Реальное интегрирующее звено (интегрирующее инерционное)

Н. Н. ВАСИЛЬКОВА

Динамические звенья автоматических систем

и их характеристики

Группы интегрирующих и дифференцирующих звеньев

Методические указания

Ярославль 2006

УДК 681.3:62.50

Динамические звенья автоматических систем и их характеристики. Группы интегрирующих и дифференцирующих звеньев: Методические указания для самостоятельной работы студентов заочной и дневной формы обучения специальности 220301 "Автоматизация технологических процессов и производств" по курсу "Теория автоматического управления"/Сост. Н. Н. Василькова; Яросл. гос. тех. университет. - Ярославль, 2006. - 27с.

Содержатся сведения по структурному анализу систем автоматического управления, по временным и частотным характеристикам типовых динамических звеньев. Наглядно в графической форме представлено влияние параметров звеньев на их динамические свойства. Библиогр. 13. Ил. 24. Рецензент:

технический университет, 2006

Группа интегрирующих звеньев

Интегрирующие звенья характеризуются тем, что при постоянном входном воздействии их выходная величина неограниченно возрастает, т.е. все звенья этой группы являются астатическими. Согласно классификации типовых динамических звеньев, приведённой в работе [1], принадлежность звена к группе интегрирующих звеньев определяется наличием множителя в передаточной функции звена. Типовые динамические звенья из группы интегрирующих, имеющие передаточные функции не выше второго порядка, содержат, как правило, не более одного множителя . Поэтому такие интегрирующие звенья называют ещё астатическими с астатизмом первого порядка. Если же звено содержит более одного множителя в передаточной функции (например ), то оно также будет относиться к группе интегрирующих звеньев и будет называться астатическим звеном v-ого порядка.

Рассмотрим наиболее распространённые в автоматических системах регулирования (АСР) типовые звенья из группы интегрирующих и проанализируем их характеристики.

Идеальное интегрирующее звено

Идеальным интегрирующим называется звено, у которого выходная величина прямо пропорциональная интегралу по времени от входной величины, т.е. это звено, динамика которого описывается уравнением

(1)

В этом уравнении - коэффициент пропорциональности, называемый передаточным коэффициентом (не путать с понятием коэффициента усиления).

Если продифференцировать левую и правую части уравнения (1) по времени, то мы получим уравнение идеального интегрирующего звена в дифференциальной форме

(2)

Примером такого звена могут быть:

а) объект регулирования - напорный бак, из которого жидкость откачивается насосом постоянной производительности, если выходной величиной считать изменение уровня жидкости в баке

а входной - изменение расхода на притоке

б) исполнительный механизм АСР - электродвигатель, если входной величиной считать изменение напряжения ( ), подаваемого на двигатель, а выходной - изменение угла поворота ( ) его выходного вала, при условии, что собственная инерционность двигателя пренебрежимо мала по сравнению с инерционностью других звеньев системы.

После преобразования по Лапласу уравнение (2) примет вид:

(3)

Тогда передаточная функция, которая по определению представляет собой отношение изображения по Лапласу выходного сигнала звена к изображению по Лапласу входного сигнала при нулевых начальных условиях, т.е.

для идеального интегрирующего звена будет иметь вид:

Найдём переходную функцию звена, для чего в уравнение (3) подставим изображение входного сигнала

Выразим изображение выходного сигнала

По таблицам преобразований Лапласа находим, что оригинал, соответствующий изображению (5), имеет вид:

(6)

Таким образом, мы видим, что переходная функция звена представляет собой линейную функцию, причём передаточный коэффициент звена k определяет тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс, т.е. фактически скорость возрастания выходного сигнала при единичном ступенчатом изменении входного сигнала. График переходной функции звена представлен на рисунке 1.

Рисунок 1. Переходная функция идеального интегрирующего звена.

Рисунок 2. Амплитудно-частотная характеристика идеального интегрирующего звена.

Для получения частотных характеристик звена делаем подстановку в передаточную функцию (4), т.е.

(7)

Преобразование выражения (7) даёт возможность получить вещественную и мнимую частотные характеристики

(8)

Откуда:

(9)

Амплитудно-частотная характеристика звена будет определяться выражением:

(10)

и представлена на Рисунок 1.2, а фазочастотная характеристика

(11)

представлена на рисунке 3.

Рисунок 3 Фазочастотная характеристика идеального интегрирующего звена.

Рисунок 4 Амплитудно - фазовая характеристика идеального интегрирующего звена

Из графиков и мы видим, что идеальное интегрирующее звено пропускает гармонический входной сигнал, ослабляя его по амплитуде тем больше, чем больше частота входного сигнала, и обеспечивает постоянный при всех частотах фазовый сдвиг выходного сигнала по отношению к входному на величину .

Если проанализировать вид амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) звена по выражениям и (9), или по и (выражения (10) и (11) соответственно), то можно прийти к выводу, что годограф, описываемый на комплексной плоскости концом вектора при изменении частоты в диапазоне представляет собой прямую, совпадающую с отрицательной полуосью ординат. График АФХ показан на Рисунок 4.

В заключении отметим, что по динамическим свойствам к идеальному интегрирующему звену относится широко распространенный в практике автоматического управления интегральный регулятор, передаточная функция которого имеет вид:

(12)

где S_o - настроечный параметр, влияние которого на динамические характеристики регулятора аналогично влиянию коэффициента k в уравнении идеального интегрирующего звена.

Реальное интегрирующее звено (интегрирующее инерционное)

Звено любой физической природы, описываемое дифференциальным уравнением вида:

(13)

называется реальным интегрирующим звеном или интегрирующим инерционным.

Его передаточная функция может быть выведена из уравнения (13), преобразованного по Лапласу при нулевых начальных условиях

(14)

и имеет вид:

(15)

Из выражения передаточной функции видно, что звено можно рассматривать как последовательное соединение идеального интегрирующего звена с передаточной функцией и апериодического звена первого порядка с передаточной функцией

Выведем уравнение переходной функции звена. Выразим из уравнения (14) изображение выходного сигнала

Подставим изображение единичного ступенчатого воздействия

Разложим изображение на простые дроби:

(16)

Откуда:

или

Найдём неизвестные коэффициенты разложения A, B, C:

при : ;

тогда ;

Подставим коэффициенты A, B, C в изображении выходного сигнала (16), разложенного на простые дроби

или

Ищем оригиналы для каждого слагаемого по таблицам преобразования Лапласа:

(17)

(18)

(19)

Тогда по свойству линейности преобразования Лапласа оригинал выходного сигнала определяется как сумма оригиналов (17), (18) и (19)

или окончательно

(20)

График переходной функции, построенный по уравнению (20), представлен на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5. Переходная функция реального интегрирующего звена.

Рисунок 1.6. Амплитудно-частотная характеристика реального интегрирующего звена.

Из графика мы видим, что при ступенчатом входном воздействии выходная величина реального интегрирующего звена неограниченно возрастает. Причем скорость переходного процесса зависит от постоянной времени и от передаточного коэффициента .

Нетрудно доказать, что при переходная функция имеет асимптоту, уравнение которой:

(21)

Согласно уравнению (21) тангенс угла наклона асимптоты к оси абсцисс определяется величиной передаточного коэффициента , а отрезок, отсекаемый на оси абсцисс - величиной постоянной времени . По этим параметрам можно выбирать диапазон времени, в пределах которого целесообразно строить график переходной функции, а также проверять построение этого графика. Обычно для выхода на линейный участок характеристики достаточно делать расчёты в диапазоне , в пределах .

Примером реального интегрирующего звена может быть:

а) последовательное соединение двух напорных баков, причём из последнего жидкость откачивается насосом постоянной производительности, когда входная величина – изменение расхода на входе в объект, т.е.

а выходная – изменение уровня жидкости во втором баке

б) электродвигатель, если входным сигналом считать изменение напряжения , а выходным - изменение угла поворота при условии, что собственная инерционность двигателя соизмерима с инерционностью других звеньев АСР.

Рассмотрим частотные характеристики реального интегрирующего звена. Заменим в передаточной функции

(22)

Учитывая, что данное звено представляет собой последовательное соединение идеального интегрирующего звена и апериодического звена 1 порядка, для нахождения амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной характеристик звена удобнее всего воспользоваться правилом последовательного соединения, а именно: при последовательном соединении звеньев АЧХ перемножаются, а ФЧХ складываются. АЧХ и ФЧХ идеального интегрирующего звена были выведены выше в разделе 1.1. и имеют вид:

а характеристики апериодического звена 1-о порядка подробно исследованы в работе [1] и выражаются следующими формулами:

Тогда АЧХ и ФЧХ реального интегрирующего звена будут соответственно:

(23)

(24)

Анализ амплитудно-частотной функции показывает, что при , а при . График этой функции показан на рисунке 1.6.

Причём из выражения (23) ясно, что чем больше инерционность звена, определяемая величиной постоянной времени Т, тем при одной и той же частоте входного сигнала будет меньше значение АЧХ , т.е. тем интенсивнее звено отфильтровывает (в смысле - не пропускает) высокочастотные воздействия.

График фазочастотной характеристики представлен на Рисунок 1.7. Он показывает, что отставание по фазе выходного сигнала звена по отношению к входному гармоническому при малых частотах составляет порядка , а при больших – не превышает величину .

Проанализируем амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) реального интегрирующего звена. Из выражения (22) традиционным способом нетрудно вывести формулы для вещественной и мнимой частотных характеристик звена

Таким образом:

(25)

(26)

Из выражений (25) и (26) делаем вывод, что при положительных параметрах звена вся амплитудно-фазовая характеристика будет лежать в III квадранте комплексной плоскости, т.к. при и . Действительно, при , , а при , .

Таким образом, начальную точку при АФХ изобразить невозможно, т.к. при этой частоте АФХ в бесконечности ассимптотически приближается к прямой . График этой характеристики показан на рисунке 1.8.

Рисунок 1.7. Фазочастотная характеристика реального интегрирующего звена.

Рисунок 1.8. Амплитудно-фазовая характеристика реального интегрирующего звена

Дата добавления: 2020-11-15; просмотров: 1874; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 5 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!