ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: изучить один из экспериментальных методов определения моментов инерции тел.

Приборы и принадлежности: трифилярный подвес, секундомер, штангенциркуль; набор тел подлежащих измерению.

Момент инерции I твердого тела относительно некоторой оси определяется выражением

 

,

 

где r – расстояние элемента массы dm от оси вращения.

В простых случаях величину момента инерции можно определять расчетом, а в сложных его приходится искать экспериментальным путем. Одним из удобных методов измерения моментов инерции твердых тел является метод трифилярного подвеса.

Теория трифилярного подвеса

Схема трифилярного подвеса приведена на рис. 6.

Подвижная платформа Р' подвешена к платформе Р на трех симметрично расположенных нитях АА', ВВ'., СC'. Платформа Р позволяет возбудить в системе крутильные колебания. Вращательный импульс, необходимый для начала крутильных колебаний, сообщается платформе путем специального приспособления, которое находится сверху прибора, приводящего в движение рычажок, связанный с диском. Этим достигается почти полное отсутствие других крутильных колебаний, наличие которых затрудняет измерения. Для удобства отсчета колебаний на платформе имеется метка, против которой при покоящейся платформе устанавливается указатель – проволока на штативе.

При повороте нижней платформы Р' (относительно верхней) вокруг вертикальной оси на некоторый угол j возникает момент сил, стремящийся вернуть платформу в положение равновесия. Если пренебречь трением, то на основании закона сохранения энергии для колеблющейся системы можно записать:

 

, (1)

 

где  – кинетическая энергия системы, - потенциальная энергия системы, I – момент инерции платформы вместе с исследуемым телом, М – масса платформы с телом, z ₀ – начальная координата точки О' (при ( j =0), z – координата точки О при текущем значении j. Точкой обозначено дифференцирование по времени.

Как следует из рис. 6, координаты точки С в системе координат
( x , y , z ) равны (r,0,0), а точка С' имеет координаты (Rcos j ₀ , Rsin j ₀ , Z), где j ₀ – максимальный угол отклонения. Расстояние между точками С и С' равно длине нити l. Записывая l через значение ее координат (l ² = x ² + y ² + z ², где x ² =( Rcos j ₀ - r )², y ² =( Rsin j ₀ )², z ² = z ²), получим:

(R cos j _{0 –} r)²+ (R sin j ₀ )²+ z²=l²

z²=l²-R²-r²+2Rrcos j ₀ =Z₀² – 2Rr(1-cos j ₀ ),

так как Z ₀ ² = l ² -( R - r )²= l ² - R ² +2 Rr - r ² .

Учитывая, что для малых углов отклонения j ₀ cos j ₀ » 1- j ₀ ² /2, получим

 

Z ² = Z ₀ ² - Rr j ₀ ².(2)

 

Приравнивая корень из выражения (2), найдем, что при малых углах j

 

. (3)

Из (3) следует, что , (4)

 

так как Z ₀ = l. Считая, что платформа совершает гармонические колебания, можем записать зависимость углового смещения в виде:

 

, (5)

 

где j₀ – амплитуда отклонения, Т – период колебания, t – текущее время. Угловая скорость, являющаяся первой производной по времени, выражается так:

 

. (6)

 

В момент прохождения через положение равновесия

 

t=0, T/2,T,3T/2, ….( т . к . cos(2 p /T) = ± 1),

абсолютное значение этой величины будет

 

. (7)

 

На основании вышеизложенного – выражений (1) и (7) – имеем

 

. (8)

 

Подставляя в (8) выражение (4), получим

 

,

откуда (9)

 

По формуле (9) может быть определен момент инерции платформы и тела, положенного на нее, так как все величины в правой части формулы могут быть непосредственно измерены. Формула (9) справедлива при отсутствии в системе потерь энергии на трение, или при t >> T, где Т – период колебаний системы, а t – время, в течение которого амплитуда колебаний платформы заметно уменьшается (в 2 – 3 раза).

Параметры трифилярного подвеса.

r = (0,06±0,001) м; l = (0,61±0,002) м;

R = (0,12±0,001) м; m ₀ = (0,481±0,01) кг – масса пустой платформы.

---

Дата добавления: 2020-01-07; просмотров: 230; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!