Доказательство формул Крамера

Запишем матричное равенство , учитывая структуру обратной матрицы:

тогда как видим, алгебраические дополнения здесь именно к элементам 1-го столбца, и умножаются они на , то есть, как если бы вместо 1-го столбца была поставлена правая часть системы.

Эти два способа используются чаще для матриц 2 и 3 порядка, т.к. они очень трудоёмкие, если матрица порядка 4 и больше.

Задача 53 (А,Б). Решить систему уравнений матричным методом и методом Крамера. .

Решение. А) Матричный вид системы: , обратную матрицу для этой матрицы ранее находили, это . Тогда = . Итак, , .

Б) , .

Ответ. .

Задача 54. Решить систему линейных уравнений .

Решение. А. Матричным методом.

Запишем систему в виде: .

Найдём обратную матрицу для А.

= = = .

Б. Методом Крамера.

= = .

Ответ. .

Метод Гаусса.

Задача 55.

Решение. Преобразования расширенной матрицы:

Сначала из 2-й строки вычли 1-ю, а из 3-й удвоенную 1-ю.

На втором этапе, к 3-й прибавили 2-ю.

Система после преобразований:

, из последнего = 1, подставляем в предпоследнее, будет , то есть =1. Далее, уже известные и подставми в первое уравнение, и получим =1.

Ответ. =1, =1, = 1, или .

Задача 56. Решить систему уравнений

Решение. Построим расширенную матрицу и преобразуем её.

чтобы обнулились коэффициенты ниже левого верхнего угла, то есть чтобы исчезла переменная из всех уравнений кроме первого, надо:

а) из 2-й строки вычесть 1-ю;

б) из 3-й строки вычесть удвоенную 1-ю.

Теперь, чтобы обнулить ниже чем , нужно к 3-й строке просто прибавить 2-ю, так как знаки там противоположны. При этом структуру из нулей, которые уже получились слева, мы на последующем шаге всё равно никак не испортим, ведь там к 0 будет прибавляться 0 либо вычитаться 0, то есть ступенчатая структура там уже всё равно будет сохраняться.

Когда в основной матрице уже получена треугольная структура, снова перепишем в виде системы

В первом уравнении 3 неизвестных, а в каждом следующем всё меньше и меньше, а в последнем вообще только одна неизвестная. Именно этой цели мы и хотели добиться, приводя к треугольному виду: из последнего уравнения можно теперь сразу выразить . Затем с этой информацией мы поднимаемся в предпоследнее уравнение, где две неизвестных, впрочем, одна из них уже известна.

А теперь уже две последних неизвестных стали известны, и с этой информацией поднимаемся в 1-е уравнение, .

Ответ. =5, , =4.

Можно ответ записать и в виде вектора: .

Задача домашняя. Решить систему уравнений

(как в прошлой, но у элемента изменили знак).

Ответ. =2, =1, =1.

Задача 57. Решить систему уравнений

Решение. При построении расширенной матрицы, сразу же домножим 2-е и 3-е уравнения на такие коэффициенты, чтобы в начале строки были числа, кратные угловому элементу. А именно, 2-ю строку на 2, а 3-ю строку на 4. Так надо, чтобы потом в методе Гаусса можно было не домножать на дробные коэффициенты при вычитании строк.