Функция не является обратимой, так как не является монотонной.

-1

-2

-3

у = 0; = 0 - уравнение корней не имеет, нулей функции нет.

Вывод: График функции не пересекает ось Ох

7. у > 0; у > 0.

8. Функция является ограниченной снизу, так как у > 0.

х			1	2	3
у	3	2	1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

( a - отрицательное нечетное число)

1. Область определения функции: .

2. Множество значений функции: , так как ;

Вывод: График функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.

3. Функция является нечетной, так какее область определения симметрична относительно начала координат и для любого выполняется равенство . .

Вывод: График функции симметричен относительно начала координат.

4. Функция является монотонной, так как убывает при .

Функция является обратимой, так как является монотонной.

6. у = 0; = 0 уравнение корней не имеет, нулей функции нет.

Вывод: График функции не пересекает ось Ох.

х			1	2	3
у	27	8	1

7. у < 0; у > 0.

8. Функция является неограниченной сверху и снизу.

Упражнения:

1. Дана функция . Найти: f (0), f ( - 1), f (1), f ( ).

2. Найти область определения функции:

1) ; 2) ; 3) .

6. Квадратичная функция, ее свойства и графики

Определение: Функция вида , где a, b, c - действительные числа, причем а ¹ 0, называется квадратичной функцией.

Замечание: Графиком квадратичной функции является парабола, по-разному расположенная относительно координатных осей.

Частные случаи:

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

( b = 0, c = 0) ( b = 0) ( c = 0)

Общий случай: ( b ¹ 0, c ¹ 0)

Область определения функции: Х = R.
Координаты вершины параболы А ( т, п ) определяются по формулам:

Множество значений функции: при а > 0 ;

при а < 0 .

Функция ни четная ни нечетная, так как .

Рис. 4 Рис. 5

а > 0, b ¹ 0, c ¹ 0 а < 0, b ¹ 0, c ¹ 0

Функция не монотонная:

при а > 0 у - убывает;

у - возрастает;

при а < 0 у - возрастает;

у - убывает.

Функция не обратимая, так как не монотонная.
Нули функции:

;

; х_1;2 - нули функции;

; х - нуль функции;

; нулей функции нет.

Промежутки знакопостоянства:

х₁

х₂

Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7

а > 0; D > 0; а > 0; D = 0; а > 0; D < 0;

х₁

х₂

Рис. 8 Рис. 9 Рис. 10

а < 0; D > 0; а < 0; D = 0; а < 0; D < 0;

При функция ограниченная снизу, так как при любом ; при функция ограниченная сверху, так как при любом .

7. Уравнения с одной переменной

7.1. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

Определение: Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само число а, если , и противоположное число - а, если .

Обозначение: - модуль числа а.

Замечание:

1. Из определения следует, что при любом действительном а .

2. Модуль числа равен расстоянию от точки, изображающей данное действительное число на числовой оси, до нуля.

- 2

3,5

- 1

½2 ½

½ - 2 ½

½3,5 ½

½0 ½

½ - 2 ½= 2; ½2 ½= 2; ½3,5 ½= 3,5; ½0 ½= 0.

3. ½b - а½ - расстояние между точками, изображающими на числовой оси числа а и b .

½ b ½

½ a ½

½ b - a ½

½а ½

½ b ½

½ b - a ½

½b - а½= b - а , если b > а ½b - а½= а - b , если b < а

Способы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля:

1. Раскрытие модуля по определению.

2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

3. Разбиение на промежутки.

Пример:

1. .

Решение:

Так как при любом х , то уравнение решений не имеет.

Ответ: Решений нет.

2. .

Решение:

Раскроем по определению:

Ответ: х₁= 4; х₂ = - 1 .

Теорема: Если обе части уравнения , где при всех значениях х из области определения уравнения, возвести в одну и ту же натуральную степень п , то получится уравнение , равносильное данному.

3. .

Решение:

Если х+1 < 0 , то уравнение корней не имеет, так как .

Если х+1 ≥ 0 , то обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат:

; ; ;

;

; ; ; .

Ответ: ; .

4. .

Решение:

, .

Так как обе части уравнения положительны, возведем их в квадрат:

Û Û ;

;

; ;

; .

Ответ: ; .

5. .

Решение:

1) На числовой прямой отметим значения х, при которых 3 – х = 0, и значения х, при которых х + 2 = 0.

3 – х = 0 при х = 3.

х + 2 = 0 при х = – 2.

2) Числовая прямая разбивается на промежутки: .

Определим знак каждого из двучленов в полученных промежутках:

3 – х

х +2

- 2


3 – х	+	+	-
х +2	-	+	+

3) Решим уравнение на каждом промежутке:

При ; .

При ; .

Ответ: .

Упражнения:

1. ;	2. ;	3. ;
4. ;	5. ;	6. ;
7. ;	8. ;	9. ;
10. ;	11. ;	12. ;
13. ;	14. ;	15. .

7.2. Иррациональные уравнения

Определение: Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.

Замечание: Чтобы решить иррациональное уравнение, нужно сначала освободиться от корней, подкоренные выражения которых содержат переменную. Чаще всего этого добиваются возведением в квадрат обеих частей уравнения. Однако при этом могут появиться «посторонние» корни, которые не удовлетворяют данному иррациональному уравнению. Появление «посторонних» корней возможно при расширении области определения данного иррационального уравнения.

Вывод: При решении иррациональных уравнений необходима проверка.

Пример: