Практическая работа №4 «Определение площадей с помощью интеграла»

Цель работы: Применение определённого интеграла для вычисления площадей фигур.

Теоретические сведения к лабораторной работе:

Фигура, изображённая на рисунке является криволинейной трапецией

Определение

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком непрерывной функции y = f ( x ), снизу отрезком [a;b] оси Ох, а с боков отрезками прямых х=а, х= b

Площадь криволинейной трапеции можно вычислить с помощью определённого интеграла

Возможно такое расположение:

S = S₁+S₂

Возможен следующий случай, когда f ( x )< 0 на [а,b]

Возможно и такое расположение

Задачи на вычисление площадей плоских фигур можно решать по следующему плану:

1) по условию задачи делают схематический чертёж;

2) представляют искомую фигуру как сумму или разность площадей криволинейных трапеций. Из условия задачи и чертежа определяют пределы интегрирования для каждой составляющей криволинейной трапеции.

3) записывают каждую функцию в виде

4) вычисляют площадь каждой криволинейной трапеции и искомой фигуры.

Пример

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

S = dx = dx =

= (- | =- (кв. ед.)

Задания для самостоятельного решения:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

а) параболой у = (х + 1)², прямой у = 1 – х и осью Ох.

б) параболой у = х²– 4х +3 и осью Ох.

в) графиком функции у = sinx , и отрезком [ π ; 2π] оси Ох.

а) параболой у = х²+ 4х - 3 и осью Ох.

б) параболой у = х² + 1 и прямой у = 3 - х .

в) параболой у = -х²и прямой у = - 4 .

Контрольные вопросы:

1. Что такое криволинейная трапеция?

2. Как вычислить площадь криволинейной трапеции?

3. По какому плану можно найти площадь любой плоской фигуры используя интеграл?

Практическая работа №4 «Формула Ньютона-Лейбница»

Цель работы: сформировать умение вычислять определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Теоретические сведения к практической работе:

Если F(x) - первообразная функции f ( x ) , то разность F(b) - F(а) называется определённым интегралом от функции f ( x ) на отрезке [a ; b] и обозначают

а – нижний предел интегрирования

b - верхний предел интегрирования

f ( x )- подынтегральная функция

Правило вычисления определённого интеграла:

Формула Ньютона – Лейбница

Примеры:

Задача 2

Задания для самостоятельного решения:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6)

Контрольные вопросы:

1. Что такое определенный интеграл?

2. Каковы правили вычисления определенного интеграла?

Практическая работа №5 «Нахождение площадей фигур»

Цель работы: закрепить знания, умения и навыки нахождения площади криволинейной трапеции с помощью интеграла.

Теоретические сведения к практической работе:

Определение: Фигура, ограниченная снизу отрезком [a, b] оси Ох,сверху графиком непрерывной функции у= f(x), принимающей положительные значения, а с боков отрезками прямых х = а, х =b называется криволинейной трапецией.