Метрическое описание и аналитическое продолжение
В 1915 году К. Шварцшильд выписал решения уравнений Эйнштейна без космологического члена для пустого пространства в сферически симметричном статическом случае (позднее Биркхоф показал, что предположение статичности излишне). Это решение оказалось пространством-временем M с топологией 
и интервалом, приводимым к виду
где
t — временна́я координата, в секундах,
r — радиальная координата, в метрах,
— полярная угловая координата, в радианах,
— азимутальная угловая координата, в радианах,
— радиус Шварцшильда тела с массой M, в метрах.
Временна́я координата соответствует времениподобному вектору Киллинга 
, который отвечает за статичность пространства-времени, при этом её масштаб выбран так, что t — это время, измеряемое бесконечно удалёнными покоящимися часами 
.
Часы, закреплённые на радиальной координате r без вращения 
, будут идти медленнее этих удалённых в 
раз за счёт гравитационного замедления времени.
Геометрический смысл r состоит в том, что площадь поверхности сферы 
есть 
. Важно, что координата r принимает только значения, бо́льшие , а значение параметра r , в отличие от лапласовского случая, не является «расстоянием до центра», так как центра как точки (события на действительной мировой линии какого-либо тела) в шварцшильдовском пространстве M вообще нет.
Наконец, угловые координаты 
соответствуют сферической симметрии задачи и связаны с её 3 векторами Киллинга.
|
|
|
Из основных принципов ОТО следует, что такую метрику создаст (снаружи от себя) любое сферически симметричное тело с радиусом 
и массой 
. Замечательно, хотя и в некоторой степени случайно, что величина гравитационного радиуса — радиус Шварцшильда — совпадает с гравитационным радиусом 
вычисленным ранее Лапласом для тела массы M.
Как видно из приведённой формы метрики, коэффициенты при t и r ведут себя патологически при 
, где и располагается горизонт событий чёрной дыры Шварцшильда — в такой записи решения Шварцшильда там имеется координатная сингулярность. Эти патологии являются, однако, лишь эффектом выбора координат (подобно тому, как в сферической системе координат при 
любое значение описывает одну и ту же точку). Пространство Шварцшильд M можно, как говорят, «продолжить за горизонт», и если там тоже считать пространство везде пустым, то при этом возникает бо́льшее пространство-время M, которое называется обычно максимально продолженным пространством Шварцшильда или (реже) пространством Крускала.
Чтобы покрыть это большее пространство единой координатной картой, можно ввести на нём, например, координаты Крускала — Шекерса. Интервал M в этих координатах имеет вид
|
|
|
где 
, а функция 
определяется (неявно) уравнением 
Пространство M максимально, то есть его уже нельзя изометрически вложить в большее пространство-время (его нельзя «продолжить»). Исходное пространство M является всего лишь частью M при 
— область I на рисунке. Тело, движущееся медленнее света — мировая линия такого тела будет кривой с углом наклона к вертикали меньше 45°, см. кривую 
на рисунке — может покинуть М. При этом оно попадает в область II, где 
. Покинуть эту область и вернуться к 
оно, как видно из рисунка, уже не сможет (для этого пришлось бы отклониться более, чем на 45° от вертикали, то есть превысить скорость света). Область II, таким образом, представляет собой чёрную дыру. Её граница (ломаная, 
) соответственно является горизонтом событий.
Отметим несколько замечательных свойств максимально продолженного Шварцшильдовского пространства M:
1. Оно сингулярно: координата r наблюдателя, падающего под горизонт, уменьшается и стремится к нулю, когда его собственное время 
стремится к некоторому конечному значению 
. Однако его мировую линию нельзя продолжить в область 
, так как точек с 
в этом пространстве нет. Таким образом, судьба наблюдателя нам известна только до некоторого момента его (собственного) времени.
|
|
|
2. Пространство М имеет две истинные гравитационные сингулярности: одну в «прошлом» для любого наблюдателя из областей I и III, и одну в «будущем» (обозначены серым на рисунке справа).
3. Хотя пространство М статично (видно, что первая метрика этого раздела не зависит от времени t), пространство М таковым не является.
4. Область III тоже изометрична М. Таким образом, пространство Шварцшильда содержит две «вселенные» — «нашу» (это М )и ещё одну такую же. Область II внутри чёрной дыры, соединяющая их, называется мостом Эйнштейна — Розена. Попасть во вторую вселенную наблюдатель, стартовавший из I и движущийся медленнее света, не сможет , однако в промежуток времени между пересечением горизонта и попаданием на сингулярность он сможет увидеть её. Такая структура пространства-времени, которая сохраняется и даже усложняется при рассмотрении более сложных чёрных дыр, породила многочисленные спекуляции на тему возможных параллельных вселенных и путешествий в них через чёрные дыры как в научной литературе, так и в научно-фантастической.
Чтобы представить себе структуру 4-мерного пространства-времени М, его удобно условно рассматривать как эволюцию 3-мерного пространства. Для этого можно ввести «временнýю» координату 
и сечения 
(это пространственно-подобные поверхности, или «поверхности одновременности») воспринимать как M «в данный момент времени». На рис. 2 показаны такие сечения для разных моментов T. Мы видим, что вначале имеются два несвязанных 3-мерных пространства. Каждое из них сферически симметрично и асимптотически плоско. Точка 
отсутствует и при 
кривизна неограниченно растёт (сингулярность). В момент времени T=-1 обе сингулярности исчезают и между ранее не связанными пространствами возникает «перемычка» (в современной терминологии кротовая нора). Радиус её горловины возрастает до при T=0, затем начинает уменьшаться и при T=1 перемычка снова разрывается, оставляя два пространства несвязанными.
|
|
|
Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 268; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!