Метод интегрирования по частям.

Интегрирование по частям. Пусть и - дифференцируемые функции, тогда .Пример. Вычислить .

Пусть , , , , тогда .

Разложение действительного многочлена на множители.

Теорема. Если и - корни квадратного уравнения, то справедливо следующее разложение .

Пример. Разложить квадратный трехчлен на множители. По теореме Виета определим корни квадратного трехчлена: , откуда , . Итак, .

Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения многочленов. Для этого используют различные приемы. Рассмотрим некоторые из них.

1.Вынесение общего множителя за скобку:

2. Группировка слагаемых:

3. Формулы сокращенного умножения: , , ; , ; , .

Теорема. Пусть дан многочлен степени, , . Разложение является для многочлена единственным с точностью до порядка сомножителей.

Разложение рациональной функции на простейшие дроби.

Когда степень многочлена знаменателя дроби равна нулю (т.е. в знаменателе стоит число), дробь является многочленом. По теореме известно, что любой многочлен может быть разложен на множители.

Если степень знаменателя дроби больше нуля и степень числителя меньше степени знаменателя, то дробь можно представить в виде простейших дробей. Если степень числителя больше дроби знаменателя, то необходимо выполнить деление многочлена на многочлен «углом».

Пример. Разложить рациональную функцию на простейшие дроби.

Определим , , и из системы уравнений , . Итак, .

Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование рациональных функций сводится к разложению дроби на простейший и проинтегрировав каждое слагаемое.

Пример. .

Определим , , и из системы уравнений , . Итак, .

Интегрирование простейших иррациональностей.

Рассмотрим случаи, в которых замена переменной позволяет интегралы от иррациональных функций свести к интегралам от рациональных функций.

Обозначим через функцию от переменных и , и некоторых постоянных, которая построена с использованием лишь четырех арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления). Например, , и т.д.

Рассмотрим интеграл вида . Такие интегралы рационализируются заменой переменной .

Пример. Вычислить .

Пусть , , , , , тогда .

Биномиальный интеграл.

Биномиальным дифференциалом наз-ся выражение , где , и - рациональные числа.

Интеграл от биномиального дифференциала приводится к интегралу от рациональной функции в следующих трех случаях.

Случай 1. Показатель степени - целое число. Тогда интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где - общий знаменатель дробей и .

Случай 2. Число - целое. Тогда сводится к интегралу от рац.функции с помощью подстан. , - знаменатель дроби .

Случай 3. Число - целое. Тогда интеграл рационализируется с помощью подстановки , где - знаменатель дроби .

Пример. Найти интеграл .

Здесь , , - целое число, т.е. имеет место первый случай интегрируемости. Поэтому следует применить подстановку , тогда , и данный интеграл принимает вид

32 . Интегрирование функции .

Рассмотрим интегралы вида . Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций заменой переменной , где . Действительно , , , .

Пример. Вычислить .

33 . Интегрирование функции , (первая подстановка Эйлера).

Интеграл вида , где рационализируется с помощью первой подстановки Эйлера .

Пример. Найти интеграл .

Здесь , поэтому применим подстановку . Возведем обе части равенства в квадрат , , приведем подобные члены, получим , откуда , .

Подставляя полученные выражения в данный интеграл, имеем

34 . Интегрирование функции , (вторая подстановка Эйлера).

Интеграл вида , где рационализируется с помощью первой подстановки Эйлера .

Пример. Найти интеграл .

Здесь , поэтому применим подстановку . Возведем обе части равенства в квадрат , , приведем подобные члены, получим , откуда , , .

Подставляя полученные выражения в данный интеграл, имеем Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей: , откуда Полагая , находим , при , получим , при имеем , тогда .