Задания для самостоятельной работы.

Частные производные

Пусть в области задана функция ; . Придадим независимым переменным приращения соответственно так чтобы точка .

Назовём полным приращением функции в точке разность

, .

Наряду с полным приращением функции рассматривают частные приращения. Зафиксируем аргумент и придадим приращение аргументу . Частное приращение функции по переменной – это разность

Если существует , то он называется частной производной функции по переменной в точке и обозначается одним из символов :

Таким образом, при вычислении частной производной функции по переменной у этой функции фиксируют переменную , при этом получают функцию только одной переменной , для которой и определяют первую производную.

Аналогично определяется частное приращение функции по переменной – это разность

При вычислении частных производных функции трёх и более переменных фиксируют все переменные, кроме одной, и дифференцируют полученную функцию одной переменной.

Частные производные вычисляются по тем же правилам, что и обыкновенные.

Пример 1. Найти частные производные по всем переменным следующих функций:

а) , б) , в)

Решение . а) фиксируем и дифференцируем функцию по переменной :

;

фиксируем и дифференцируем функцию по переменной :

б) Дифференцируем функцию по переменной при фиксированных и :

Дифференцируем функцию по переменной при фиксированных и :

Наконец, фиксируем и и дифференцируем функцию по переменной :

в) , , . ☻

Задания для самостоятельной работы.

Найти частные производные данных функций по каждой из независимых переменных ( - переменные):

1) 2)

3) ( - постоянные) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

23) 24)

25) 26)

27) 28)

29) 30)

31) 32)

33) в точке (3,4) 34)

35) в точке (1,2) 35)

37) 37)

Старшие производные

Так же, как и для одной переменной, определяем старшие производные функции многих переменных:

; и т.д.

Такие производные для функций многих переменных называются «чистыми». Если же после взятия первой производной по мы хотим результат продифференцировать по другой переменной, например, по , то получим «смешанную» производную

Ясно, что так можно построить старшие производные любого порядка по всем переменным.

Пример 1. Найти частные производные 1-го и 2-го порядка от функции

Решение. Фиксируем и дифференцируем функцию по :

Фиксируем и дифференцируем по :

Далее находим последовательно

Обращаем внимание на полученный результат:

. ☻

Смешанные производные и , вообще говоря, не равны. Однако справедливо утверждение, которым обычно пользуются:

Теорема. Если частные производные функции существуют в окрестности точки и непрерывны в точке , то вторые смешанные производные не зависят от порядка вычисления.

Аналогичное утверждение справедливо и для смешанных производных -го порядка.

Задания для самостоятельной работы.

1. Убедиться, что , если а) ;

б) ; в)

2. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; убедиться, что и что .

10.. Показать, что , если

а) ; б)

11. . Показать, что .

12. . Показать, что , каковы бы ни были дважды дифференцируемые функции .

13. . Проверить, что ( и – дважды дифференцируемые функции).

14. . Показать, что ( – дифференцируемая функция).

15. . Показать, что ( и – дважды дифференцируемые функции).

16. . Показать, что .

17. . Показать, что .

Дифференциал функции

Определение. Функция дифференцируема в точке , если её полное приращение в окрестности этой точки представимо в виде

где и - константы, не зависящие от .

Если функция дифференцируема в точке , то . Обратное, вообще говоря, неверно. В отличие от функций одной переменной, для функций многих переменных из существования в заданной точке первых частных производных не следует дифференцируемость функции по совокупности переменных.

Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных). Если у функции частные производные , существуют в окрестности точки и непрерывны в самой точке , то функция дифференцируема в этой точке.

В случае дифференцируемости функции главная линейная часть её приращения называется первым дифференциалом:

, .

Пример 1. Найти для функции .

Решение. Находим частные производные

Первый дифференциал примет вид

.☻

Аналогично определяется первый дифференциал функции трех переменных:

Пример 2. Найти для функции .

Решение . Вычислим

, , .

Первый дифференциал примет вид:

. ☻

Заменяя полное приращение функции ее дифференциалом , получим приближенную формулу (с точностью до :

Пример 3. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим функцию . В качестве начальной точки возьмём , тогда у нас .

Подсчитаем . Запишем первый дифференциал в точке : .

Теперь . ☻

Дифференциалы более высокого порядка от функции определяются по индукции

Для вычисления старших дифференциалов удобно пользоваться символической формулой

С учетом равенства непрерывных смешанных производных при использовании символической формулы для дифференциала -порядка применяют формулу бинома Ньютона.

Например, при получаем: