Варианты №х 13 : Классическая транспортная задача.

С ОДЕРЖАНИЕ

2.1 Работа в программном пакете Mathcad. 2

Табулирование значений и график составной функции. 2

Применение операторов программирования. 4

Работа с комплексными числами и матрицами. 5

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 8

Решение оптимизационных задач средствами Mathcad. 12

 2.1 Работа в программном пакете Mathcad

Табулирование значений и график составной функции

1) Рассчитать значения и 2) построить график функции f (x)={f₁(x), xÎD₁; [f₁(x)]², xÎD₂;  f₁(x)+ [f₁(x)]² при xÎD₃}, где D₁, D₂, D₃ – смежные, непересекающиеся отрезки из области определения функции f₁(x).

¨ Вид f₁(x) и задается для каждого номера варианта k  в Приложении Б1.

 

№ Вар.	y=f1 (x)	z=f2 (x)
10

 

Решение.

Для сравнения с EXCEL

1) Рассчитать значения и 2) построить график функции f (x)= {f₁(x) , x< k/2; f₂(x), x>3k/2 ; f₁(x)+f₂(x) при |x–k| £ k/2}.

¨ Вид функций f₁(x) и f₂(x) задается для каждого номера варианта k в приложении Б1.

 

№ Вар.	y=f1 (x)	z=f2 (x)
10

 

Решение.

Применение операторов программирования

1) Сформировать квадратную матрицу M размером 4х4 с элементами M_{i, j} = {k при  i=j; k+1 при  i=k+1 и 0.5(3i+k) +(–1)^{i+ j}×(2j +0.5k) в остальных случаях}, где k – номер варианта; 2) Найти сумму модулей всех элементов матрицы М;

3) определить величину максимального модуля среди элементов матрицы; 4) Умножить матрицу М на вектор (столбец) b с элементами b_i = 2i+0.5k, i=1, 2, 3, 4; 5) Проверить правильность результата встроенной в Mathcad операцией умножения матриц.

 

Решение.

Работа с комплексными числами и матрицами

1) Сформировать диагональную матрицу W(p)= diag{W₁(p), W₂(p), W₂(p)}, где W_i(p) – функции комплексной переменной p, заданные в таблице вариантов (см. Приложение Б2). 2) Определить функцию H(p)=det [E+W(p)] и корни уравнения H(p)=0. 3) Полагая p=jw, где j= , w³0, построить график на комплексной плоскости (годограф) для H(jw)=det [E+W(jw)]–1 и графики функций P(w)=ReH(jw), Q(w)=ImH(jw), M(w)=|H(jw)|, j(w)=arg H(jw); а также графики L_h(w) =20lg M(w) и j(w) от lg w.

Варианты параметров для W_i(p)

Структурная схема одноконтурной линейной САР имеет вид:

 

 

Здесь W₁(p) и W₂(p) - передаточные функции (ПФ) корректирующих звеньев (КЗ), а W₃(p) – ПФ неизменяемой части системы (объекта управления ОУ):

W₁(p) = ;  W₂(p) = ; W₃(p) = .   

Значения параметров приведены в таблице вариантов:

Таблица вариантов для параметров W_i(p)

Вариант	К, с-1	T a, с	T b, с	T1, с	T2, с	T3, с	T4, с
19	120	0.08	0.012	0.16	0.08	0.8	0.02

Решение.

 

 

 

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

1) С помощью встроенных функций Mathcad (lsolve, Find, Minner) решить систему алгебраических уравнений вида Ax= b, где A и b, в соответствии с вариантом, взять из приложения Б7. 2) Используя формулы Крамера, решить эту же СЛАУ и проверить правильность найденного решения подстановкой x в  исходное уравнение.

 

Решение.

 

Решение оптимизационных задач средствами Mathcad.

1) Задача линейного программирования (ЗЛП):

а) Типовое задание №1: «Оптимальный план суточного выпуска строительных изделий»;

ТИПОВОЕ ЗАДАНИЕ №1

«Оптимальный план суточного выпуска строительных изделий»

Задача Z .1. Процесс изготовления строительных изделий двух видов состоит в последовательной обработке каждого из них в трех цехах. Структура данных задачи показана в табл. 1, где  a_ij - время обработки каждого изделия вида j в цехе i, чаc/cут; i = 1,2,3; j = 1,2;

b_i - время работы цеха i, час/сут; c_j - прибыль от реализации одного изделия вида j, у.е.;

x_j – количество изделий вида j, шт.

Составить план суточного выпуска изделий так, чтобы прибыль от их производства была максимальной.  Исходные данные задачи в в общем виде представлены в таблице (см.ниже).

Задачу решить:

1) с помощью математического пакета Mathcad; 2) с использованием табличного процессора Excel; 3) полученные результаты прокомментировать и сравнить.

 

Цеха	Время обработки одного изделия, чаc/cут		Время работы цеха, час/сут
	Изделие 1	Изделие 2
Цех 1	а11=0,2	а12=0,7	в1=13
Цех 2	а21=0,5	а22=0,6	в2=13
Цех 3	а31=0,8	а32=0,5	в3=20
Прибыль от реализации одного изделия, у.е.	с1=80	с2=85

Числовые значения исходных данных к задачам выбираются из  таблицы 2 согласно 3-х значному шифру (цифровому коду) варианта (см. таблицу 3). Для этого под цифрами шифра нужно расположить три буквы русского алфавита «а», «б» и «в». Затем в таблице 2 из вертикальных столбцов, обозначенных внизу соответствующей буквой, нужно выбрать числа, стоящие в тех строках, номера которых совпадают с номерами букв по шифру.

Например: Шифр варианта  2 6 3 – это номера строк таблицы:                  2, 6, 3

буквы                   а б в –: это буквенные имена столбцов:             а, б, в

В столбцах с именами «а» выбираем элементы 2-й строки, в столбцах «б» - элементы 6-й строки, а в столбцах «в» - элементы 3-й строки.

                                                            

Стр            Таблица 1.2.                                                            Таблица 1.3 – Шифры вариантов

№  а₁₁ а₁₂  а₂₁ а₂₂ а₃₁  а₃₂ в₁  в₂ в₃  с₁  с₂

1    0,1 1,0 0,6 0,1 0,5 0,4 12 10 21 65 80

2     0,2 0,9 0,5 0,6 0,6 0,5 13 11 20 70 85

Вар. Шифр 3 242

3    0,3 0,8 0,7 0,2 0,7 0,6 14 12 19 75 90

4    0,4 0,7 0,4 0,7 0,8 0,7 15 13 18 80 95

5    0,5 0,6 0,8 0,3 0,9 0,8 16 14 17 85 100

6    0,6 0,5 0,3 0,8 1,0 0,9 17 15 16 90 75

7     0,7 0,4 0,9 0,4 0,1 1,0 18 16 15 60 70

8    0,8 0,3 0,2 0,9 0,2 0,3 19 17 14 55 65

9    0,9 0,2 1,0 0,5 0,3 0,2 20 18 13 50 60

0    1,0 0,1 0,1 1,0 0,4 0,1 21 19 12 45 55

a   б   в   а  б   в  а б в б в

 

Решение.

б) Типовое задание №2: «Задача об оптимальном составе бетонной смеси»;

ТИПОВОЕ ЗАДАНИЕ №2

«Задача об оптимальном составе бетонной смеси»

Задача Z .2. Для приготовления b₀ кг бетонной смеси c заданными свойствами используются вещества А_j, j = 1,2,3. В x_j кг вещества А_j содержится a_ijx_j кг химического элемента B_i, i = 1,2. Содержание элемента B_i в смеси должно заключаться в пределах от b_i‘до b_i’’ кг. Стоимость 1 кг вещества A_j составляет c_j у.е.

Требуется определить такой состав для приготовления смеси массой b₀ кг, при котором общая стоимость израсходованных веществ была бы минимальной. Исходные данные задачи в в общем виде представлены в табл. 2.1.

 

Задачу решить:

1) с помощью математического пакета Mathcad;

2) с использованием табличного процессора Excel;

3) результаты решений сравнить между собой.

 

Таблица 2.1

 

Хим. элемент	Содержание Вi в одном кг Аj			bi’	bi’’
	А1	А2	А3
В1	a11 0,2	a12 0,7	а13 0,5	b1’ 3,4	b1’’ 6,8
В2	a21 0,6	a22 0,8	a23 0,5	b2’ 4,4	b2’’ 5,4
	с1 6	с2 13	с3 13		b0 30

Числовые значения исходных данных взять из таблицы 2.2 в соответствии с шифром варианта из табл. 1.3

 

 

Таблица 2.2

№ стр a₁₁ a₁₂ а₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃  b₁’  b₂’ b₁’’ b₂’’ b₀ с₁ с₂ с₃

1    0,1 1,0 0,6 0,1 0,5 0,4 3,2 5,0 7,0 5,2 15 5 14 5

2    0,2 0,9 0,5 0,6 0,6 0,5 3,4 4,8 6,8 5,4 20 6 13 14

3    0,3 0,8 0,7 0,2 0,7 0,6 3,6 4,6 6,6 5,6 25 7 12 6

4    0,4 0,7 0,4 0,7 0,8 0,7 3,8 4,4 6,4 5,8 30 8 11 13

5    0,5 0,6 0,8 0,3 0,9 0,8 4,0 4,2 6,2 6,1 35 9 10 7

6    0,6 0,5 0,3 0,8 1,0 0,9 4,2 4,0 6,0 6,2 40 10 9 12

7    0,7 0,4 0,9 0,4 0,1 1,0 4,4 3,8 5,8 6,4 45 11 8 8

8    0,8 0,3 0.2 0,9 0,2 0,3 4,6 3,6 5,6 6,6 50 12 7 11

9    0,9 0,2 1,0 0,5 0,3 0,2 4,8 3,4 5,4 6,8 55 13 6 9

0    1,0 0,1 0,1 1,0 0,4 0,1 5,0 3,2 5,2 7,0 60 14 5 10

а  б  в  а  б  в  а  б  в  а  б в а б

 

Решение.

в) Оригинальная задача.

Задача. Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует необходимые ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида, прибыль от реализации одного изделия и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида приведены в табл.

 

Ресурсы	Нормы затрат ресурсов на одно изделие		Общее количество ресурсов
	стол	шкаф
Древесина (м3):
1 вида	0,2	0,1	40
2 вида	0,1	0,3	60
Трудоемкость (человеко-час)	1,2	1,5	371,4
Прибыль от реализации одного изделия (руб)	6	8

Определить, сколько столов и шкафов следует изготовлять, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.

 

Решение.

Предположим, что будет изготовлено  единиц столов,  единиц шкофов. Тогда для производства такого количества изделий потребуется затратить древесины 1 вида 0,2z₁+0,1z₂ м³. Общий количество древесины 1 вида не может превышать 40, то должно выполняться неравенство 0,2z₁+0,1z₂£40.

Рассуждая аналогично получим ограничения по остальным ресурсам:

древесины 2 вида: 0,1z₁+0,3z₂£60,

трудоемкость.: 1,2z₁+1,5z₂£371,4,

При этом, количество изготавливаемых изделий не может быть отрицательным:  Прибыль от реализации изделий составит .

2) Транспортная задача (ТЗ)

а) Типовое задание №1: «Минимизация расходов на доставку продукции заказчикам со складов фирмы»;

Необходимо решить транспортную задачу: минимизировать расходы на доставку продукции заказчикам со складов фирмы, учитывая следующие затраты на доставку одной единицы продукции, объём заказа и количество продукции, хранящейся на каждом складе. Тарифы на перевозку единицы продукции, объёмы запасов продукции на складах, а также объёмы заказанной продукции представлены в таблице

Вариант № 13.

Склад	Магазины заказчика					Запасы на складе (ед. прод)
	“Канц. товары	“Школьник”	“Детский мир”	“Учебные принадлежности”	Фиктивный потребитель
Смоленская	1,5	2	0,5	3	0	25
Митино	0,5	4	3	2,5	0	20
Перово	3	1	2	0	0	30
Калужская	2	0,5	1,5	1	0	10
Объём заказа	10	20	30	15	10

Для всех вариантов необходимо записать математическую формулировку транспортной задачи и решить ее в двух вариантах:

 

Б) с помощью математического пакета Mathcad.

 

Результаты полученных решений прокомментировать и сравнить между собой.

 

Решение в MathCad

В данной транспортной задаче не выполняется равенство: сумма запасов не равна сумме объемов заказа, следовательно, имеем задачу с неправильным балансом, а модель задачи является открытой. Объем заказа(10+20+30+15=75), Запасы (25+20+30+10=85).

Приведем открытую транспортную задачу к сбалансированной Т.к. имеем превышение запасов над потребностями. В этом случае вводится “фиктивный” потребитель с потребностями равными абсолютной величине разности между общим количеством запасов и общим количеством требуемых единиц. Стоимость по доставке будет для этого фиктивного потребителя равна 0, т.к. поставки фактически нет.

Далее решаем поставленную задачу как уже классическую.

Переменными (неизвестными) транспортной задачи являются x_ij , i=1,2,...,m j=1,2,...,n — объемы перевозок от i-го поставщика каждому j-му потребителю. Эти переменные могут быть записаны в виде матрицы перевозок:

Так как произведение C_ij*x_ij определяет затраты на перевозку груза от i-го поставщика j-му потребителю, то суммарные затраты на перевозку всех грузов равны: .

По условию задачи требуется обеспечить минимум суммарных затрат. Следовательно, целевая функция задачи имеет вид:

Система ограничений задачи состоит из двух групп уравнений. Первая группа уравнений описывает тот факт, что запасы всех поставщиков вывозятся полностью и имеет вид:

Вторая группа уравнений выражает требование удовлетворить запросы всех  потребителей полностью и имеет вид:

Необходимо учесть условие неотрицательности объемов перевозок.

Таким образом, математическая постановка задачи записывается в следующем виде

,

,

,

.

 

б) Типовое задание №2: «Минимизация расходов по перевозке туристов в гостиницы»;

Типовое задание №2

«Минимизация расходов по перевозке туристов в гостиницы»

Задание: Туристической фирме необходимо разместить три группы туристов Т1, Т2, Т3 количеством 60 + k, 120 + k и 100 + k человек соответственно, прибывших в аэропорты, по четырем гостиницам Г1, Г2, Г3, Г4. Стоимость перевозки одного туриста и количество свободных номеров в гостиницах указаны в таблице 4.2.

 

Таблица 4.2. Числовые данные для типового задания №2

 

Группы	Количество туристов	Стоимость перевозки одного туриста из аэропорта в гостиницу
		Г1	Г2	Г3	Г4
Т1	60 + k	1	2	5	3
Т2	120 + k	1	6	5	2
Т3	100 + k	6	3	7	4
Количество свободных мест в гостинице		20+ k	110 + k	40+ k	110

 

Составить план перевозок туристов из аэропортов в гостиницы, который обеспечит минимальные транспортные издержки при условиях размещения всех туристов и заполнения всех свободных мест в гостиницах.

Примечание: k–номер варианта.k=13

Решение:

В данной транспортной задаче выполняется равенство: сумма количества свободных мест и общее количество пассажиров, следовательно, имеем задачу закрытую.

Переменными (неизвестными) транспортной задачи являются x_ij , i=1,2,...,m j=1,2,...,n — количество доставленных в гостиницу пассажиров от i-ой группы в j-ю гостиницу. Эти переменные могут быть записаны в виде матрицы перевозок:

Так как произведение C_ij*x_ij определяет затраты на перевозку пассажиров, то суммарные затраты на перевозку всех:

.

По условию задачи требуется обеспечить минимум суммарных затрат. Следовательно, целевая функция задачи имеет вид:

Система ограничений задачи состоит из двух групп уравнений. Уравнений описывает тот факт, что должны быть размещены все пассажиры в имеющихся местах в гостиницах:

Необходимо учесть условие неотрицательности объемов перевозок.

Таким образом, математическая постановка задачи записывается в следующем виде

, , , .

Реализация в mathCad

в) Оригинальная задача.

Варианты №х 13 : Классическая транспортная задача.

Требуется составить оптимальный план перевозок по минимуму затрат. Исходные данные задачи приведены в таблицах следующего вида, где Сij – затраты на перевозку от поставщика H_i  к потребителю M_j;  a_i – возможности i-го поставщика; b_j – потребности – j-го потребителя:

 

Поставщики Hi	Потребители Мi					Возможности поставщиков ai
	M1	M2	M3	M4	M5
H1	С11	С12	С13	С14	С15	а1
H2	С21	С22	С23	С24	С25	а2
H3	С31	С32	С33	С34	С35	а3
Потребности bj	b1	b2	b3	b4	b5

Числовые значения коэффициентов Сij ; a_i; b_j для вариантов №13

---

Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 924; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!