Методы получения случайных величин, распределенных по заданному закону

1. Метод обратной функции

В основе метода лежит факт того, что случайная величина r=F(x) равномерно распределена на интервале [0,1]. Для генерации случайной величины из распределения х генерируется случайное число r и решается уравнение r = F(x) относительно значения х=F^-1(r).

Например, функция экспоненциального распределения имеет вид , где 1/l – математическое ожидание. Приравнивая F(x) = r и решая уравнения относительно х, получаем .

Этот метод применим и для дискретных распределений (см. рис. 1).

Достоинства метода: точность метода; не требуется составления и хранения в памяти таблиц.

Основная трудность этого метода - поиск обратного преобразования
F^-1(r). Для ряда непрерывных распределений представление обратной функции в явном виде отсутствует. Для всех основных распределений, не имеющих явного представления обратной функции, разработаны специальные методы генерации.

2. Табличный метод

В качестве аргумента используется равномерно распределенное случайное число r, в качестве функции – последовательность чисел x_i, задающих закон распределения. Для этого формируется таблица
<F(x_i), x_i>, i =1, 2, ..., N.

Значение случайного числа Х с заданным законом распределения находят методом линейной интерполяции по формуле:

где ; i=1, 2, . . , N.

Поиск нужного интервала производится методом последовательного сравнения j-го случайного числа с границами интервалов F(x_i), i =1,2,...,N до выполнения условия .

Достоинства табличного метода: имеется возможность генерировать случайные последовательности с любым заданным законом; любую заданную точность можно получить при увеличении количества интервалов; требуется только одно случайное равномерное распределенное число и выполнение несложных операций, занимающих мало времени.

3. Использование функциональных особенностей распределений

Этот метод используется в тех случаях, когда аналитически не удается вычислить интеграл от функции плотности вероятности.

Так, для генерации случайных чисел X, имеющих специальное эрланговское распределение, можно воспользоваться kравномерно распределенными случайными числами r_i:

Для генерации нормально распределенных случайных чисел используется центральная предельная теорема, на основании которой суммируются N равномерно распределенных случайных чисел для получения нормально распределенного случайного числа X. Обычно, принимают N = 12..20.

, где s – требуемое среднеквадратичное отклонение, а М – требуемое математическое ожидание генерируемых случайных чисел.

Оценка качества случайных последовательностей

Для оценки качества случайных последовательностей с заданным законом распределения используется тест проверки частот и метод доверительного интервала для математического ожидания.

ЗАДАНИЕ

Запрограммировать генерацию случайных величин по заданному закону распределения, определяемую вариантом задания. Для выборки из 100 случайных величин определить их характеристики: математическое ожидание М, дисперсию D и среднеквадратичное отклонение s; построить графики функций плотности вероятностей f(X) / p(X) / и F(X). Выполнить оценку качества полученной случайной последовательности.

Порядок выполнения работы:

1. Изучить теоретическую часть.

2. Ответить на контрольные вопросы.

3. Получить у преподавателя номер варианта задания.

4. Выполнить задание и оформить отчет.

Содержание отчета.

1. Описание исходных данных и хода выполнения задания.

2. Результаты моделирования (характеристики, графики).

3. Выводы.

Контрольные вопросы

1. Что такое распределение случайной величины и какими функциями оно характеризуется?

2. Как вычисляются функции f(x) по F(x) и наоборот F(x) по f(x)?

3. Качественно изобразите графики функций f(x) и F(x) для основных видов распределений случайных величин.

4. Сформулируйте основные положения метода обратной функции.

5. Сформулируйте основные положения табличного метода.

6. Постройте графики р(х) и F(x) для дискретного распределения, заданного следующей функцией вероятности: р(0)=0,5 р(1)=0,3 р(2)=0,2 и, используя метод, обратной функции преобразуйте случайные числа 0,025; 0,91; 0,37; 0,26; 0,31 в выборку заданного распределения.

Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 328; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!