Построение математических моделей дискретных объектов

Модель народонаселения

Интересно, что построить математическую модель часто совсем нетрудно. Нередко для этого используются самые простые и легкообъяснимые предположения. Опишем, как это можно сделать, на одном почти реальном примере. Представим себе следующую картину. Середина XVIII в. центральная Европа, приход в глубинке, церковь, прихожане -- жители окрестных деревень, приходский священник замечает, что храм стал тесноват для богослужений: возросло число прихожан. Священник размышляет: если число прихожан будет увеличиваться и в будущем, то придется строить новую церковь, для чего понадобятся средства, и немалые.

Священник понимает, что срок, за который должен быть построен храм, и его размеры во многом зависят от того, как имено будет изменяться число окрестных жителей. И он решает попытаться рассчитать это. Попробуем и мы изложить возможный ход его рассуждений, пользуясь современными обозначениями и языком.

Обозначим через х количество прихожан к концу n-го года. Их численность через год, т.е. к концу (n + 1)-го года, естественно обозначить через х_n+1. Тогда изменение численности за этот год можно описать разностью

Оно происходит по двум естественным причинам -- люди рождаются и умирают (для простоты будем считать, что вирус миграций эту местность тогда еще не поразил). Определить число родившихся и число умерших за год по приходским книгам особого труда не составляет. Подсчитывая число родившихся и умерших в разные годы, священник решает сопоставить полученные числа и d₁,...,d_kс общим числом прихожан за эти годы x₁,..,x_k,и замечает, что отношения x_1,...,x_kгод от года различаются весьма мало. То же касается и отношений

Для простоты расчетов будем считать эти отношения постоянными и обозначим их через б и в соответственно. Тем самым число родившихся в n-м году оказывается равным , число умерших - вx_n, а изменение численности по естественным причинам составляет +бx_n - вx_n.

В результате мы приходим к соотношению ?x_n=бх_n - вx_nили подробнее:

x_n+1=x_n+бx_n-вx_n

Положим г=1 + б - в. Тогда интересующая нас формула примет вид

х_n+1=гx_n(1).

Модель построена.

Попробуем разобраться теперь с тем, что же получилось, т. е. проанализировать построенную модель. Возможны три случая:

1) г>1 (д=б-в>0 - рождается больше, чем умирает) и численность прихожан растет год от года,

2) г=1 (д=б-в=0 - умирает столько же, сколько рождается) и численность прихожан год от года остается неизменной,

3) г<0 (д=б-в<0 - умирает больше, чем рождается) и численность прихожан неуклонно снижается.

Так как побудительным мотивом для построения модели было желание узнать, как быстро будет расти число прихожан, начнем с рассмотрения случая 1.

Случай 1. Итак, численность прихожан растет. Но как, насколько быстро? Здесь самое время кратко вспомнить поучительную историю (печальную притчу) о безвестном изобретателе шахмат. Говорят, что игра очень понравилась богатому и всесильному магарадже, который тут же решил наградить изобретателя и щедро предложил выбрать вознаграждение ему самому. Тот, как рассказывают, смахнув фигуры с шахматной доски, положил на 1-ю клетку одно пшеничное зернышко, на 2-ю - два зернышка, на 3-ю - четыре зернышка, на 4-ю - восемь зернышек (рис. 2.1) и предложил магарадже, чтобы он отдал распоряжение слугам выкладывать зерна пшеницы на другие клетки шахматной доски по предложенному закону, т. е. так: 1,2,4,8,16,…,2^63.

Рис. 2.1. Задача о шахматной доске и награде магараджи

Магараджу эта простая просьба почти обидела, и он согласилсявыполнить ее далеко не сразу. Но изобретатель настаивал. Магараджа приказал. И слуги тут же кинулись исполнять это "легкое"задание. Нужно ли говорить, что выполнить распоряжение магараджи им не удалось. Дело в том, что общее количество зерен пшеницына шахматной доске должно было быть равным 2⁶⁴ - 1, что намного превышает выращиваемое сейчас во всем мире за год. Закончим притчу совсем коротко: магараджа оказался в непривычном для себя положении - он прилюдно дал обещание и не смог его выполнить. Виновного, впрочем, тут же и нашли. Возможно, именно поэтому история и не сохранила имени изобретателя шахмат. Попробуем, однако, изобразить на графике, как быстро растет число зерен в каждой следующей клетке, для большей наглядности соединяя соседние точки (рис. 2.2).

Рис. 2.2-2.3. Экспоненциальное изменение численности

Правило, предложенное изобретателем шахмат, X_n+1=2x_nявляется частным случаем формулы (1) при г=2 и, так же как и она, описывает закон, следуя которому мы получаем последовательность чисел, образующих геометрическую прогрессию. При любом г>1 картинка, иллюстрирующая изменение x_n, имеет похожий вид - x_n будет расти экспоненциально. В 1820 г. в Лондоне Т.Р. Мальтусом была опубликована работа "Principles of political economy considered with a view to their practical application" (в русском переводе - "Опыт о законе народонаселения ..." Т. 1-2. СПб., 1868), в которой, в частности, говорилось о том, что в силу биологических особенностей людей население имеет тенденцию размножаться по закону геометрической прогрессии,

x_n=1=гx_n, г>1,

в то время как средства существования могут увеличиваться лишь по закону арифметической прогрессии, y_n+1=y_n+d, d>0. Такое различие в скорости изменения величин, непосредственно связанных с проблемами выживаемости популяции (рис. 2.3), не могло остаться незамеченным и вызвало довольно жесткую критику и сильно политизированную полемику в соответствующих кругах. Попробуем извлечь из самого факта критики полезный для нас вывод об адекватности построенной модели (1). Разумеется, при попытке упрощенного описания ситуации некоторыми обстоятельствами приходится пренебрегать, считая их несущественными. Однако единого взгляда на то, что именно существенно, а что не очень, по-видимому, нет. Можно, например, не обращать внимания на то, что начался дождик. Но согласитесь, что одно дело пробежать под накрапывающим дождем сотню метров, и совсем другое - часовая прогулка под таким дождем без зонта. Нечто аналогичное мы наблюдаем и здесь: при расчете на 3-4 года вперед формула (1) работает достаточно хорошо, но долгосрочный прогноз, основанный на ней, оказывается ошибочным.

Важный вывод. Предлагая построенную или выбранную вами модель, вы непременно должны указать пределы, в которых ею можно пользоваться, и предупредить о том, что нарушение этих ограничений может привести (и, скорее всего, приведет) к серьезным ошибкам. Коротко говоря, у каждой модели есть свой ресурс. Покупая блузку или рубашку, мы привыкли к наличию меток, на которых указаны максимально допустимая температура глажения, дозволенные виды стирки и т. п. Это, конечно, ни в коей мере не означает, что вам запрещается, взяв докрасна раскаленный утюг, пройтись им раз-другой по ткани. Такое вы сделать можете. Но вот захотите ли вы носить блузку или рубашку после такого глажения? Случай 2. Численность населения не изменяется (рис. 2.4). Случай 3. Население вымирает (рис. 2.5).

Рис. 2.4. График народонаселения при неизменяющейся численности

Рис. 2.5. График народонаселения при убывающей численности

Мы умышленно весьма подробно остановились на описании модели народонаселения, во-первых, потому, что она является одной из первых моделей подобного рода, и, во-вторых, чтобы на ее примере показать, через какие основные этапы проходит решение задачи построения математической модели.

Замечание 1. Очень часто, описывая эту модель народонаселения, привлекают ее дифференциальный вариант: x'=дx (здесь х=x(t) - зависящая от времени численность популяции, х' - производная по времени, д - постоянная величина).

Замечание 2. При больших значениях х конкурентная борьба за средства существования приводит к уменьшению д, и эта жесткая модель должна быть заменена более мягкой моделью: x'=д(x)x, в которой коэффициент д зависит от численности населения. В простейшем случае эта зависимость описывается так:

д(x)=a-bx

где а и b - постоянные числа, а соответствующее уравнение принимает вид

x'=ax-bx²

И мы приходим к более сложной, так называемой логистической модели, которая описывает динамику популяции уже достаточно хорошо. Анализ логистической кривой (рис. 2.6) весьма поучителен, и его проведение может быть любопытно читателю. Логистическая модель хорошо описывает и другие процессы, например эффективность рекламы.

Рис. 2.6. Логистическая кривая

2.2 Модель хищник - жертва

Выше рассказывалось о беспрепятственном размножении популяции. Однако в реальных обстоятельствах популяция сосуществует с другими популяциями, находясь с ними в самых разных взаимоотношениях. Здесь мы коротко рассмотрим антагонистическую пару хищник - жертва (это может быть и пара рысь - заяц и пара божья коровка - тля) и попытаемся проследить, как может изменяться со временем численность обеих взаимодействующих сторон. Популяция жертвы может существовать сама по себе, в то время как популяция хищника -- только за счет жертвы. Обозначим численность популяции жертвы через х, а численность популяции хищника через у. В отсутствие хищника жертва размножается согласно уравнению x'=ax, a>0, а хищник в отсутствие жертвы вымирает по закону y'=-вy, в>0. Хищник съедает тем больше жертвы, чем ее больше и чем более многочислен он сам. Поэтому при наличии хищника численность жертвы меняется по закону

x'=ax-гxy, г>0

Съеденное количество жертвы способствует размножению хищника, что можно записать так: y'=-вy+дxy, д>0.

Таким образом, мы получаем систему уравнений

x'=ax-гxy

y'=-вy+дxy

причем x?0, y?0.

Модель хищник - жертва построена.

Как и в предыдущей модели, наибольший интерес для нас представляет точка равновесия (х*,у*), где х* и у* - отличное от нуля решение системы уравнений

ax-гxy=0

-вy+дxy=0

Или x(a-гy)=0, y(-в+дx)=0

Эта система получается из условия стабильности численности обеих популяций x'=0, y'=0

Координаты точки равновесия - она является точкой пересечения прямых

a-гy=0 (2)

-в+дx=0 (3)

- легко вычисляются:

, (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Решение системы уравнений

Начало координат О(0,0) лежит в положительной полуплоскости относительно горизонтальной прямой, задаваемой уравнением (2), а относительно вертикальной прямой, задаваемой уравнением (3), в отрицательной полуплоскости (рис. 2.8). Тем самым первая четверть (а нас интересует только она, так как х>0 и у>0) разбивается на четыре области, которые удобно обозначить так: 1-(+,+), 2-(-,+), 3-(-,-), 4-(+,-).

Рис. 2.8. Разбиение области решений на квадранты

Пусть начальное состояние Q(x₀,y₀) находится в области IV. Тогда выполнены неравенства б-гy₀>0, -в+дx₀<0? из которых следует, что скорости x' и у' в этой точке должны быть разных знаков, x'>0, y'<0 и, значит, величина х должна возрастать, а величина убывать.

Подобным же образом анализируя поведение х и у в областях 2, 3 и 4, получим в итоге картину, изображенную на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Изменение x и y по квадрантам

Тем самым начальное состояние Q приводит к периодическому колебанию численности, как жертвы, так и хищника, так что по прошествии какого-то времени система вновь возвращается в состояние Q (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Цикличность колебаний численности хищника и жертвы

Как показывают наблюдения, несмотря на свою простоту, предложенная модель качественно верно отражает колебательный характер численности в системе хищник - жертва (рис. 2.11).

Рис. 2.11. Колебания систем Заяц - Рысь и Тля - Божья коровка

Реальные наблюдения. Вмешиваться в действия непонятных нам законов природы иногда довольно опасно - применение инсектицидов (если только они не уничтожают насекомых практически полностью) в конечном счете приводит к увеличению популяции тех насекомых, численность которых находится под контролем других насекомых-хищников. Случайно попавшая в Америку тля поставила под угрозу все производство цитрусовых. Вскоре туда же был завезен ее естественный враг - божья коровка, которая немедленно принялась за дело и сильно сократила популяцию тли. Чтобы ускорить процесс уничтожения, фермеры применили ДДТ, но в результате количество тли увеличилось, что, глядя на рис. 2.11, нетрудно предугадать.

Модель мобилизации

Под термином политическая, или социальная, мобилизация понимается вовлечение людей в партию или в число ее сторонников, в какое-либо общественное движение и т. п. Вследствие того что текущий уровень мобилизации тесно связан с прошлым ее уровнем, а будущая мобилизация зависит от сегодняшних успехов пропагандистской кампании, ясно, что при построении соответствующей модели необходимо учитывать временной фактор. Иными словами, нужно понимать, что искомая модель должна быть динамической.

Постановка задачи. Отразить логику изменения уровня мобилизации в данном регионе между двумя соседними моментами времени, скажем за месяц (за год, неделю, день и т. п.).

Построение модели. Примем за единицу ту часть населения, для которой мобилизация данного типа имеет смысл. Пусть M_n - доля мобилизованного населения в момент времени t_n=n. Тогда доля немобилизованного населения будет равна 1-M_n (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Соотношение мобилизованного и немобилизованного населения

За месяц уровень мобилизации может измениться по двум основным причинам:

1) часть населения удалось привлечь дополнительно; ясно, что эта величина тем больше, чем выше доля еще несагитированного населения на момент t_n=n, и поэтому можно считать ее равной б(1-М_n), (здесь б>0 -- коэффициент агитируемости, постоянный для данного региона);

2) часть населения убыла (по разным причинам); ясно, что это уменьшает долю сагитированного населения тем больше, чем выше была эта доля на момент t_n=n, и поэтому потери, связанные с выбытием, можно считать равными (здесь в>0 - постоянный коэффициент выбытия). Подчеркнем, что числовые параметры б и в отражают пропорциональное изменение интересов, взглядов и намерений соответствующих частей населения рассматриваемого региона. Таким образом, изменение уровня мобилизации за единицу времени равно разности между долей населения, привлеченного дополнительно, и долей выбывшего сагитированного населения:

Это и есть уравнение процесса мобилизации. Модель мобилизации построена.

Последнее соотношение легко преобразуется к следующему виду:

M_n+1=б+гM_n, (4)

где г=1-б-в.

Замечание. Вспомогательный параметр г не может быть больше 1 вследствие того, что исходные параметры б и в положительны. Полученное уравнение (4) называется линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами.

С уравнениями подобного рода можно сталкиваться в разных, по большей части простейших вариантах.

Один из них (при г=1) описывает правило, по которому каждый член последовательности, начиная со второго, получается из предыдущего путем сложения с некоторым постоянным числом: M_n+1=б+M_n,т. е. арифметрическую прогрессию.

Второй (при б=0) описывает правило, по которому каждый член последовательности, начиная со второго, получается из предыдущего путем умножения на некоторое постоянное число: M_n+1=гM_n,т. е. геометрическую прогрессию.

Предположим, что начальная доля привлеченного населения М₀ известна. Тогда уравнение (4) легко решается (для определенности считаем, что ). Имеем:

Применение модели.

Попробуем проанализировать возможности этой (построенной на основании простейших соображений) модели.

Начнем со случая |г|<1.

Для этого перепишем последнее соотношение в виде , где через M^* обозначена следующая величина:

Замечание. Тот же результат получается, если в уравнении (4) положить M_n+1=M_n=M^*.

В самом деле, тогда получим M^*=б+гM^*,откуда

Найденная величина M^* не зависит от начального значения M₀, выражается через исходные параметры б и в по формуле

а следовательно подчиняется условию 0<M*<1.

Для придания полученной формуле большей наглядности вновь воспользуемся методом координат.

На рис. 2.13 показаны области возможных значений вспомогательного параметра г, на рис. 2.14 - исходных параметров б и в, а на рис. 2.15-17 - соответствующие им наборы значений М_n при разных n, М₀ и М* (для удобства восприятия соседние точки (n,М_n) и (n+l,M_n+1) соединены прямолинейными отрезками).

Случай г<1 проиллюстрирован на рис. 2.18.

Конечно, на этих рисунках представлена качественная картина. Но ничто не мешает взять вполне конкретные значения величин М₀, б и в и подробно рассчитать соответствующую ситуацию.

Рис. 2.13.области возможных значений г 2.14.исходные параметры б и в

Рис. 2.15 - 2.16

Рис. 2.17 2.18. Случай г<1

Например, для , , имеем

, , , ,…(рис. 2.19)

Рис. 2.19. Мобилизация при , ,

Интересно отметить, что построенная модель, несмотря на простоту подходов и рассуждений, довольно хорошо отражает реальные процессы. Так, предложенная модель мобилизации использовалась для изучения динамики числа голосов, поданных за демократическую партию в Лейк Кантри (США) в 1920-1968 гг., и оказалось, что она достаточно хорошо описывает качественные характеристики процесса мобилизации.

Модель гонки вооружений

Рассмотрим конфликтную ситуацию, в которой могут оказаться две страны, для определенности назовём страны X и Y.

Обозначим через x=x(t) расходы на вооружение страны X и через y=y(t) расходы на вооружение страны Y в момент времени .

Предположение 1. Страна X вооружается, опасаясь потенциальной угрозы войны со стороны страны Y, которая в свою очередь, зная о росте затрат на вооружение страны X, также увеличивает свои расходы на вооружение. Каждая страна изменяет скорость роста (или сокращения) вооружений пропорционально уровню затрат другой. В простейшем случае это можно описать так:

x'=бy,

y'=вx,

где б и в - положительные постоянные.

Однако написанные уравнения имеют очевидный недостаток - уровень вооружения ничем не лимитируется. Поэтому правые части этих уравнений нуждаются в естественной корректировке.

Предположение 2.

Чем больше текущий уровень расходов страны на оборону, тем меньше скорость его роста. Это позволяет внести в предыдущую систему следующие изменения:

x'=бy-гx

y'=вx-дy

если же эта страна не угрожает существованию данной. Обозначим соответствующие претензии через a и b (а и b -- положительные постоянные). В случае если постоянные a и b отрицательны, их можно назвать коэффициентами доброй воли. Основываясь на всех трех предположениях, в результате получаем следующую систему уравнений:

x'=бy-гx+a

y'=вx-дy+b

Модель гонки вооружений построена.

Решением полученной системы являются функции x(t) и y(t), определяемые для данных начальных условий x₀?0 и y₀?0 (начального состояния гонки вооружений).

Проанализируем полученную систему, предполагая, что уровни затрат обеих стран на вооружение не зависят от времени (являются стационарными). Это означает, что x'=0, y'=0, или по иному:

бy-гx+a=0

вx-дy+b=0

Рассмотрим конкретный пример.

Пример. Пусть система гонки вооружений имеет следующий вид:

x'=3y-5x+15

y'=3x-4y+12

Если скорости изменения величин x и y равны нулю, то эти величины с необходимостью связаны условиями:

(a): 3y-5x+15=0

(b): 3x-4y+12=0

Каждое из этих уравнений описывает прямую на плоскости (x,y), и точка пересечения этих прямых лежит в первой четверти (рис. 2.20)

Рис. 2.20.прямая заданная уравнением(a) 2.21. прямая заданная уравнением(b)

Прямая, заданная уравнением (а), разбивает плоскость, и начальная точка O(0,0) лежит в положительной полуплоскости. В рассматриваемом случае то же справедливо и для прямой, заданной уравнением (б) (рис. 2.21).

Тем самым первая четверть (а нас интересует только она, так как всегда х?0 и у?0) разбивается на четыре области, которые удобно обозначить так: I-(+,+), II-(-,+), III-(-,-), IV-(+,-).

Пусть начальное состояние (х₀,у₀) находится в области I. Тогда выполнены неравенства:

(а): 3у₀-5x₀+15>0,

(б): 3х₀-4у₀+12>0,

из которых следует, что скорости x' и у' в этой точке положительны: х'>0, у'>0 и, значит, обе величины (х и у) должны возрастать (рис. 2.22).

Рис. 2.22. возрастание x и y

Таким образом, с течением времени в области I решение приходит в точку равновесия.

Подобным же образом анализируя возможные расположения начального состояния в областях II, III и IV, получим в итоге, что стабильное состояние (баланса сил) достигается независимо от начальных уровней вооружения стран X и Y. Отличие состоит лишь в том, что если переход к стационарному состоянию из области I сопровождается одновременным увеличением уровней вооруженности, то из области III - их одновременным снижением; для областей II и IV иная ситуация - одна из сторон наращивает свое вооружение, в то время как другая разоружается.

Возможны и другие случаи (рис. 2.23).

Рис. 2.23. другие случаи

Интересно отметить, что возможности построенной модели проверялись на реальной ситуации - гонке вооружений перед первой мировой войной. Проведенные исследования показали, что, несмотря на свою простоту, эта модель достаточно достоверно описывает положение дел в Европе в 1909-1913 гг.

В завершение этого раздела процитируем высказывание Т. Саати об этой модели: "Модель представляется гораздо более убедительной, если вместо вооружений провести на ней изучение проблем угрозы, поскольку люди реагируют на абсолютный уровень враждебности, проявляемый по отношению к ним другими, и испытывают чувство тревоги в степени, пропорциональной уровню враждебности, которую они испытывают сами".

Заключение

В наше время наука уделяет все большое внимание вопросам организации и управления, это приводит к необходимости анализа сложных целенаправленных процессов под углом зрения их структуры и организации. Потребности практики вызвали к жизни специальные методы, которые удобно объединять под названием «исследование операций». Под этим термином понимается применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.

Целью исследования операций является выявление наилучшего способа действия при решение той или иной задачи. Главная роль при этом отводится математическому моделированию. Для построения математической модели необходимо иметь строгое представление о цели функционирования исследуемой системы и располагать информацией об ограничениях, которые определяют область допустимых значений. Цель и ограничения должны быть представлены в виде функций.

В моделях исследования операций переменные, от которых зависят ограничения и целевая функция, могут быть дискретными (чаще всего целочисленными) и континуальными (непрерывными). В свою очередь, ограничения и целевая функция делятся на линейные и нелинейные. Существуют различные методы решения данных моделей, наиболее известными и эффективными из них являются методы линейного программирования, когда целевая функция и все ограничения линейные. Для решения математических моделей других типов предназначены методы динамического программирования (которые были рассмотрены в данном курсовом проекте), целочисленного программирования, нелинейного программирования, многокритериальной оптимизации и методы сетевых моделей. Практически все методы исследования операций порождают вычислительные алгоритмы, которые являются итерационными по своей природе. Это подразумевает, что задача решается последовательно (итерационно), когда на каждом шаге (итерации) получаем решение, постепенно сходящиеся к оптимальному решению.

Итерационная природа алгоритмов обычно приводит к объемным однотипным вычислениям. В этом и заключается причина того, что эти алгоритмы разрабатываются, в основном, для реализации с помощью вычислительной техники.

Построение модели опирается на значительное упрощение изучаемой ситуации и, следовательно, к получаемым на ее основе выводам нужно относиться достаточно осторожно - модель может не все. Вместе с тем даже весьма грубая на вид идеализация нередко позволяет глубже вникнуть в суть проблемы. Пробуя как-то влиять на параметры модели (выбирать их, управлять ими), мы получаем возможность подвергнуть исследуемое явление качественному анализу и сделать выводы общего характера.

Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, позволяющий осуществлять оптимальное планирование многошаговых процессов, зависящих от времени. Так как в задачах динамического программирования процессы зависят от времени, то находится ряд оптимальных решений для каждого этапа, обеспечивающих оптимальное развитие всего процесса в целом.

Используя поэтапное планирование, динамическое программирование позволяет не только упростить решение задач, но и решать те к которым нельзя применить методы математического анализа. Конечно, стоит отметить, что этот метод достаточно трудоёмкий при решении задач с большом количеством переменных.

Список используемой литературы

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособ. - М.: Высшая школа, 2009 г.

2. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования. - М.: Дело и Сервис, 2009 г

3. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. - М.: Айрис-Пресс, 2008 г.

4. Курбатов В.И., Угольницкий Г.А. Математические методы социальных технологий. - М.: Вузовская книга, 2011 г.

5. Монахов А.В. Математические методы анализа экономики. - СПб.: Питер, 2007 г.

6. Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-Математические методы и модели. - М.: Вузовский учебник, 2008 г.

7. Попов И.И., Партыка Т.Л. Математические методы. - М.: ИНФРА-М, 2007 г.

8. Попова Н.В. Математические методы. - М.: Анкил, 2007 г.

Дата добавления: 2020-11-15; просмотров: 70; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 23

Мы поможем в написании ваших работ!