Траектория снаряда с учетом сопротивления воздуха.
Всякое тело испытывает при движении противодействие со стороны той среды, в которой происходит движение. Учет сопротивления воздуха затрудняет аналитическое решение задачи внешней баллистики, поэтому в этом случае целесообразен численный расчет.
Если скорость тела велика, то сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости и может быть выражена в виде
, (28)
где 
– площадь сечения тела, 
– плотность воздуха, 
– безразмерный коэффициент, величина которого зависит от формы тела. Для обтекаемых тел величина может опускаться до значения 
.
Второй закон Ньютона (2) для движения снаряда на который действует сила тяжести 
и сила сопротивления воздуха (28) запишется в виде
. (29)
Обозначим 
и запишем (29) в проекциях на оси системы координат 
. (30)
Выразим ускорения в уравнениях (30) через производные скорости и добавим к системе дифференциальные уравнения координат (8)
. (31)
Вместе с начальными условиями
, (32)
система (31) представляет собой динамическую модель движущегося снаряда в условиях действия сопротивления воздуха. Для составления алгоритма численного интегрирования перейдем к системе разностных уравнений, как мы это делали выше и запишем
. (33)
|
|
|
Используя систему (33) записываем блок численного интегрирования
// траектория снаряда при наличии сопротивления воздуха
t:=0 {c} {время};
tt:=0.001 {c} {шаг интегрирования};
V0:=662{м/c} {начальная скорость снаряда};
g:=9.8 {м/сс} {ускорение свободного падения};
p0:=0.029 {кг/ммм} {плотность воздуха};
k:=0.05; {геометрический коэффициент сопротивления};
fg:=55{градусы}; f:=fg*Pi/180 {перевод градусов в радианы};
VX:=V0*cos(f); VY:=V0*sin(f){составляющие начальной скорости};
X:=0 {м}; Y:=0 {м} {начальные координаты снаряда};
m:=6.3{кг} {масса снаряда};
ks:=k*p0/(2*m){результирующий коэффициент сопротивления};
For i:=1 to 500000 do
begin
if Y<0 then Goto 5;
VX:=VX-ks*Abs(VX)*VX*tt;
VY:=VY-(g+ks*Abs(VY)*VY)*tt;
X:=X+VX*tt;
Y:=Y+VY*tt;
SetPixel(X0+round(X*40*MasX),Y0-round(Y*40*MasY), clBlack);
5:t:=t+tt;
end;
Рис. 4. Траектория снаряда с учетом сопротивления и без учета сопротивления воздуха.
На рис. 4 приведен расчет траекторий снаряда советской 76-мм дивизионной пушки ЗиС-3 с учетом и без учета силы сопротивления воздуха. Таким образом, учет сопротивления уменьшает дальность стрельбы более чем в 4 раза.
|
|
|
Движение снаряда в изотермической атмосфере.
В процессе движения, снаряд поднимается на высоту, где плотность воздуха значительно ниже плотности воздуха на поверхности земли. Поэтому сопротивление воздуха движению снаряда будет тем меньше, чем больше высота его подъёма.
Тем не менее, в выражении силы (28) значением плотности воздуха, все время равно плотности его на поверхности земли.
Теперь учтем изменение плотности с высотой. Для этого воспользуемся так называемой барометрической формулой
, (34)
где – плотность на нулевом уровне, 
– молярная масса воздуха, 
– высота движения, 
– универсальная газовая постоянная, 
– температура воздуха. Температура воздуха, сама зависит от высоты над поверхностью земли, но в данном приближении, мы будем считать её постоянной. Введем обозначение
, (35)
и перепишем (34) в виде
. (36)
|
|
|
Сила сопротивления (28) с учетом экспоненциального изменения плотности (34) будет
,
а второй закон Ньютона примет вид
. (37)
Динамическая модель движущегося снаряда (31) примет вид
, (38)
с начальными условиями (32).
Запишем систему разностных уравнений
. (39)
Напишем блок численного интегрирования в программе
// траектория снаряда в экспоненциальной атмосфере
t:=0 {c} {время};
tt:=0.001 {c} {шаг интегрирования};
V0:=662{м/c} {начальная скорость снаряда};
g:=9.8 {м/сс} {ускорение свободного падения};
mm:=0.029 {молярная масса воздуха};
R0:=8.31 {универсальная газовая постоянная};
|
|
|
TK:=273 {К} {температура воздуха};
H0:=(mm*g)/(R0*TK) {константа высоты};
pa:=0.029 {кг/ммм} {плотность воздуха};
k:=0.03; {геометрический коэффициент сопротивления};
fg:=55{градусы}; f:=fg*Pi/180 {перевод градусов в радианы};
VX:=V0*cos(f); VY:=V0*sin(f) {составляющие начальной скорости};
X:=0 {м}; Y:=0 {м} {начальные координаты снаряда};
m:=6.3 {кг} {масса снаряда};
ks:=k*pa/(2*m);
For i:=1 to 500000 do
begin
if Y<0 then Goto 8;
VX:=VX-ks*Exp(-H0*X)*Abs(VX)*VX*tt;
VY:=VY-(g+ks*Exp(-H0*Y)*Abs(VY)*VY)*tt;
X:=X+VX*tt;
Y:=Y+VY*tt;
SetPixel(X0+round(X*40*MasX),Y0-round(Y*40*MasY), clBlack);
8:t:=t+tt;
end;
На рис. 5 приведен сравнительный анализ траекторий в рассмотренных моделях движений снаряда
Рис.5. Траектории снаряда в различных расчетных моделях.
Заключение
В процессе работы были решены следующие задачи:
· Создана компьютерная модель траектории снаряда без учета сопротивления воздуха.
· Создана компьютерная модель движения снаряда в атмосфере с постоянной плотностью
· Создана компьютерная модель движения снаряда в атмосфере, плотность которой убывает по закону экспоненты.
Тем самым достигнута цель работы: написана программа на языке программирования Pascal ABC, которая дает полную теорию баллистики, а именно - движения снарядов в реальной среде с учетом сопротивления и размеров (геометрии) тела.
Дата добавления: 2020-01-07; просмотров: 4187; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!