Обе части уравнения можно прологарифмировать по основанию 2, так как выражения, содержащиеся в них, положительны на всей области определения данного уравнения.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

На всей области определения данного уравнения следующие уравнения равносильны:

Û Û

Û Û .

Введем новую переменную: ;

; ;

; ; у₁= - 3; у₂= 1;

у₁= - 3 ; lо g₂ x = - 3; х₁ = ;

у₂= 1; lо g₂ x = 1; х₂ = 2.

Проверка: Все корни принадлежат области определения уравнения.

; .

Ответ: х₁ = ; х₂ = 2.

Упражнения: Решить уравнения:

;	;
;	;
;	;

8. Формула для перехода от одной системы логарифмов к другой.

Очень часто в математике встает задача нахождения логарифма положительного числа b по основанию n (n > 0, n ¹ 1), если известен логарифм этого числа по другому основанию а (а > 0, a ¹ 1). Задача сводится к нахождению переводного множителя, с помощью которого осуществляется переход от одной системы логарифмов к другой.

Задача:

Дано:

;

Найти:

Решение:

Û ;

Прологарифмируем обе части равенства по основанию а:

Û Û Û

Û Û .

Пример:

;
.

Вывод:

1. Выражение называется модулем перехода от одной системы логарифмов к другой. Равенство называется формулой перехода от одной системы логарифмов к другой.

Замечание: Формула дополняет уже известные свойства логарифмов (пункт № 16).

2. Логарифм числа при данном основании равен логарифму этого же числа при другом основании, умноженному на модуль перехода.

3. Если а = b ,то или , то есть и являются взаимно обратными числами.

Замечание: Формула дополняет уже известные свойства логарифмов (пункт № 16).

4. ;

Замечание: Формула дополняет уже известные свойства логарифмов (пункт № 16).

Пример: .

Рассмотрим примеры решения логарифмических уравнений с использованием формулы перехода от одной системы логарифмов к другой.

Пример:

Решение:

Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:

Используя формулу перехода от одной системы логарифмов к другой приведем логарифмы к основанию 2:

;

; ; ; ;

; х = 8 .

Проверка:

Ответ: х = 8 .

Решение:

Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:

Используя формулу перехода от одной системы логарифмов к другой приведем логарифмы к основанию 2:

;

Умножим обе части уравнения на 4:

;

Введем новую переменную: ;

; ;

; ; у₁= 2; у₂= 10;

у₁= 2 ; lо g₂ x = 2; х₁ = 4;

у₂= 10; lо g₂ x = 10; х₂ = 1024.

Проверка:

Все корни принадлежат области определения уравнения.

; .

Ответ: х₁ = 4; х₂ = 1024.

Упражнения: Решить уравнения:

;
;
;
;
.

9. Логарифмические неравенства.

Решение логарифмических неравенств основано на том, что функция при а > 1 является монотонно возрастающей, а при 0 < а < 1 - монотонно убывающей.