Влияние собственного веса конструкции

 

Из всех видов распределенной нагрузки n наиболее часто встречающейся является собственный вес конструкции:

n = ρgA ,

где ρ – плотность материала; g – ускорение свободного падения.

Для бруса постоянного сечения на рис. 7.2, а

 u(0)= 0, N(0) = F + ρgAl . В сечении х имеем

N = F + ρgAl –ρgAx = F + ρgA (l–x),

 Перемещение точки С (х = l ) определяет удлинение бруса:

    Рис. 7.2              Эпюры N и u представлены на рис. 7.2, б, в.

                        

Композитный брус

 

Брус, состоящий из различных материалов, называется композитным. Будем полагать, что соединение материалов по всей длине бруса обеспечивает их совместную работу. При этом сече­ния остаются плоскими, а линейная деформация отдельного волок­на равномерная. Чтобы сохранить эти предположения для торцевых сечений, нагрузку можно осуществить, например, через жесткую обойму. Рассмотрим брус, состоящий из различных материалов на рис.7.3, а. При постоянстве деформации ε_х напряжения распре­деляются по сечению неравномерно на рис.7.3, б, что объясняется различием модулей продольной упругости составляющих материа­лов. Очевидно,

   откуда

    Тогда

      Рис. 7.3                   т.е. напряжения распределя­ются прямо про-

                                           порционально модулям упругости.

При определении переме­щений и удлинений можно использовать формулы для

 одно­родного бруса с заменой ЕА на  

 

Поверочные и проектные расчеты

 

Смысл поверочного расчета по методу допускаемых напряже­ний состоит в сопоставлении фактических напряжений в опасном сечении бруса с допускаемыми:

.

 Здесь и в дальнейших поверочных и проектных расчетах внут­ренние усилия берутся по модулю. Это неравенство называется условием безопасной прочности при растяжении (сжатии).

Фактические напряжения не должны отклоняться от допускае­мых более, чем на 5%. Большее перенапряжение недопустимо с точ­ки зрения безопасной прочности, а недонапряжение приводит к пе­рерасходу материала.

Обратные задачи решаются при заданном допускаемом напряжении. В первом случае заданными считаются также размеры поперечного сечения, а определяется допускаемая продольная сила:

Во втором случае при известной нагрузке определяется пло­щадь поперечного сечения

после чего вычисляют его размеры. Если их количество больше единицы, необходимы дополнительные соотношения между ними (на­пример, отношение высоты прямоугольника к ширине).

Наиболее экономичным является брус равного сопротивления. Он имеет переменную по длине площадь поперечного сечения, по­добранную так, что напряжения во всех сечениях одинаковы: σ_x = σ_adm.

Возьмем брус, подверженный растяжению силой F и собственным весом (рис. 7.4). Площадь нижнего сече­ния А₀ определяется из условия F /А₀= σ_adm:

A₀= F / σ_adm.

Чтобы установить закон изменения площади сечения по высоте бруса, возьмем два смеж­ных сечения. Приращение площади dA(x) при переходе от одного сечения к другому дол­жно воспринять вес ρgA(x)dx элемента бруса между сече-ниями при том же напряжении:

Рис. 7.4        

                                                           

откуда

После интегрирования получаем

Подставим значение А(х) = А_о       при х = 0:

ln А₀+ С = 0, и С =– ln A₀.

Окончательно

А(х) = A₀exp[(ρgx)/σ_adm] .

Криволинейность границы бруса удорожает его изготовление. На практике чаще применяют стержни ступенчатые или в виде усеченного конуса.

Приведенный проектный расчет является приближенным. Пред­полагалось, что по всему сечению бруса передаются только нор­мальные напряжения; на самом деле у краев сечения напряжения будут направлены по касательной к боковой поверхности.

Установлено, что формулу напряжений для бруса постоянного сечения можно применять с достаточной точностью для бруса пе­ременного сечения, если угол конусности α ≤ 12º.

Важно заметить, что, рассматривая условия безопасной проч­ности, мы не предполагали отклонения от определенной начальной формы равновесия стержня. Эта проблема будет рассматриваться в гл. 13.

Помимо условия прочности, требуется выполнение условия жесткости:

                                              N/(EA) ≤ ε_adm.

Решения обратных задач имеют вид:

N_adm ≤ EA ε_adm , A ≥ N/( E ε_adm) ,  E ≥ N/( A ε_adm).

Легко заметить, что первые две формулы в случае совпадения величин Eε_adm и σ_adm будут тождественны соответствующим форму­лам, полученным из условия прочности, а в случае несовпадения –отличаться на постоянный множитель. Третья формула определяет новый тип проектной задачи – подбор материала с необходимыми упругими свойствами.

При расчете по предельным состояниям вместоσ_adm принима­ются расчетныесопротивления растяжению(R_t) или сжатию (R_c).

                                              7.6 Практикум

Примеры

 

1. Для стального бруса (Е=2 МПа) построить эпюры продольных сил, нор-

мальных напряжений в поперечных сечениях бруса и перемещения этих сече-

ние.

Решение. Продольную силу в поперечном сечении определим проектируя внешние силы, приложенные справа от рассматриваемого сечения на ось бруса:

           N_DL=0; N_BC=60 кH;

           N_AB=60+120=180 кH.

По полученным значениям строим эпюру продольных сил N (рис.б)

В поперечных сечениях бруса воз-никают нормальные напряжения.

                σ_DL= =0;

   σ_CD= = = =

                                                                        =12 Па=120 МПа;

     σ_ВС= = = 50 МПа;        σ_АВ= = = 150 МПа.

По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений σ (рис.в).

    Поперечные сечения бруса под действием внешних сил смещаются впра-во относительно неподвижного сечения А. Величина  смещения сечения, ра- положенного на расстоянии х от левого конца бруса равна деформации уча-стка длинной х:

                               на участке АВ при (0 )

_АВ= = =0.75

                              на участке ВС при (0 )

_ВС= =0.75 +

                               на участке АВ при (0 )

_CD= _ВС + =10³⁺ =

Участок DL не деформируется (N_DL=0, следовательно _DL=0), но пере-мещается в следствии деформаций участков, расположенных слева.

     Во всех полученных выражениях переменная х входит в первой степени, а следовательно зависимость между  и х линейная. Это позволяет по расчётным перемещениям сечений В, С, D, L построить эпюру перемещений  (в размерности мм).

 Поскольку _I= = =ε_i·х, то относительная продольная деформация ε_i на каждом участке представляет собой коэффициент, соответ-ствующий углу наклона эпюры  на каждом участке. Сравнивая эпюры σ и эпюры  можно наблюдать, что чем больше значения σ, тем круче линия эпюры  (при условии Е=const), а на участке DL – эпюра перемещений гори-зонтальна.

 

---

Дата добавления: 2020-11-15; просмотров: 84; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

⇐ Предыдущая12

---

Мы поможем в написании ваших работ!