А теперь давайте вспомним, что такое геометрическая прогрессия.
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего (Рисунок 1).
Рисунок 1
В результате, мы получили последовательность сторон квадратов 
образующих геометрическую прогрессию со знаменателем 
.
И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,
n=15, 
;
n=20, 
;
n=21, 
.
Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников. (рисунок 2)
Рисунок 2
Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.
То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.
Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.
Определение:
|
|
|
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.
Используя данное определение можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию: 
(Рисунок 3)
Рисунок 3
Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1. 
Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.
Рассмотрим сумму n первых слагаемых. 
По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна
Если n неограниченно возрастает, то 
или 
. Поэтому 
, т.е. 
.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности 
Например, для прогрессии 
, где 
,
имеем 
Так как 
то 
Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно находить по формуле
Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля
Пример 1: 
Воспользуемся калькулятором:
Найдем значение данного выражения с точностью до единиц.
|
|
|
Округлим полученные результаты до десятых:
Тогда получаем:
Найдем значение данного выражения с точностью до десятых.
Округлим полученные результаты до сотых:
3
Тогда получаем:
Найдем значение данного выражения с точностью до сотых.
Округлим полученные результаты до тысячных:
32
Тогда получаем:
и т.д.
Пример 2.
Давайте выясним, является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой:
а) 
; б) 
Решение:
. Найдем q.
; 
; 
Следовательно, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.
б)
Следовательно, данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Домашнее задание: прочитать §2, стр. 7, составить краткий конспект занятия
Выполненное задание отправлять на электронную почту: tatiefremenko@yandex.ua
или страницу вКОНТАКТЕ - https://vk.com/id592773352
Индивидуальные консультации по тел.: 0660627421, 0721813966
Дата добавления: 2020-11-23; просмотров: 104; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!