Все верные цифры приближенного числа, начиная с первой отличной от нуля цифры, называются значащими, следовательно, 9, 7 – значащие цифры.
Вывод: Значащими цифрами не являются сомнительные цифры и верные нули, стоящие впереди числа.
Упражнения:
1. Определить верные и сомнительные цифры, значащие цифры в приближенном значении числа:
а) х = 609 ± 0,04; в) х = 0,067 ± 0,005; д) х = 4,289 ± 0,2;
б) х = 749,3 ± 5; г) х = 14,08 ± 0,01; е) х = 428,7 ± 20.
2. Указать абсолютную погрешность приближенного числа, если в записи приближенных значений все цифры верные:
а) а = 14,5 × 10; г) а = 34,20; к) а = 542,3 × 10; в) а = 748,56;
б) а = 263 × 10 4; д) а = 759,00; з) а = 1,0000; и) а = 147,3 × 10 3.
3. Найти относительную погрешность приближенного значения числа:
а) х = 19,83; а = 19,76; в) х = 32,301; а = 32,287;
б) х = 7,013; а = 7,028; г) х = 1045,6; а = 1027,9.
6. Какова точность данных приближенных равенств, если в записи приближенных значений все цифры верные:
а) х » 1,25; б) у » 1,25 × 10 2; в) z » 13,20; г) и » 1,51 × 10 –3.
7. С какой точностью указаны в справочнике старинные меры веса:
а) 1 пуд » 16,380 кг; б) 1 фунт » 0,40951 кг.
8. Указать значащие цифры в приближенном значении числа х » 31,9 , если
Е = 1,5 %.
4. Округление чисел.
Стандартный вид числа
В приближенных вычислениях часто приходится округлять числа, как приближенные, так и точные, то есть отбрасывать одну или несколько последних цифр. Существует три способа округления чисел.
Округление с недостатком: Чтобы округлить число до единиц п-ого разряда с недостатком, отбрасывают все его цифры после п-ого разряда или заменяют их нулями, при этом последняя сохраняемая цифра не изменяется.
|
|
|
Округление с избытком: Чтобы округлить число до единиц п-ого разряда с избытком, отбрасывают все его цифры после п-ого разряда или заменяют их нулями, при этом последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
Пример:
Округлить данные числа до указанного разряда, используя способы округления с недостатком и избытком. Найти ошибку округления. Какой способ округления лучше? 1. х = 39,2; 2. х = 472,387; 3. х = 1926; 4. х = 83519,4.
Решение:
1. 39,2 » 39; D х1 = ½39,2 - 39 ½ = 0,2;
39,2 » 40; D х2 = ½39,2 - 40 ½ = 0,8;
D х1 < D х2 , следовательно, округление с недостатком числа 39,2 лучше.
2. 472,387 » 472,3; D х1 = ½472,387 - 472,3 ½ = 0,087;
472,387 » 472,4; D х2 = ½472,387 - 472,4 ½ = 0,013.
D х2 < D х1 , следовательно, округление с избытком числа 472,387 лучше.
3. 1926 » 1920; D х1 = ½1926 - 1920 ½ = 6;
1926 » 1930; D х2 = ½1926 - 1930 ½ = 4.
D х2 < D х1 , следовательно, округление с избытком числа 1926 лучше.
4. 83519,4 » 83500; D х1 = ½83519,4 - 83500 ½ = 19,4;
83519,4 » 83600; D х2 = ½83519,4 - 83600 ½ = 80,6.
D х1 < D х2 , следовательно, округление с недостатком числа 83519,4 лучше.
Округление с наименьшей погрешностью: Чтобы округлить число до единиц п-ого разряда с наименьшей погрешностью, отбрасывают все его цифры после п-ого разряда или заменяют их нулями. При этом если первая округляемая цифра меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не изменяется; а если первая округляемая цифра больше или равна 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
|
|
|
Замечание:
Если округляемая цифра принадлежит дробной части числа, то она отбрасывается. Если округляемая цифра принадлежит целой части числа, то она заменяется нулем.
За правило округления чисел принят способ округления с наименьшей погрешностью.
3. Абсолютная погрешность, допущенная при округлении, называется ошибкой округления.
Упражнения: Округлить данные числа до указанного разряда, используя правило округления:
1) х =12,356; 2) х =0,7321; 3) х =241,36; 4) х = 4193; 5) х = 325.
В науке и технике часто пользуются очень большими и очень малыми числами. Такие числа удобно записывать в стандартном виде.
Определение: Стандартным видом данного числа называется выражение а × 10 к,где 1 £ а < 10 , к – целое число.
Замечание:
1. Если данное число записано в стандартном виде а × 10 к , то число к называютпорядком данного числа. Значения величин часто сравниваются по порядку.
|
|
|
Если приближенное значение числа записано в стандартном виде, то все верные цифры будут и значащими.
3. Граница абсолютной погрешности приближенного значения числа, записанного в стандартном виде а × 10 к, равна единице разряда последней сохраняемой цифры, умноженной на 10 к.
Пример: d Солнца = 1390600000 м = 1,3906 × 10 9 м , к = 9, h = 0,0001 × 10 9 = 10 5;
d молекулы воды = 0,00000003 см = 3 × 10 – 8 см , к = – 8, h = 1 × 10 – 8 = 10 – 8 ;
m Земли = 5,98 × 10 24 кг , к = 24, h = 0,01 × 10 24 = 10 22;
v света = 2,99793 × 10 8 м / с , к = 8, h = 0,00001 × 10 8 = 10 3.
Пример:
1. Записать правильно приближенное значение числа х = 9,846 ± 0,04.
Решение:
1) 
Определить верные и сомнительные цифры в приближенном значении числа х:
Цифра 6 в 0,001; h = 0,04 £ 0,001 , 6 – сомнительная цифра;
Цифра 4 в 0,01; h = 0,04 £ 0,01 , 4 – сомнительная цифра;
Цифра 8 в 0,1; h = 0,04 £ 0,1 , 8 – верная цифра;
Следовательно, 9 – верная цифра.
2) Округлить данное приближенное значение 9,846 числа х, сохраняя только верные цифры: 9,846 ≈ 9,8 .
3) Найти ошибку округления: D х = ½9,846 – 9,8 ½ = 0,046.
4) Определить границу абсолютной погрешности нового приближенного значения 9,8 числа х: х = 9,8 ± (0,04 + 0,046) = 9,8 ± 0,086 .
|
|
|
Ответ: х = 9,8 ± 0,086 .
2. Записать правильно приближенное значение числа х = 1,23 ± 0,02.
Решение:
1) Определить верные и сомнительные цифры в приближенном значении 1,23:
Цифра 3 в 0,01; h = 0,02 £ 0,01 , 3 – сомнительная цифра;
Цифра 2 в 0,1; h = 0,02 £ 0,1 , 2 – верная цифра;
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 456; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!