Методы вычисления ранга матрицы.
Метод упрощения матрицы с помощью элементарных преобразований. Упрощения производятся с использованием свойств ранга матрицы. Как и в случае с определителями, можно, например, с помощью 1-й строки занулить все элементы первого столбца кроме одного – верхнего. Далее с помощью второй строки занулить все элементы второго столбца кроме двух верхних и т.д., пока матрица не приведётся к ступенчатому виду.
Метод окаймления. Ищется минор 
порядка 
, заведомо отличный от нуля. Затем вычисляются все окаймляющие (т.е. содержащие ) миноры 
порядка. Если среди них найдётся хоть один, отличный от нуля, то ищутся окаймляющие миноры следующего порядка. Процедура продолжается до тех пор, пока для какого-то, отличного от нуля минора 
-го порядка, все окаймляющие миноры ни окажутся равными нулю. Тогда ранг матрицы равен нулю.
Примеры.
1. Найти ранг и указать какой-нибудь базисный минор матрицы
Решение. Используем свойства ранга матрицы. Для удобства преобразуем матрицу так, чтобы в первой строке самый крайний слева элемент был равен единице. Для этого вычтем первую стоку из второй и преобразованную вторую строку поменяем местами с первой.
Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:
.
Третья строка равна второй и её можно вычеркнуть согласно свойству 6. Таким образом, исходная матрица в результате эквивалентных преобразований переходит в следующую:
|
|
|
.
В этой матрице имеются миноры второго порядка, отличные от нуля, например, минор 
. Этот минор можно выбрать в качестве базисного. Следовательно, ранг исходной матрицы равен двум: 
.
2. Найти ранг матрицы:
.
Решение.
=> 
=> 
=>
получаем из , вычитая из второй строки первую, а из третьей строки первую, умноженную на -2; из третьей строки вычитаем вторую – получаем 
; подобным образом получаем нули и над главной диагональю. Ясно, что 
.
Свойства определителей.
Определение. Транспонированиематрицы – такое преобразование матрицы, при котором строки становятся столбцами с сохранением порядка следования.
Свойства определителей.
1. При транспонировании матрицы определитель не меняется.
2. При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет только знак.
3. При умножении строки (столбца) на некоторое число определитель умножается на это число.
4. Если все соответствующие элементы квадратных матриц одного порядка одинаковы, за исключением элементов одной i-ой строки, то
.
5. Величина определителя не изменяется, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.
|
|
|
6. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.
7. Определитель равен нулю, если
- все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю,
- две строки (столбца) одинаковы,
- две строки (столбца) определителя пропорциональны.
Дата добавления: 2020-11-15; просмотров: 72; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!