Смешанное произведение векторов
Разложение векторов
1.1. В треугольнике АВС точка О – точка пересечения медиан. Разложите вектор 
по векторам 
и 
.
1.2. В треугольнике АВС, длины сторон АВ и АС которого равны соответственно 2 и 1, проведена биссектриса АМ. Разложите вектор 
по векторам и .
1.3. В треугольной пирамиде S АВС точка М – точка пересечения медиан треугольника АВС. Разложите вектор 
по векторам 
, 
и 
.
1.4. Разложите вектор 
по векторам 
и 
.
1.5. В параллелограмме АВС D точки М и N – середины сторон ВС и CD соответственно. Разложите вектор 
по векторам 
и 
.
____________________________
1.6. В параллелограмме АВС D точка М – точка пересечения диагоналей. Разложите вектор 
по векторам 
и .
1.7. В равнобедренной трапеции АВС D (ВС || AD) АВ = ВС = С D = 2, AD = 4, точка М – середина стороны CD. Разложите вектор по векторам и .
1.8. Разложите вектор 
по векторам 
и 
.
Векторы в декартовой прямоугольной системе координат
2.1. Найдите проекцию вектора 
на ось Оу, если 
, 
2.2. Найдите длину и направляющие косинусы вектора 
.
2.3. Найдите координаты 
точки М, если радиус-вектор 
точки М составляет с осью Ох угол 45°, с осью О y – 60° и 
.
2.4. Найдите длину медианы А D треугольника АВС с вершинами А(1; 2; 4), В(4; 5; 2), С(2; 3; 4).
2.5. Найдите координаты вектора 
, параллельного вектору 
и противоположного с ним направления, если 
.
2.6. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А(2; –6; 5), 
, 
.
____________________________
|
|
|
2.7. Найдите длину и направляющие косинусы вектора 
, если М1(4; –2; 6), М2(1; 4; 0).
2.8. Найдите координаты вектора , коллинеарного вектору 
, если 
и образует с осью О y острый угол.
2.9. Найдите длины диагоналей параллелограмма ABCD, если 
, 
.
2.10. В параллелограмме АВС D точка М – точка пересечения диагоналей. Найдите координаты вектора , если А(3; –1; 4), В(5; 0; 2), М(6; –1; 1).
Скалярное произведение векторов
3.1. Найдите скалярное произведение векторов 
и , если 
, 
, 
.
3.2. Найдите скалярное произведение векторов 
и 
, если 
, 
, 
.
3.3. Найдите длину вектора 
, если 
, 
, 
.
3.4. Найдите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах 
и 
, если 
, 
, .
3.5. Найдите проекцию вектора 
на направление вектора 
, если 
, , 
.
3.6. Найдите скалярное произведение векторов 
и 
.
3.7. На материальную точку А(2; –1; 0) действуют силы 
, 
, 
. Найдите работу равнодействующей этих сил по перемещению точки из А в В(4; 1; –1).
3.8. Найдите внутренний угол А треугольника АВС с вершинами A(3; 2; –3), B(5; 1; –1), C(3; 1; –2).
3.9. Найдите проекцию вектора на направление вектора 
, если 
, 
, 
.
3.10. Найдите координаты вектора 
перпендикулярного векторам 
и 
, если проекция вектора на направление вектора 
равна 1.
|
|
|
____________________________
3.11. Найдите угол между векторами 
и 
, если , , .
3.12. Найдите проекцию вектора на направление вектора 
, если 
, .
3.13. Найдите угол между векторами 
и 
.
3.14. Найдите проекцию вектора 
на направление вектора 
, если 
, 
, 
.
3.15. Найдите координаты вектора перпендикулярного векторам 
и 
, если 
.
Векторное произведение векторов
4.1. Упростите выражение:
а) 
; б) 
.
4.2. Найдите длину вектора 
, если 
, 
, 
.
4.3. Найдите площадь треугольника, построенного на векторах 
и 
, если 
, , 
.
4.4. Найдите векторное произведение векторов 
и 
.
4.5. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
.
4.6. Найдите площадь треугольника с вершинами А(–2; 1; –3), В(1; 5; –7), С(–1; 7; –7).
4.7. Найдите момент силы 
, действующей на материальную точку M(0; 2; 1), относительно точки А(–1; 2; 3).
____________________________
4.8. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
, если 
, 
, 
.
4.9. Упростите выражение:
а) 
; б) 
.
4.10. Найдите длину высоты В D треугольника АВС с вершинами А(1; –1; 2), В(5; –6; 2), С(1; 3; –1).
4.11. На материальную точку M(3; –4; 8) действуют силы 
, 
, 
. Найдите момент равнодействующей этих сил относительно точки А(4; –2; 6).
Смешанное произведение векторов
|
|
|
5.1. Упростите выражение:
а) 
; б) 
.
5.2. Найдите смешанное произведение векторов 
, 
и 
.
5.3. Найдите объём параллелепипеда, построенного на векторах 
, 
и 
.
5.4. Найдите объём пирамиды с вершинами A(5; 1; –4), B(1; 2; –1), C(3; 3; –4), D(2; 2; 2).
5.5. Покажите, что точки A(3; 5; 1), B(2; 4; 7), C(1; 5; 3), D(4; 4; 5) лежат в одной плоскости.
5.6. Найдите значение α, при котором векторы 
, 
и 
являются компланарными.
____________________________
5.7. Найдите смешанное произведение векторов 
, и , если 
, 
, 
, , перпендикулярен и .
5.8. Найдите длину высоты DH пирамиды АВС D с вершинами А(2; 3; 1), В(4; 1; –2), С(6; 3; 7), D(–5; –4; 8).
5.9. Проверьте условие компланарности векторов 
, 
и 
.
Дополнительные задачи
6.1. В треугольнике АВС точка О – точка пересечения медиан. Разложите векторы и 
по векторам 
и .
6.2. Разложите вектор 
по векторам 
, 
и 
.
6.3. В трапеции АВС D (ВС || AD) точки М и N – середины сторон АВ и CD соответственно. Найдите координаты вектора 
, если 
, 
, 
.
6.4. Найдите скалярное произведение векторов 
и 
– диагоналей четырехугольника ABCD, если 
, 
, 
.
6.5. Найдите длину вектора 
, если 
, 
, .
6.6. Найдите скалярное и векторное произведение векторов 
и 
.
6.7. Найдите проекцию вектора 
на ось, составляющую с осями координат равные острые углы.
|
|
|
6.8. Найдите внутренний угол А треугольника АВС с вершинами A(1; 2; 3), B(3; 2; 1), C(1; 4; 1).
6.9. Найдите площадь треугольника АВС с вершинами А(3; –1; –4), В(5; 2; –2), С(7; –4; –2).
6.10. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
, если 
, 
, 
.
6.11. Найдите объём параллелепипеда, построенного на векторах 
, 
и 
.
6.12. Покажите, что точки A(5; 7; –2), B(3; 1; –1), C(9; 4; –4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.
6.13. В правильном тетраэдре S АВС точка М – середина стороны S С. Найдите угол между ребрами пирамиды SA и BM.
ОТВЕТЫ
Разложение векторов
1.1. 
. 1.2. 
.
1.3. 
. 1.4. 
. 1.5. 
.
1.6. 
. 1.7. 
. 1.8. 
.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 217; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!