Обратные тригонометрические функции.
Тригонометрические функции.
Тригонометрические уравнения и неравенства.
Свойства и графики тригонометрических функций.
Определение: Тригонометрической функцией числового аргумента х называется тригонометрическая функция угла, содержащего х радиан.
, 
, 
, 
.
Свойства и график тригонометрической функции .
| x |
| y |
| 0 |
| у = 1 |
| у = - 1 |
| y |
.
2. Множество значений функции: 
Вывод: График функции расположен между прямыми y = -1 ; y = 1 .
3. Функция нечетная, то есть 
.
Вывод: График функции симметричен относительно начала координат.
4. Функция периодическая, так как 
.
Вывод:График функции повторяется через 2p .
5. Функция не монотонная:
возрастает от - 1 до 1 ;
убывает от 1 до - 1 .
Функция необратимая на области определения.
7. y = 0; sin x = 0 при x = pk -нули функции.
8. Функция ограниченная, так как 
.
при 
при 
| x |
| y |
| 0 |
| 1 |
| - 1 |
|
| p |
| 2 p |
| - p |
| - 2 p |
|
|
|
График функции называется синусоидой.
| x |
| y |
| 0 |
| у = 1 |
| у = - 1 |
.
1. Область определения функции: .
2. Множество значений функции: .
Вывод: График функции расположен между прямыми y = -1 ; y = 1 .
3. Функция четная, то есть 
Вывод: График функции симметричен относительно оси ординат.
|
|
|
4. Функция периодическая, так как 
.
Вывод:График функции повторяется через 2p .
5. Функция не монотонная:
убывает от 1 до - 1;
возрастает от - 1 до 1 .
Функция необратимая на области определения.
7. y = 0; 
при 
.
8. Функция ограниченная, так как 
.
при 
,
| x |
| y |
| 0 |
| 1 |
| - 1 |
| p |
| 2 p |
| - p |
| -2 p |
|
|
|
|
при 
График функции называется косинусоидой.
Свойства и график тригонометрической функции 
.
1. Область определения функции: 
или 
.
2. Множество значений функции: 
.
Вывод: График функции расположен между прямыми 
, 
.
3. Функция нечетная, то есть 
.
Вывод: График функции симметричен относительно начала координат.
4. Функция периодическая, так как как tg ( x + pk ) = tg x , k Î Z .
Вывод:График функции повторяется через p .
5. Функция не монотонная на всей области определения, но функция возрастающая в каждом из промежутков 
.
Функция необратимая на области определения.
7. 
; 
при 
-нули функции.
8. Функция неограниченная, так как 
.
График функции называется тангенсоидой.
| y |
| x |
|
|
| p |
|
|
| - 1 |
| 1 |
| 0 |
|
|
| - p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства и график тригонометрической функции .
1. Область определения функции: 
или 
.
2. Множество значений функции: .
Вывод: График функции расположен между прямыми 
, 
.
3. Функция нечетная, то есть 
.
Вывод: График функции симметричен относительно начала координат.
4. Функция периодическая, так как с tg ( x + pk ) = с tg x , k Î Z .
Вывод:График функции повторяется через p .
5. Функция не монотонная на всей области определения, но функция убывающая в каждом из промежутков xÎ ( 0 +pk ; p+pk ) , k Î Z .
6. Функция необратимая на области определения.
7. y = 0; 
при 
-нули функции.
8. Функция неограниченная, так как 
.
График функции называется котангенсоидой.
| x |
| y |
|
|
| p |
|
|
| - 1 |
| 1 |
| 0 |
|
|
| - p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2 p |
|
Обратные тригонометрические функции.
Определение: Функция называется обратимой, если она принимает каждое свое значение только один раз.
| у |
| х |
| 1 |
| - 1 |
|
|
| a1 |
| a2 |
| а2 |
| а1 |
| a2 |
|
|
|
При 
функция 
возрастает от - 1 до 1 и принимает каждое свое значение один раз, то есть при 
функция имеет обратную функцию.
Определение: Арксинусом числа а, принадлежащего отрезку 
, называется угол a, принадлежащийотрезку 
, синус которого равен а .
arcsin a = a , 
, 
, sin a = a .
Пример :
1) 
, так как 
, 
, 
;
2) 
, так как 
, 
, 
;
3) 
, так как 
, 
, 
;
4) arcsin 
= 
, так как 
, 
, sin = ;
5)
| х |
| a1 |
| у |
| 1 |
| а1 |
| a2 |
| - 1 |
| а2 |
| p |
| 0 |
, так как 
, 
, 
При х Î [0 ; p ] функция 
убывает от 1 до -1 и принимает каждое свое значение один раз, то есть при х Î [0 ; p ] функция имеет обратную функцию.
Определение: Арккосинусом числа а, принадлежащего отрезку [ - 1; 1 ], называется угол a, принадлежащийотрезку [0 ; p ], косинус которого равен а .
arccos a = a , а Î [ - 1 ;1 ] , a Î [ 0 ; p ] , cos a = a .
Пример:
1) arccos 1 = 0 , так как 
, 
, cos 0 = 1 ;
2) arccos 
= , так как 
, 
, 
;
3) 
, так как , 
, 
;
4) arccos = 
, так как , 
, 
;
5) 
, так как 
, 
, 
;
6)
| y |
| x |
|
|
|
|
| а1 |
| a1 |
| a2 |
| а2 |
, так как 
, 
, cos = 0 . |
|
|
При 
функция 
возрастает от - ¥ до + ¥ и принимает каждое свое значение один раз, то есть при 
функция 
имеет обратную функцию.
Определение: Арктангенсом числа а называется угол a, принадлежащий интервалу 
, тангенс которого равен а .
arctg a = a , 
, tg a = a.
Пример :
1) arctg 1 = 
, так как Î ( 
) , tg = 1 ;
2) arctg ( - 1 ) = 
, так как 
Î ( ) , tg ( 
) = - 1 ;
3) arctg 
= 
, так как Î ( ) , tg = ;
4) arctg ( 
) = 
, так как Î ( ) , tg ( ) = .
| y |
| x |
|
|
|
| а1 |
| a1 |
| a2 |
| а2 |
| 0 |
Определение: Арккотангенсом числа а называется
угол a , принадлежащийинтервалу
(0 ; p ) , котангенс которого равен а .
arcс tg a = a , a Î ( 0 ; p ) , с tg a = a.
Пример:
1) arcс tg 1 = , так как Î ( 0 ; p ) , с tg = 1 ;
2) arcс tg ( -1 ) = 
, так как Î ( 0 ; p ) , с tg = -1 ;
3) arcс tg 
= 
, так как 
Î ( 0 ; p ) , с tg 
= 
;
4) arcс tg ( 
) = 
, так как Î ( 0 ; p ) , с tg = .
Упражнения:
№1. Найти значение выражения:
1) а rс cos ( - 0,5) + arcsin ( - 0,5) ; 3) arccos 
- arcsin ( - 1) ;
2) arccos 
+ arcsin ; 4) arccos 
- arcsin 
.
№2. Вычислить :
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 278; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!