Зниження порядку диференціальних другого порядку

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Основним методом інтегрування (знаходження загального розвязку або загального інтеграла) диференціальних рівнянь вищого порядку є зниження їх порядку і зведення до інтегрування диференціальних рівнянь першого порятку. Розглянемо деякі можливі видатки зниження порядку диференціальних рівнянь другого порядку.

1. Диференціальне рівняння не містить невідомої функції у, тобто має вигляд:

(7).

У цьому випадку робимо заміну і отримуємо диференціальне рівняння першого порядку стосовно невідомої функції Z:

Якщо знайдемо загальний розв’язок , рівнянь (8) то далі інтегруємо рівняння ; якщо ж знайдемо загальний інтеграл то для знаходження розв’язків диференціального рівняння (7) отримуємо наявне диференціальних рівнянь першого порятку

2. Диференціальне рівняння не містить явно аргументах х, тобто має вигляд

(9)

У розв’язаному випадку приймаємо за невідому функцію а й аргументи вважаємо у. Тоді маємо:

Підставимо вирази для у’,y” у рівняння (9), отримаємо відносно функцію диференціальних рівнянь першого порядку:

(10)

Якщо знайдемо загальний розв’язок рівняння (10), то дані інтнгруєм явне диференціальне рівняння першого порядку яке є з розв’язком функції змінними; якщо ж знайдено загальний інтеграл рівняння (17.10), то дані інтегруємо наявне диференційне рівняння першого порядку.

Диференціальне рівняння (3) є однорідним відносно функції у та її похідних і

тобто

У цьому випадку виконуємо заміну де z = z (x). Знаходимо Підготовимо вирази для та у рівняння (3) і використовуємо його однорідність:

У результаті приходимо до диференціальних рівнянь першого порятку стосовно функції

(11)

яке з точністюдо розвязку рівносильне рівняню (3)

Якщо знайдемо загальний розвязок рівняння (11), то речі інтегруємо розв’язане дифененційне рівняння першого порядку , яке є з відокремлюваними змінними; якщо ж знайдемо загальний інтеграл то приходимо до інтегрування наявного диференціального рівняння першого порядку:

При зниженні порядку вихідного рівняння міг бути втрачений його розв’язок у=0. Але він не втрачений, отримуємо із загального розв’язку при

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку

Диференціальні рівняння розв’язку порядку (3) називається лінійним, якщо функція, є лінійно відносно тобто якщо воно має вигляд

(12)

Будемо вважати, що розв’язком і вільний член q(x) x є(a,b) i .

Якщо то маємо відповідне лінійне однорідне рівняння

(13)

Якщо ,то рівняння (12) називають лінійним не однорідним диференціальним рівняння другого порядку.

Питання для перевірки

1. Що називається диференціальним рівнянням вищого порядку ?

2. Задача Коші.

3. Основні методи інтегрування.

4. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.

Тестові завдання

1. Диференційні рівняння вищого порядку стосовно функції у(х) має вигляд:

2.Функція (вписати відповідь) де і довільні сталі називається загальним розв’язком диференційованого рівняння другого порядку, якщо вона є розв’язком цього рівняння для розв’язком функції і і з якої за рахунок вибору значень цих сталих можна отримати будь-який розв’язок цього рівняння (за винятком може окремих).

3. Співвідношення яким певно додається загальний розв’язок диференціального рівняння 2-го порядку, називається (вписати відповідь) цього рівняння.

4. Диференціальне рівняння не містить невідомої функції у, тобто має вигляд:

5.Розв’язок який отримуємо із загального диференціального рівняння 2-го порядку, падаючи і певних числових значень, називається числовим (вписати відповідь) цього рівняння.

6. Графік функції називається при цьому(вписати відповідь)диференціального рівняння (3) чи (4).

7. Диференціальні рівняння розв’язку порядку (3) називається лінійним, якщо функція, є лінійно відносно тобто якщо воно має вигляд

8. Співвідношення … яким певно додається загальний розв’язок диференціального рівняння 2-го порядку, називається загальним інтегралом цього рівняння:

9. З теореми існування та розв’язку задачі Коші для рівняння (4) випливає, що при виконанні умов теореми в деякому околі точки існує загальний розв’язок цього рівняння, з розв’язком якого отримати розв’язок задачі Коші, визначивши значення сталих і із системи рівнянь:

Задачі

Задача 1. Знайти розв’язок диференційoваного рівняння що задовольняє умови

Розв’язання. Загальний розв’язок цього рівняння легко знайти шляхом інтегрування заданої рівності, бо тоді розв’язком функції , друга похідна яких дорівнює 6х:

загальний розв’язок рівняння.

Задача 2. Знайти розв’язок рівняння , який звдовольняє умови: .

Розв’язання. Оскільки у рівнянні явно не входить аргумент х, то знижуємо його порядок підстановкою з якої випливає, що

Підставити вирази для і , у дане рівняння, отримаємо диференціальне рівняння першого порядку

яке рівносильне сукупності рівнянь:

Інтегруємо друге рівняння, яке є з відокремлюваними змінними:

При відокремлені зміних втраченими могли бути розвязки і . Ці розв’язки не є втраченими, бо перший з них співпадає з першим рівнянням сукупності, а другий отримуємо з сімї

при

Отже, множина всіх розв’язкв дискретного рівняння у змінних y i z записується сукупністю розв’язком:

Враховуючи, що з одержаних розв’язків з яких отримуємо дві сукупності диференційних рівнянь:

Одже множина розв’язків вихідного диференціального рівняння складається з двох цілей інтегральних кривих і .

Розв’язок, який задовольняє початкові умови у(1)=1, у’(1)= -1 входить у другу сімю, яка виражається загальним інтегралом . З цього загального інтеграла вилучаємо розвязок, що задовольняє задані початкові умови. Для цього маємо систему рівнянь для визначення і :