Практики 3 и 4 (неделя с 21 по 27 сентября).

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Приходовский М.А.

Математика

Курс практических занятий

Семестр 1

Группы 520, 530

Томск

ТУСУР

2020

Практики 1 и 2 (неделя с 14 по 20 сентября).

Действия над матрицами.

Задача 1. Найти сумму и разность матриц: +

Решение. Складываем поэлементно:

= .

Вычитаем:

= .

Ответ. Сумма: разность: .

Задача 2. Найти сумму матриц: +

Решение. Складываем поэлементно:

= .

Ответ. .

Задача 3. Даны матрицы , .

Найти и .

Решение. Запишем эти матрицы. Если первую разбить на строки, а вторую на столбцы, то видно, что есть всего 4 варианта скалярно умножить друг на друга вектор-строку их первой на вектор-столбец из второй.

Например, если умножаем строку номер 1 на столбец номер 2, то и число, которое при этом получается, ставим в 1 строку 2 столбец новой матрицы. Итак,

= .

Теперь найдём . В данном случае первую матрицу можно разрезать на 3 строки, а вторую на 3 столбца. Таким образом, получаем 9 чисел.

Покажем, например, как 1-я строка скалярно умножается на 1-й столбец, они обведены. .

Ответ. .

Задача 4. Найти произведение матриц:

а) , б) , в) .

Решение.

= = = .

Ответ. , , .

Примечания.

1) Видим, что в общем случае может не выполняться закон коммутативности при умножении матриц, то есть

2) При умножении на матрицу, состоящую из всех единиц, исходная не получается, а вот если единицы по диагонали - получается. Матрица называется единичной матрицей. При этом выполняется .

Задача 5. Дана матрица найти .

Решение. Умножим матрицу саму на себя, то есть две её копии напишем рядом и умножим их.

= =

= . Ответ. .

Как видно из этого примера, для матриц, в отличие от чисел, возможно, что получается нулевой объект в ответе, притом что в исходной матрице вообще ни одного нуля не было. Это из-за особенностей её строения: правый столбец в 2 раза меньше, чем левый, а нижняя строка в минус 2 раза больше, чем верхняя. И вообще, если взять пару матриц, где у первой будет пропорциональность строк (в k раз больше) а у второй - столбцов (в минус k раз меньше) получим такой же эффект.

Задача 6. Даны матрицы . Найти .

Решение. = = .

= = .

Ответ. .

Задача 7. Найти произведение матриц .

Решение. Размеры согласованы: длина строки 1-й матрицы равна высоте столбца 2-й матрицы. Первую можно мысленно разрезать на 2 строки, вторую на 3 столбца. Итого будет 6 различных произведений строк на столбцы.

= . Ответ. .

Задача 8. Вычислить и .

Заметим, что получаются 1-й и 2-й столбец матрицы.

= , = .

Замечание. При умножении квадратной матрицы на вектор-столбец получается снова вектор-столбец, то есть квадратная матрица фактически выступает в роли функции, отображающей векторы в пространстве (или на плоскости, если n = 2). Коротко о понятии линейного оператора и строении его матрицы и о том, что при умножении на i-й базисный вектор получается столбец номер i.

Задача 9А. Найти произведение: .

Задача 9Б. .

Решение. В 1-м случае размеры и , согласованы, умножение возможно. Во 2-м случае и , тоже согласованы (хоть столбцов и больше, но всё равно длина строки 1-й матрицы равна высоты столбца 2-й матрицы). Просто в ответе для 3Б получится ещё один лишний столбец справа.

= =

= .

Для пункта «Б» 1-я и 2-я строка умножаются не только на 1-й и 2-й, но ещё и на 3-й столбец. Дополнительно получаем

= = .

Выделим красным цветом новый столбец:

Ответ. 9А: , 9Б: .

Задача 10. Даны матрицы

, , . Найти .

Решение. Так как матрица С находится справа во всех слагаемых, то для удобства можно использовать приведение подобных = - тогда умножение надо будет проводить всего один раз, а не два.

Сначала запишем .

= = .

Теперь умножим на матрицу С. Точно так же, как и в прошлом примере, мысленно обведём строку из 1-й матрицы на столбец из 2-й.

Есть 4 варианта это сделать:

= = = .

Ответ. .

Задача домашняя 1. Найти произведение .

Ответ. .

Задача дом-2. Найти .

Ответ. , .

Задача дом-3. . Найти .

Ответ. , .

Задача 11. Дана матрица . Найти .

Решение. Сначала умножим две, и найдём .

= = .

Теперь домножим ещё на одну матрицу А, чтобы найти .

= = .

Ответ. .

Замечание. Несмотря на то, что в общем случае коммутативности по умножению матриц нет, но если матрица совпадает с матрицей , тогда . Например, в этой задаче, из-за ассоциативности, т.е. неважно, домножить третий раз слева или справа.

Задача дом-4. Найти для этой же матрицы. Замечание. Здесь есть 2 метода решения: либо умножить , полученную в прошлой задаче, ещё раз на , либо взять , полученную на первом этапе, и её умножить саму на себя. Ответ. .

Задача 12. Найти произведение , где

, , .

Решение. Вычислим , сначала умножим первые две матрицы:

= . Теперь умножим на третью матрицу.

= . Ответ. .

Замечание. Если вычислять , то получается точно такой же результат, т.к. выполняется закон ассоциативности.

Определители.

Задача 13. = .

Для параллелограмма, построенного на базе системы векторов (2,1) и (1,2), площадь равна 3. Если область 2’ перенести в область 2, то видно, что получается половина прямоугольника площади 2 (выделено жёлтым). То есть площадь равна 1. Аналогично 3’ в 3. Там тоже площадь 1. Кроме того, в центре квадрат площади 1.

Практика 2.

Задача 14. Найти определитель .

Решение. = .

Ответ. 18.

Задача 15. Найти определитель

Решение. Допишем копии первых двух столбцов, проведём 3 параллельных линии (главная диагональ и ещё две). Перемножим все эти тройки элементов и внесём в общую сумму с их исходным знаком. А вот для побочной диагонали и линий, ей параллельных, со сменой знака.

Ответ. .

Задача 16. Найти определитель .

Решение.

То, что перемножено по зелёным линиям, включим в сумму со знаком плюс, а по красным - со знаком минус.

= .

Ответ. 5.

Задача 17. Найти определитель .

Решение.

. Ответ. 11.

Задача 18. Найти определитель .

Решение.

. Ответ. .

Задача 19. Найти определитель .

Решение.

= . Ответ. .

Задача Дом-1. Вычислить определитель . Ответ. 28.

Задача 20. Вычислить определитель .

Решение. Заметим, что 1-й и 3-й столбец содержат очень похожие группы элементов а именно 1 и 2. Вычтем из 1-го столбца 3-й, а затем разложим по 1-му столбцу.

= = =

Ответ. 24.

Задача дом-2. Вычислить определитель . Ответ. 50.

Практики 3 и 4 (неделя с 21 по 27 сентября).

Задача 21. Найти параметр , при котором определитель равен 0:

Решение. Вычислим определитель и решим получившееся уравнение:

, , , .

Ответ. .

Задача 22. Найти параметр , при котором определитель равен 6:

Решение. Вычислим определитель и решим получившееся уравнение:

Ответ. 4,2.

Задача 23. Вычислить определитель с помощью разложения по первой строке.

Решение. Выберем дополняющий минор для каждого элемента 1-й строки, и домножим на

= = 8. Ответ. 8.

Задача 24. Вычислить определитель методом Гаусса (приведением к треугольной форме).

Решение. Вычитаем из 2-й строки удвоенную 1-ю, и из 3-й 1-ю.

= затем вычитаем из 3-й строки 2-ю.

получили = 2. Ответ. 2.

Задача 25. Вычислить определитель .

Решение. Прибавим 1-ю строку ко 2-й, 3-й и 4-й.

. Эта матрица треугольная, определитель равен произведению чисел по диагонали, то есть 24.

Ответ. 24.

Задача 26 (а,б). Вычислить определитель 4 порядка двумя способами: а) разложением по 1-й строке. б) с помощью преобразований матрицы.

Решение. Первый способ.

Разложение по 1-й строке:

Очевидно, что последние 2 минора 3-го порядка вычислять не надо, так как они умножаются на 0. Осталось вычислить два минора 3 порядка, то есть мы свели определитель 4 порядка к определителям 3 порядка.

= .

Ответ. 0.

Второй способ. Из 2-го столбца вычтем 1-й

А теперь разложим по 1-й строке, причём реально для вычисления останется только один минор третьего порядка.

. Теперь ко 2-й строке прибавим 1-ю а из 3-й вычтем утроенную 1-ю. А затем уже к 3-й строке прибавляем 2-ю.

= = = 0 .

Ответ. 0.

Задача 27. Вычислить определитель .

Решение. Можем разложить по 1-й строке (там всего 2 элемента отличны от 0). Но можно сначала упростить матрицу, а именно, отнять от 4 столбца 1-й столбец. Тогда в 1-й строке будет всего один ненулевой элемент. Также выносим из последнего столбца.

= = = =

= .

Ответ. .

Задача 28. Вычислить определитель .

Решение. В последней строке, а также в последнем столбце, столбце видим 2 нуля и 2 ненулевых элемента. Можно сделать так, чтобы было 3 нулевых элемента. Прибавим удвоенную 3-ю строку ко 2-й:

= , теперь разложим по последнему столбцу, будет нужно вычислить всего 1 из 4 миноров порядка 4, так как остальные умножаются на 0.