Типы упражнений на преобразование выражений

Занятие по математике № 22 Группа 1АБ Дата проведения: 26.10.20г.

Тема: Преобразование рациональных и иррациональных выражений

Цель занятия: повторить понятия рационального и иррационального выражения, научиться их преобразовывать с помощью математических правил и свойств.

Материал для самостоятельного изучения

Повторение.

Преобразование рациональных выражений просмотреть по ссылке: https://yandex.fr/video/preview?text=10%20класс%20математика%20преобразование%20рациональных%20и%20иррациональных%20выражений%20конспект&path=wizard&parent-reqid=1603603982598093-175984511829682590400107-production-app-host-vla-web-yp-263&wiz_type=vital&filmId=13593999440775652070

Преобразование иррациональных выражений просмотреть по ссылке:

https://yandex.fr/video/preview/?text=10+класс+математика+преобразование+рациональных+и+иррациональных+выражений+конспект&path=wizard&parent-reqid=1603603982598093-175984511829682590400107-production-app-host-vla-web-yp-263&wiz_type=vital&filmId=11118271071343633175&url=http%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3DsSe1ew36t7o

Тождественные преобразования выражений – это одна из содержательных линий школьного курса математики. Тождественные преобразования широко используются при решении уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств. Кроме того тождественные преобразования выражений способствуют развитию сообразительности, гибкости и рациональности мышления.

Теоретические основы тождественных преобразований

Выражениями в алгебре называют записи, состоящие из чисел и букв, соединенных знаками действий.

; ; ; – алгебраические выражения.

В зависимости от операций различают рациональные и иррациональные выражения.

Алгебраические выражения называют рациональными, если относительно входящих в него букв а, b, с, … не выполняется никаких других операций, кроме операций сложения, умножения, вычитания, деления и возведения в целую степень.

Алгебраические выражения, содержащие операции извлечения корня из переменной или возведения переменной в рациональную степень, не являющуюся целым числом, называются иррациональными относительно этой переменной.

Тождественным преобразованием данного выражения называется замена одного выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве.

В основе тождественных преобразований рациональных и иррациональных выражений лежат следующие теоретические факты.

1. Свойства степеней с целым показателем.

2. Формулы сокращенного умножения:

; ;

где а, b, с – любые действительные числа;

, где а¹0, х1 и х2 – корни уравнения .

3. Основное свойство дроби и действия над дробями:

, где b¹0, с¹0;

; ;

; .

4. Определение арифметического корня и его свойства.

Типы упражнений на преобразование выражений

Существуют различные типы упражнений на тождественные преобразования выражений. Первый тип: явно указано то преобразование, которое необходимо выполнить.

Например.

1. Представьте в виде многочлена .

Решение:

При выполнении указанного преобразования использовали правила умножения и вычитания многочленов, формулу сокращенного умножения и приведение подобных слагаемых.

2. Разложите на множители: .

Решение:

При выполнении преобразования использовали правило вынесения общего множителя за скобку и 2 формулы сокращенного умножения.

3. Сократите дробь:

Решение:

При выполнении преобразования использовали вынесение общего множителя за скобку, переместительный и сократительный законы, 2 формулы сокращенного умножения, действия над степенями.

4. Вынесите множитель из-под знака корня, если а³0, b³0, с³0: .

Решение:

Использовали правила действий над корнями и определение модуля числа.

5. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби .

Решение:

Второй тип упражнений – это упражнения, в которых явно указано то главное преобразование, которое необходимо выполнить. В таких упражнениях требование обычно сформулировано в одном из видов: упростить выражение, вычислить. При выполнении таких упражнений необходимо прежде всего выявить, какие и в каком порядке необходимо выполнить преобразования, чтобы выражение приняло более компактный вид, чем данное, или получился числовой результат.

Например

7. Упростить выражение:

Решение:

, если а³0, b³0, а¹b.

Использовали формулы сокращенного умножения, правила сложения дробей и умножения иррациональных выражений, тождество , определение модуля числа, понятие области допустимых значений переменных в выражении.

8. Вычислить

Решение:

Использовали операцию выделения полного квадрата, тождество и определение модуля числа.

Третий тип упражнений на тождественные преобразования – это упражнения, в которых требуется доказать справедливость данного равенства. При выполнении таких заданий можно либо левую часть преобразовывать к правой, либо правую к левой, либо одновременно преобразовывать левую и правую части, либо с помощью преобразований установить, что разность левой и правой частей равна нулю. При этом упражнения третьего типа могут быть двух видов: условные тождества (заданы условия, которым должны удовлетворять переменные в выражении) и безусловные (обычные).