Графический способ решения уравнений
Конспекты по математике
Тема: «Функции, их свойства и графики. Показательная, логарифмическая функции»
1. Показательная функция, ее свойства и графики.
Во многих отраслях науки и техники при изучении самых различных явлений и процессов обнаруживается одна общая функциональная зависимость между двумя переменными величинами, участвующими в процессе. Рассмотрим примеры.
Пример 1: С изменением высоты h над уровнем моря атмосферное давление p изменяется по закону , где p0 - давление на уровне моря, а - постоянная ( const ).
Пример 2: Рост древесины происходит по закону: , где t - время, А0 - начальное количество древесины при t = 0, А - изменяющееся со временем количество древесины, а , k - постоянные ( const).
Пример 3: Размножение бактерий в какой-либо культуре происходит по закону: , где t - время, у0 - начальное количество бактерий при t = 0 , у - изменяющееся со временем количество бактерий, а , k - постоянные ( const ).
Пример 4: Распад радия протекает по закону , где t - время, х0 - начальное количество радия при t = 0, х - изменяющееся со временем количество радия, а , k - постоянные ( const).
В приведенных примерах мы имеем дело с процессами, носящими общее название «процессы органического роста». Если отвлечься от физического смысла переменных, участвующих в процессах органического роста и обозначить их х и у, то получим формулу , где с , а , k - постоянные (const). Мы рассмотрим простейший случай: , с = k = 1 .
|
|
Определение: Функция вида , где а > 0, а ¹ 1, называется показательной функцией.
Замечание: При а = 1 функция является постоянной, так как .
Свойства показательной функции , а > 0 , а ¹ 1
1) при 0 < а < 1 ;
2) при а > 1 а = 2 .
1. Областью определения функции являются все действительные числа, так как положительное число можно возвести в степень с любым действительным показателем: .
2. Множеством значений функции являются положительные числа, так как при возведении положительного числа в степень с любым действительным показателем получается положительное число: .
Вывод: График показательной функции расположен в первой и второй координатных четвертях.
3. Функция не является ни четной ни нечетной: , , f ( – х)¹ f (х), f ( – х)¹ – f ( х).
4. Функция является монотонной:
1) при 0 < а < 1 – убывающая функция;
2) при а > 1 а = 2 – возрастающая функция.
Замечание:
1) При возведении в степень правильной дроби, чем больше показатель степени, тем меньше результат.
2) При возведении в степень числа, большего единицы, чем больше показатель степени, тем больше результат.
Функция является обратимой, так как она монотонна.
|
|
6. Нулей функции нет, так как уравнение у = 0 , то есть корней не имеет.
7. Промежутки знакопостоянства: при , так как
при
при
при
8. Функция ограничена снизу, так как при .
9. Любая показательная функция проходит через точку (0; 1) , так как при
х = 0 .
Замечание:
1) При а > 1функция возрастает тем быстрее, чем больше а;
2) При 0 < а < 1 функция убывает тем быстрее, чем меньше а.
х |
у |
- 3 |
1 |
2 |
3 |
- 2 |
- 1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
0 < а < 1
х | - 3 | - 2 | - 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
у | 8 | 4 | 2 | 1 |
а > 1 а = 2
х | - 3 | - 2 | - 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
у | 1 | 2 | 4 | 8 |
Упражнения:
1. Перечислите свойства функции и постройте ее график:
а) ; б) ; в) ; г) .
2. Найдите множество значений функции:
а) ; б) ; в) ; г) .
3. Сравните числа:
а) ; б) ; в) ; г) .
4. Вычислите:
а) ; б) ; в) ; г) .
5. Укажите, какая из данных функций является возрастающей, какая – убывающей на множестве действительных чисел R:
а) ; б) ;
в) ; г) .
2. Показательные уравнения.
Определение: Показательными уравнениями называются уравнения, содержащие переменную в показателе степени.
|
|
1) , а > 0 , а ¹ 1
На основании определения степени с нулевым показателем решение уравнения сводится к решению уравнения f( x)=0:
.
Пример: Решить уравнение: .
Решение:
; 1 = 20; ;
; ; ;
; ; х1 = 2; х2 = 3.
Ответ: х1 = 2; х2 = 3.
Упражнения: Решить уравнение :
1. а = 2 f ( x)= x2 - 40 x + 300;
2. а = 5 f ( x)= ( x2+ x - 2)(3 - x);
3. а = 3 ;
4. а = 2 f ( x)= x2 - 7 x + 12;
5. a = 0,5 .
2) , а > 0 , а ¹ 1
Левая и правая части уравнения приведены к одному основанию. В этом случае корнями уравнения будут корни уравнения .
.
Пример: Решить уравнения:
1) .
Решение: ; ; ;
; ; ; ;
; ; х1 = ; х2 = 1.
Ответ: х1 = ; х2 = 1.
2) .
Решение: ; 128 = 27;
; ; 6 х = 7; х = .
Ответ: х = .
3) .
Решение:
; ; ; ;
; ; ;
; ; х1 = - 1; х2 = 3.
Ответ: х1 = - 1; х2 = 3.
Упражнения: Решить уравнения:
1. ; | 2. ; |
3. ; | 4. ; |
5. ; | 6. ; |
7. ; | 8. ; |
9. ; | 10. ; |
11. ; | 12. |
3) , а > 0 , а ¹ 1 , b > 0 , b ¹ 1 , а ¹ b
Уравнение решается делением обеих частей на .
Пример: Решить уравнения:
1) .
Решение: Разделим обе части уравнения на .
; ; ; х - 2 = 0; х = 2.
Ответ: х = 2.
2) .
Решение: ; ; ;
Умножим обе части уравнения на .
|
|
; ; ; х - 3 = 0; х = 3.
Ответ: х = 3.
Упражнения: Решить уравнения:
1) ; | 2) ; |
3) ; | 4) ; |
5) ; | 6) . |
4) , а > 0 , а ¹ 1
Особенностью уравнения является наличие одного и того же коэффициента перед х. Для решения этого уравнения выносят за скобки общий множитель , где k i - наименьшее из чисел k0 , k1 , k2 , … , kп .
Пример:
1) .
Решение: ; ; ; ; ; ; х = 4.
Ответ: х = 4.
2) .
Решение:
; ;
; ;
; ; 3х - 2 = 2х - 2; 3х - 2х = 2 - 2; х = 0.
Ответ: х = 0.
3) .
Решение:
; ;
; ; ;
; ; ;
; ; ; ; .
Ответ: .
Упражнения: Решить уравнения:
1) ; | 2) ; |
3) ; | 4) ; |
5) ; | 6) . |
5) , а > 0 , а ¹ 1
Уравнение с помощью подстановки обращается в квадратное уравнение: . Решив квадратное уравнение, найдем у1, у2 . После этого решение уравнения сводится к решениюдвух уравнений: , .
Пример:
1) .
Решение: ; ; ;
; ; ;
; ; у1 = - 4; у2 = 2;
- уравнение корней не имеет, так как ;
; х = 1.
Ответ: х = 1.
2) .
Решение:
; ; ;
; ; ;
; ; у1 = 1; у2 = 3;
; х2 - 1 = 0; х2 = 1; х1 = - 1; х2 = 1;
; х2 - 1 = 1; х2 = 2; х3 = ; х4 = .
Ответ: х1 = - 1; х2 = 1; х3 = ; х4 = .
Упражнения: Решить уравнения:
1) ; | 2) ; |
3) ; | 4) ; |
5) ; | 6) ; |
7) . |
6) , а > 0 , а ¹ 1, b > 0 , b ¹ 1.
Отметим, что в выражении показатели степеней в первом и третьем слагаемых вдвое больше показателей степеней во втором слагаемом. Такие выражения называются однородными 2-ого порядка. А уравнения вида называются однородными 2-ого порядка. Разделив уравнение на , получим: .
Уравнение с помощью подстановки обращается в квадратное уравнение: . Решив квадратное уравнение, найдем у1, у2 и, возвращаясь к первоначальной переменной, получим два уравнения и .
Пример: .
Решение: ; ;
Разделим обе части уравнения на :
; ;
; ; ;
; ; у1 = ; у2 = 1;
; х1 = 1; ; х2 = 0.
Ответ: х1 = 1; х2 = 0 .
Упражнения: Решить уравнения:
1) ; | 2) ; |
3) ; | 4) . |
Графический способ решения уравнений
Уравнение можно рассматривать как задачу об отыскании таких значений переменной х , при которых значения двух данных функций равны.
Рассмотрим уравнение вида . Графический способ решения такого вида уравнений заключается в отыскании приближенных значений абсцисс точек пересечения графиков функций и в одной и той же системе координат.
х2 |
х1 |
х |
у |
- 3 |
1 |
2 |
3 |
- 2 |
- 1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Решение:
у = х2
х | - 3 | - 2 | - 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
у | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
х | - 3 | - 2 | - 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
у | 1 | 2 | 4 | 8 |
Ответ: х1 » - 0,7; х2 = 2.
Упражнения: Решите графически уравнения:
1) ; | 2) ; |
3) ; | 4) ; |
5) ; | 6) ; |
7) ; | 8) . |
3. Показательные неравенства.
Определение: Показательными неравенствами называются неравенства, содержащие переменную в показателе степени.
Решение простейших показательных неравенств основано на известном свойстве функции : показательная функция возрастает при и убывает при .
Пример: Решить неравенства:
1. .
Решение: .
Ответ: .
2. .
Решение: ;
а = 1> 0 ветви параболы направлены вверх;
х 2 + 3х = 0; ;
х |
+ |
+ |
- |
- 3 |
0 |
Ответ:
3. .
Решение:
; ; ; ; ;
; ; .
Ответ:
Упражнения: Решить неравенства:
1. ; | 2. ; |
3. ; | 4. ; |
5. ; | 6. ; |
7. ; | 8. ; |
9. ; | 10. ; |
13. |
4. Понятие логарифма. Основное логарифмическое тождество.
Необходимость возникновения нового понятия появилась из практической потребности при решении конкретных задач.
х |
у |
- 3 |
1 |
2 |
3 |
- 2 |
- 1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
а с= b
2 с = 2 Þ с = 1;
2 с = 3 Þ с = 1,…;
2 с = 4 Þ с = 2;
2 с = 7 Þ с = 2,…;
2 с = 8 Þ с = 3;
Определение: Логарифмомчисла b по основанию а называется показатель степени с, в которую надо возвести данное основание а, чтобы получить число b.
Вывод: .
- основное логарифмическое тождество.
Замечание:
- Логарифмы чисел, вычисленные по одному и тому же основанию, образуют систему логарифмов.
- Систему логарифмов по основанию 10 называют системой десятичных логарифмов. Обозначение: .
- Систему логарифмов по основанию е » 2,718281828459045 называют системой натуральных логарифмов. Обозначение: .
Пример:
1. Чему равен ?
Решение: .
Ответ: .
2. При каком основании ?
Решение: .
Ответ: .
3. Найти число, логарифм которого при основании 64 равен .
Решение: .
Ответ: .
Упражнения: Вычислить: ;
1) ; | 2) ; | 3) ; |
4) ; | 5) ; | 6) ; |
7) ; | 8) ; | 9) ; |
10) ; | 11) ; | 12) ; |
13) . |
5. Свойства логарифмов. Логарифмирование и потенцирование.
1) , так как .
2) , так как .
3) Логарифм произведения двух или нескольких положительных чисел равен сумме логарифмов сомножителей:
.
4) Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя: .
5) Логарифм степени положительного числа равен показателю степени, умноженному на логарифм основания: .
6) Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного выражения, деленному на показатель корня:
.
Пример: Вычислить:
- ;
- ;
- ;
;
- ;
- .
Определение: Логарифмированием данного выражения называется представление логарифма этого выражения через логарифмы входящих в него элементов.
Замечание: Сумма и разность выражений не логарифмируются.
Пример:
1. Прологарифмировать данное выражение:
1) .
Решение: .
2) .
Решение:
3) .
Решение:
.
.
2. Вычислить: .
Решение: .
Ответ: .
Определение: Потенцированием называется нахождение выражения по его логарифму. Потенцирование – это действие,обратное логарифмированию.
Пример: Пропотенцировать : .
Решение:
;
.
Ответ: .
Упражнения:
1. Вычислить:
1) ; | 2) ; |
3) ; | 4) ; |
5) ; | 6) ; |
7) ; | 8) |
- Прологарифмировать данное выражение:
1) ; | 2) ; |
3) ; | 4) ; |
5) ; | 6) ; |
7) ; | 8) ; |
9) . |
- Пропотенцировать:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
- Найти х , если:
1) ;
2) ;
3) .
6. Логарифмическая функция, ее свойства и графики.
Определение: Функция, обратная показательной функции, называется логарифмической.
- показательная функция;
Û ;
- логарифмическая функция.
- Область определения функции: , так как по определению
- Множество значений функции: , так как показатель степени может быть любым действительным числом.
Вывод: График логарифмической функции расположен в первой и четвертой координатных четвертях.
- Функция не является ни четной ни нечетной, так как её область определения не симметрична относительно начала координат.
- Функция является монотонной:
1) при 0 < а < 1 – убывающая функция;
2) при а > 1 а = 2 – возрастающая функция.
- Функция является обратимой, так как она монотонна:
- логарифмическая функция;
- показательная функция.
- у = 0; ; х = 1 - нуль функции.
- Промежутки знакопостоянства:
1) при 0 < а < 1
;
.
2) при а > 1
;
.
- Функция является неограниченной сверху и снизу.
- Любая логарифмическая функция проходит через точку (1; 0) , так как при х = 1 .
Замечание: Для построения графика логарифмической функции можно воспользоваться свойством графиков взаимно обратных функций: графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, то есть относительно прямой у = х.
(0 < а < 1)
х | 8 | 4 | 2 | 1 | |||
у | - 3 | - 2 | - 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
х |
у |
- 3 |
1 |
2 |
3 |
- 2 |
- 1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
- 1 |
- 2 |
- 3 |
у = х |
(а > 1)
х | 1 | 2 | 4 | 8 | |||
у | - 3 | - 2 | - 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
х |
у |
- 3 |
1 |
2 |
3 |
- 2 |
- 1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
- 1 |
- 2 |
- 3 |
у = х |
Упражнения:
- Найти область определения выражения:
1) ; | 2) ; |
3) ; | 4) ; |
5) ; | 6) ; |
7) ; | 8) . |
- Постройте график функции и перечислите ее основные свойства:
1) ;
2) ;
3) ;
7. Логарифмические уравнения.
Определение: Уравнения, содержащие переменную только под знаком логарифма или в основании логарифма, называются логарифмическими.
Замечание: Простейшими логарифмическими уравнениями являются уравнения вида и .
1) Логарифмические уравнения, решаемые с помощью определения логарифма.
Пример: Решить уравнения:
1. .
Решение: Û Û Û .
Ответ: .
2. .
Решение: Û Û Û .
Ответ: х = - 16.
3. .
Решение:
Û Û Û
Û Û
Ответ: х = 5.
4. .
Решение:
Û Û Û Û
Û
Ответ: .
Упражнения: Решить уравнения:
1. ; | 2. ; |
3. ; | 4. ; |
5. ; | 6. ; |
7. ; | 8. . |
2) Логарифмические уравнения, решаемые потенцированием.
Вывод: При решении логарифмического уравнения находят его область определения и проверяют корни на принадлежность области определения данного уравнения или делают проверку всех найденных корней подстановкой в исходное уравнение.
Пример: Решить уравнения:
1. .
Решение:
Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:
Û Û .
Û Þ
Þ Þ Û ;
;
; ; х1 =11; х2 = 19.
Проверка:
Все корни принадлежат области определения уравнения.
; .
Ответ: х1 =11; х2 = 19.
2. .
Решение:
Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:
Û Û .
Û Û
Û Þ Û Û
Û Û .
Проверка:
.
Ответ: х = 8.
3. .
Решение: Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:
Û Û .
Û Û
Û Û Þ
Þ Û Û
Û Û Û
Û
;
; ; х1 = 6; х2 = 14.
Û
Проверка: Все корни принадлежат области определения уравнения.
; ;
Ответ: х1 = 6; х2 = 14.
4. .
Решение:
Û Þ Û Û ; ;
; ; х1 = - 3; х2 = 5.
Проверка:
х1 = - 3; ;
х1 = - 3 не является корнем данного уравнения, так как не существует.
х2 = 5; .
Ответ: х =5.
Упражнения: Решить уравнения:
1. ; 7. ;
2. ; 8.
3. ; 9.
4. ; 10.
5. ; 11.
6. ; 12.
3) Логарифмические уравнения степени выше первой относительно логарифма.
Замечание: При решении уравнений этого типа нужно обратить внимание на преобразования вида:
1. ;
2. .
Пример: Решить уравнения:
- .
Решение:
Û ;
Введем новую переменную : ;
;
; ; ;
; ; х1 = 20.
; ; х2 = 500.
Проверка:
х1 = 20;
х2 = 500;
Ответ: х1 = 20; х2 = 500 .
- .
Решение:
Введем новую переменную: у = lgx .
Û Û
Û Û Û
Û Û Û Û
; ;
; ; у1 = 2; у2 = 3;
Ответ: х1 = 100; х2 = 1000.
Упражнения: Решить уравнения:
|
|
|
|
|
|
| 8. ; |
4) Уравнения, содержащие выражения вида
При решении уравнений, содержащих переменную и в основании степени, и в показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо логарифмировать по основанию этого логарифма.
При логарифмировании уравнения возможна потеря корней. Однако, если логарифмировать уравнение , обе части которого положительны на всей области определения уравнения, то потери корней не произойдет. В этом случае говорят, что уравнения и равносильны на всей области определения данного уравнения.
Пример: Решить уравнения:
1. .
Решение:
Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:
.
В области определения уравнения выражения, содержащиеся в обеих его частях, принимают только положительные значения. Следовательно, можно прологарифмировать обе части уравнения по основанию 10.
Таким образом, на области определения данного уравнения следующие уравнения равносильны:
Û Û Û Û Û х1 = 0,01 или х2 =100.
Проверка:
Все корни принадлежат области определения уравнения.
;
Ответ: х1 = 0,01; х2 =100.
2. .
Решение:
Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:
.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 290; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!