I) Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка .
Билет №1
1) Определение многоугольника. Вершины, стороны, диагонали и периметр многоугольника. Формула суммы углов выпуклого многоугольника
Определение. Многоугольником называют фигуру, составленную из отрезков так, что:
· смежные отрезки не лежат на одной прямой
· несмежные не имеют общих точек
Вершинами называются точки: А, В, С, D, E, F.
Сторонами многоугольника называются отрезки: AB, BC, CD, DE, ЕF, FA.
Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий две любые не соседние вершины.
Периметром многоугольника называется сумма длин всех сторон.
Сумма углов выпуклого многоугольника равна (n-2) 
180°
2) Доказать теорему о средней линии треугольника
Определение. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Теорема о средней линии треугольника
| Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны |
Дано: MN – средняя линия ∆АВС
Доказать: МN ǁ AC , MN = ½ AC.
Доказательство: Треугольники BMN и BAC подобны по второму признаку подобия треугольников ( 
B – общий, 
), поэтому 1 = 2 и 
.
Из равенства 1 = 2 следует, что МN ǁ AC (т. к. углы соответственные), а из равенства следует, что MN = ½ AC.
Теорема доказана.
Билет № 2
1) Определение и свойства параллелограмма
Определение. Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно – параллельны.
|
|
|
Свойства параллелограмма:
1° В параллелограмме противоположные углы равны. В параллелограмме противоположные стороны равны.
2° Диагонали параллелограмма точкой пересечения делится пополам.
3° В параллелограмме сумма углов прилежащих к одной стороне равна 180°.
4° Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2) Доказать свойство медиан треугольника
Определение. Медиана треугольника – это отрезок проведенный из вершины угла треугольника к противолежащей стороне и делящий её на две равные части.
Свойство медиан треугольника
| Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины |
| Дано: ∆АВС, О - точка пересечения медиан АА₁ и ВВ₁; А₁В₁ - средняя линия ∆АВС. Доказать: точка О пересечение медиан АА₁ и ВВ₁ делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. |
Доказательство:
Отрезок А₁В₁ параллелен стороне АВ, поэтому 1 = 2 ; 3 = 4 (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и А₁В₁.).
Следовательно, треугольники АОВ и А₁ОВ₁ подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны: 
|
|
|
Но АВ=2 А₁В₁, поэтому АО=2 
А₁О и ВО= 2 В₁О.
Таким образом, точка О пересечение медиан АА₁ и ВВ₁ делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.
Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан ВВ₁ и СС₁ делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О.
Итак, все три медианы треугольника АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
Теорема доказана
Билет № 3
1) Определение и свойства прямоугольника
Определение. Прямоугольник - параллелограмм у которого все углы прямые.
Свойства прямоугольника:
1° В прямоугольнике противоположные стороны равны.
2° В прямоугольнике диагонали точкой пересечения делится пополам.
3° Биссектриса угла прямоугольника отсекает от него равнобедренный треугольник.
4° В прямоугольнике диагонали равны.
2) Доказать теорему Пифагора
Теорема Пифагора – соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. АВ²=АС²+ВС²
| В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. |
Дано: прямоугольный треугольник с катетами a, d и гипотенузой с.
Доказать: с²=а²+b²
|
|
|
Доказательство:
Билет № 4
1) Определение и свойства ромба
Определение. Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
| Свойства ромба: 1° В ромбе противоположные углы равны. 2° Сумма углов прилежащих к одной стороне ромба равна 180°. 3° Диагонали в ромбе точкой пересечения делится пополам. 4° Биссектриса угла ромба отсекает от него равнобедренный треугольник. 5° Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. |
2) Доказать теорему о вписанном угле (любой частный случай)
Определение. Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
Теорема о вписанном угле
| Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. |
Дано: АВС – вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на дугу АС
Доказать: АВС=½ᴗАС
Доказательство:
| 
|
| 
|
|
Билет № 5
1) Определение. Трапеция – четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Виды трапеции:
· равнобедренная трапеция
· прямоугольная трапеция
2) Доказать свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки
|
|
|
| 
|
Билет №6
1)Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
Признаки подобия:
1.Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
2.Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
3.Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
2) Доказать признак параллелограмма (по точке пересечения диагоналей).
Определение. Параллелограмм - четырехугольник, у которого стороны противоположные стороны попарно параллельны.
Признак параллелограмма (по точке пересечения диагоналей)
| Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник -параллелограмм |
Дано: АВСD- четырехугольник, АС,ВD- диагонали, АС∩ВD=О, АО=ОС, ВО=ОС
Доказать: АВСD-параллелограмм
Доказательство:
| 
|
Билет №7
1)Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащему катету к прилежащему катету.
Основное тригонометрическое тождество:
2) Доказать свойство диагоналей параллелограмма.
Определение. Параллелограмм - четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Диагональ - отрезок, соединяющий две несоседние вершины.
Свойство диагоналей параллелограмма
| Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. |
Дано: АВСD – параллелограмм, АС, ВD- диагонали, АС∩ВD=О
Доказать:
АО=ОС,ВО=ОС
Доказательство:
| 
|
Билет №8
1) Значение синуса, косинуса и тангенса углов 30 
,45 ,60 .
| 30° | 45° | 60° | |
| sin α | 
| 
| 
|
| cos α |
|
|
|
| tg α |  
| 1 | 
|
2) Доказать свойства противоположных сторон и углов параллелограмма
Определение. Параллелограмм - многоугольник, у которого стороны противоположные стороны попарно параллельны.
Свойство противоположных сторон и углов параллелограмма
| В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны |
Дано: АВСD –параллелограмм, АС- диагональ
Доказать: СD=ВА,АD=ВС, 
В= D, А= С
Доказательство:
| 
|
Билет № 9
1) Определение секущей и касательной к окружности
Прямая называется секущей, если прямая и окружность имеют две общие точки пересечения. (Рис 9.1)
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности ( Рис 9.2)
Рис 9.2 
Рис 9.1
2)Доказать свойство диагоналей прямоугольника
Определение. Прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы прямые.
Диагональ - отрезок, соединяющий две несоседние вершины
Свойство диагоналей прямоугольника
| Диагонали прямоугольника равны |
Дано: АВСD –прямоугольник, АС, ВD- диагонали
Доказать: АС=ВD
Доказательство:
| 
|
Билет № 10
1)Определение вписанного и центрального углов окружности
| Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность | Центральный угол - угол с вершиной в центре окружности |
| 
|
2) Доказать признак параллелограмма через равенство и параллельность двух противоположных сторон
Параллелограмм - четырехугольник, у которого стороны противоположные стороны попарно параллельны.
Диагональ - отрезок, соединяющий две несоседние вершины.
Признак параллелограмма через равенство и параллельность двух противоположных сторон
| Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм |
Дано: АВСD - четырехугольник, СА-секущая
АВ=СD,АBIIСD
Доказать: АВСD - параллелограмм
Доказательство:
| 
|
Билет № 11
1)Определение серединного перпендикуляра к отрезку. Свойство серединного перпендикуляра
Серединный перпендикуляр (срединный перпендикуляр или медиатриса) — прямая, перпендикулярная к данному отрезку и проходящая через его середину.
2) 
I) Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка .
2) Вывод формулы площади треугольника. Следствия. Формула Герона (без доказательства)
Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Дано: 
АВС
Доказать: 
Доказательство:
Достроим 
ABC до параллелограмма ABDC
=> 
=> 
Следствия:
Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. 
Следствие 2. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
Формула Герона: 
Билет № 12
Определение окружности, вписанной в многоугольник. Многоугольник, описанный около окружности. Свойство описанного четырехугольника.
1) Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник - описанным около этой окружности.
Свойство описанного четырехугольника:
Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 423; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!