Решение систем линейных уравнений методами Гаусса и Крамера.
Теорема Крамера. Пусть 
- определитель матрицы системы 
, а 
- определитель матрицы, получаемой из матрицы 
заменой 
столбца столбцом свободных членов. Тогда, если 
, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: 
( 
).
Пример. Решить систему уравнений 
.
Вычислим определители: 
, 
, 
, 
.
Итак, 
, 
, 
.
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений 
.
Решим систему методом Гаусса. Предположим, что 
(иначе найдем 
такое, что 
и переставим 
уравнением с 
местами).
Умножим 
уравнение на 
и прибавим ко второму уравнению. Умножим уравнение на 
и прибавим к 
уравнению.
Таким образом, в результате этих преобразований мы получим систему, эквивалентную данной: 
.
Если в процессе исключения 
мы получим противоречие 
, то система 
в этом случае несовместна, а значит несовместна и система 
.
Предположим, что такого равенства мы не получили. Тогда из 3, 4, …, 
уравнений исключаем 
аналогичным образом: умножим 
уравнение на 
и прибавляем к 
, в результате 
исключается из 
уравнения.
Если в полученной 
системе нет противоречивых равенств, то исключаем из 4, 5, …, 
уравнений 
…, продолжая этот процесс, получим, что:
1) система приводится к треугольному виду;
2) система приводится к виду трапеции;
3) в процессе исключения переменных появляется противоречивое равенство.
В случае 1) система имеет единственное решение, в случае 2) – бесконечно много решений, в случае 3) система несовместна.
Пример. Решить систему уравнений 
.
. Так как ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, то система имеет единственное решение, следовательно, 
, 
, 
.
Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 84; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!