁ x+B ₁ y+C ₁ =0, A ₂ x+B ₂ y+C ₂ =0 и в виде y=k ₁ x+b ₁, y=k ₂ x+b ₂

· Острый угол α между двумя прямыми, заданными в общем виде A ₁ x+B ₁ y+C ₁ =0, A ₂ x+B ₂ y+C ₂ =0 и в виде y=k ₁ x+b ₁, y=k ₂ x+b ₂
,
,
k ₁ k ₂ ≠ -1, , если k ₁ k ₂ = -1.

Предметом аналитической геометрии являются кривые и поверхности, которые изучаются при помощи алгебры. В основе исследований лежит метод координат, который определяет положение точки в пространстве с помощью чисел — координат этой точки. Каждая кривая или поверхность описывается одним или несколькими уравнениями, связывающими координаты точки, принадлежащей данному объекту. Геометрические свойства кривых или поверхностей описываются также уравнениями, связывающими координаты с некоторыми постоянными величинами — параметрами, которые в свою очередь определяют положение, форму, размер и другие характеристики объектов. Эти факты позволяют изучать геометрические объекты аналитическим (и в частности алгебраическим) методом.

При изучении геометрических объектов мы будем опираться на понятие вектора. Векторная величина характеризуется не только числовым значением, но и направлением в пространстве. Естественным изображением вектора служит направленный отрезок со стрелкой на одном из концов.

Основные задачи на прямую и плоскость

Данная задача прям таки вертится в умах человечества, и встречается в практических задачах чаще всего. Когда я приступил к разработке пространственной геометрии, то, начиная с урока Уравнение плоскости, мне даже было немного неловко, что посетители сайта обманывались в своих ожиданиях. Многие задачи уже были, а вот этой ещё нет….

Рассмотрим прямую , которая пересекает плоскость . Требуется найти точку, в которой прямая пересекает плоскость: . Хотел разобрать задачу в общем виде, но передумал… лучше традиционный практический пример: