Принадлежность точки и прямой плоскости.
Лекция № 6.
Взаимное положение точек, прямых, плоскостей.
Пересечение прямой с плоскостью, поверхностью.
Цель лекции: познакомиться со способами определения взаимного положения точек, прямых, плоскостей и научиться решать задачи на пересечение прямой с плоскостью, поверхностью.
1. Взаимное положение точки и прямой.
Точка принадлежит прямой, если её проекции лежат на одноимённых проекциях этой прямой.
Задача. Дан отрезок АВ прямой общего положения. Определить расположение точек С, Д, К, Е относительно этого отрезка (рис. 1).
Рисунок 1 – Графическая часть к задаче
С над АВ – поскольку её фронтальная проекция С2 не принадлежит фронтальной проекции АВ, а находится выше её;
D под АВ – поскольку фронтальная проекция точки D ниже фронтальной проекции прямой АВ;
Е перед АВ – поскольку горизонтальная проекция точки Е находится перед горизонтальной проекцией прямой АВ;
F за АВ – поскольку горизонтальная проекция F находится за горизонтальной проекцией АВ;
К ⸦ АВ – так как горизонтальная К1 и фронтальная К2 проекции точки К принадлежат одноименным проекциям прямой АВ.
Взаимное положение прямых.
Параллельные прямые. Если две прямые параллельны между собой, проекции этих прямых параллельны (рис.2а). У параллельных прямых точки пересечения находятся в ∞. Особый случай представляют собой прямые параллельные одной из плоскостей проекций., например, фронтальные и горизонтальные проекции профильных прямых параллельны, но для оценки их взаимного положения необходимо знание третьей проекции.
|
|
|
Пересекающиеся прямые. Если прямые линии пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой в точке, которая является проекцией точки пересечения этих прямых (рис. 2б). Проекции их общей точки пересечения лежат на одной лини связи;
Скрещивающиеся прямые. Скрещивающиеся прямые линии не пересекаются и не параллельны между собой. На рис. 2в изображены две скрещивающиеся прямые общего положения а и в: хотя одноименные проекции и пересекаются между собой, но точки их пересечения не могут быть соединены линией связи, следовательно эти прямые не пересекаются между собой т.к. не имеют общей т. пересечения.
а б в
Рисунок 2 – Взаимное положение прямых (а – параллельные прямые; б – пересекающиеся прямые; в- скрещивающиеся прямые)
Задача.Определить положение прямой а относительно прямой в скрещивающихся прямых.
В решении задачи используем способ конкурирующих точек. Точки пересечения скрещивающихся прямых не лежат на одной линии связи. Графическая часть задания и её решение показано на видео.
|
|
|
Теорема о проекции прямого угла.
Угол между двумя прямыми проецируется без искажения если плоскость этого угла параллельна плоскости проекций.
Теорема. Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна к ней, то его ортогональная проекция будет тоже прямым углом (рис.3).
Сторона АВ прямого угла АВС параллельна плоскости П1. Если мы сторону ВС заключим в плоскость α, то АВ перпендикулярна плоскости α, так как АВ перпендикулярна двум прямым этой плоскости ВС и ВВ1. Прямые АВ и ее проекция А1В1 параллельны, а потому А1В1 также перпендикулярна плоскости α. Следовательно А1В1 перпендикулярна В1С1.
Рисунок 3 – Проекции прямого угла
Задача. Из т. К опустить перпендикуляр на горизонтальную прямую АВ (рис. 4).
Рисунок 4 – графическая часть задачи
Решение задачи показано на видео.
Принадлежность точки и прямой плоскости.
Плоскость может быть задана в пространстве:
- 3-мя точками, не лежащими на одной прямой;
- прямой и точкой вне нее;
- 2-мя пересекающимися прямыми;
- 2-мя параллельными прямыми;
|
|
|
- точкой и вектором перпендикулярным плоскости.
На чертеже мы можем задать плоскость отсеком ограниченным многоугольником.
Задача.Задан отсек плоскости общего положения в виде ∆ АВС. Определить принадлежность т. D, E заданной плоскости (рис. 5).
Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, лежащей в этой плоскости.
Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, лежащие в этой плоскости.
Рисунок 5 – Решение задачи
Проведём через фронтальные проекции точек А2, D 2, Е2 прямую, пересекающую сторону плоскости В2С2 в точке 12. Построим горизонтальную проекцию данной прямой. Горизонтальная проекция Е1, точки Е, не принадлежит данной прямой, следовательно точка Е не принадлежит плоскости ∆ АВС. Горизонтальная проекция D 1 принадлежит горизонтальной проекции прямой А1, следовательно точка D принадлежит плоскости ∆ АВС.
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Через любую точку пространства можно провести бесконечное множество прямых, параллельных данной плоскости.
Главные линии плоскости.
Среди прямых линий, которые могут быть расположены в плоскости, особое место занимают прямые четырех направлений:
|
|
|
- горизонтали - прямые лежащие в плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций (горизонтали одной плоскости параллельны между собой) (рис. 6);
- фронтали – прямые, расположенные в плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций (рис. 6);
- профильные прямые – прямые, расположенные в плоскости и параллельные профильной плоскости проекций (рис. 6);
- линии наибольшего ската – прямые проведенные по плоскости перпендикулярно к горизонталям.
Перечисленные линии называют главными линиями плоскости. На любой плоскости можно провести бесчисленное множество главных линий.
Рисунок 6 – Положение главных линий плоскости (f – фронталь, h – горизонталь,
р – профильная прямая)
Задача. Плоскость общего положения задана ∆ АВС. Построить в этой плоскости линии уровня и линии наибольшего ската.
Горизонтальная проекция n 1 линии наибольшего ската n перпендикулярна горизонтальной проекции h 1 горизонтали плоскости (рис. 7). Линейный угол между линией наибольшего ската n и его проекцией n 1 является углом наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций.
Рисунок 7 – Решение задачи
Дата добавления: 2020-11-15; просмотров: 176; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!