Растяжение (сжатие) прямого бруса постоянного сечения

РАСТЯЖЕНИЕ СЖАТИЕ

Основные предпосылки

Брус и стержень моделируют обширный класс конструктивных элементов. Излагая в главе 2 метод сечений применительно к брусу, мы установили для него систему внутренних сил в поперечном сечении и соответствующие виды деформаций.

Три группы уравнений, содержащиеся в главах 4, 5, позволяют в пределах принятых допущений составить представление о напряженно-деформированном состоянии брусьев. Наблюдения и эксперименты создали предпосылки для упрощения их расчета. В числе дополнительных гипотез в первую очередь следует назвать гипотезу плоских сечений – гипотезу Бернулли, впервые высказанную швейцарским ученым-математиком Я.Бернулли.

Возьмем для большей наглядности процесса деформирования резиновый брус с нанесенным рядом поперечных прямых линий на рис. 7.1, а. Растянув брус, мы увидим, что расстояния между линиями увеличились, но сами они, оставаясь прямыми, не изменили поперечного направления (рис. 7.1, б). Остались неразрывными контуры обозначенных сечений. Можно предполо-жить также, что и внутри бруса будет такая же картина, т.е. поперечные сече-ния, плоские и нормальные к его оси до

Рис. 7.1 деформации, остаются плоскими и нор-мальными к оси и после деформации.

Наблюдения показывают отклонения от описанной ситуации на небольших участках бруса вблизи точек приложения сил. В том случае, когда внешние силы равномерно распределены по площади торцов (рис. 7.1, в), гипотеза плоских сечений выполняется строго (становится законом плоских сечений).

Гипотеза сохраняет силу при чистом изгибе бруса, когда он нагружен изгибающими моментами по торцам, а также при кручении бруса круглого сечения. В последнем случае сечение, кроме того, представляют как жесткое целое (гипотеза плоских и жестких сечений). Гипотеза неприменима для отдельных категорий тонкостенных стержней при определенных видах деформаций.

Возникает вопрос о влиянии упомянутых отклонений (неплоских сечений) на характер напряженного состояния. В связи с этим обратимся к принципу

Сен-Венана, который гласит: в точках тела на некотором расстоянии Н от грузовой площадки, достаточно большом по сравнению с ее размерами, напряжения не меняются от замены заданной нагрузки другой, статически эквивалентной (т.е. имеющей ту же равнодействующую в смысле ее величины, направления и точки приложения).

Размеры поперечного сечения стержня малы по сравнению с его длиной. Поэтому любую нагрузку на торцах стержня можно заменить другой статически эквивалентной нагрузкой. Такая замена отразится лишь на напряжениях в небольшой зоне стержня длиной Н, прилегающей к его торцам. Длина зон Н принимается равной наибольшему размеру поперечного сечения.

Следовательно, картина напряжений в случае отклонения от гипотезы плоских сечений (рис. 7.1, б) ощутимо не меняется в основном объеме бруса по сравнению со случаем ее строгого соблюдения (рис. 7.1, в). Это обстоятельство значительно упрощает установление закономерностей деформирования брусьев и стержней и расширяет область их применимости.

Отметим, что применительно к брусьям гипотеза плоских сечений заменяет собой условия совместности деформаций, представляемые уравнениями Сен-Венана.

Еще одна гипотеза принимается для брусьев и стержней, в которых возникают только нормальные напряжения. Предполагается, что волокна не оказывают давления друг на друга, т.е. напряжения в направлении, перпендикулярном оси бруса (стержня), равны нулю. Следовательно, каждый слой испытывает одноосное растяжение или сжатие.

В дальнейшем брус будем представлять состоящим из волокон, под которыми будем понимать материальные линии со сколь угодно малым поперечным сечением, которое считается недеформируемым.

Растяжение (сжатие) прямого бруса постоянного сечения

Установим единый план постановки и решения прямой задачи для бруса (стержня): задаются условия для деформаций продольных волокон бруса; записываются зависимости, присущие данному виду деформации; выделяется основное неизвестное, имеющее непосредственную связь с другими искомыми величинами, после чего выполняется решение.

Для чистого растяжения задаются следующие условия: 1) сечения остаются плоскими, т.е. все волокна, параллельные оси бруса, деформируясь одинаково, испытывают только растяжение, деформации сдвига отсутствуют, откуда согласно физическому закону следует, что касательные напряжения и

соответствующие им внутренние усилия в поперечных сечениях бруса (попе-речные силы и крутящие момент) равны нулю; 2) растяжение каждого из воло-кон равномерное, т.е. в пределах волокна (и всего бруса) ε_x = const, ε_y = ε_z = – νε_x = const; 3) физический закон – закон Гука для одноосного напряженного состояния; из него вытекает, что σ_х= const; как следствие, изгибающие момен-ты при совмещении центра приведения с центром тяжести обращаются в нуль; 4) задана величина продольной силы N.

Для определения характеристик растянутого бруса ε_х, u и σ_х имеем зависимости:

, ε_х= ∂ u /∂х , σ_х= Еε_х .

За основное неизвестное, через которое выражаются остальные искомые величины, целесообразно принять ε_x. Так как перемещение u – функция одной переменной х, то

ε_х= du / dx ,

откуда

Предположим, что все волокна одинаково закреплены, т.е. имеют одинаковые начальные перемещения u(0). Из условия: при х = 0 u = u(0) следует, что С = u(0), и следовательно, имеем

u = ε_хх + u(0) .

Удлинение бруса на участке 0–х равно

λ_x = ε_x x .

При х = l, где l – длина бруса, имеем

λ = ε_x l .

Интегральное уравнение при σ_x= const принимает вид

N = σ_x А,

откуда

σ_х = N / A .

Обращаясь к физическому закону, находим

ε_х= N /(ЕА)

и окончательные выражения для перемещений и удлинений:

u = ( Nx )/( EA ) + u(0), λ _x = ( Nx )/( E А), λ = ( Nl )/( EA ).

При сжатии продольная сила N имеет отрицательное значение.

Анализ полученного решения приводит к следующим выводам:

1. На основании статического граничного условия на торцах постоянное напряжение трансформируется в равномерно распределенную нагрузку Х_р=σ_х, которая и соответствует рассмотренной деформации чистого растяжения.

2. Напряжение σ_х прямо пропорционально N и обратно пропорционально А. Следовательно, при заданной продольной силе напряжение можно уменьшить, увеличив площадь поперечного сечения.

3. Удлинение бруса обратно пропорционально величине ЕА, называемой жесткостью при растяжении. Жесткость определяют модуль упругости и гео -метрическая характеристика сечения.

Дата добавления: 2020-11-15; просмотров: 113; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!