Интеграл от функции комплексного переменного

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Рассмотрим однозначную функцию , определенную и непрерывную в области . Пусть - кусочно-гладкая дуга линии, которая целиком принадлежит области ; дуга ограничена точками (начальная) и (конечная). Разделим дугу на элементарных дуг, занумеруем точки деления в направлении от точки до конечной точки , причем . Введем обозначения: , . На каждой элементарной дуге выберем одну точку (один из концов или внутреннюю точку) и запишем сумму

Интегралом от функции по дуге называется конечный предел суммы при

Интеграл от функции комплексной переменной имеет следующие свойства.

3. Если дуга геометрически совпадает с дугой , но имеет направление, противоположное направлению дуги (для начальная точка , а конечная ) , то

4. Если дуга состоит из дуг , то

6. Если во всех точках дуги и длина дуги равна , то

Вычисление интеграла

Вычисление интеграла от однозначной функции комплексной переменной сводится к вычислению обычных криволинейных интегралов

Интеграл вообще говоря зависит от пути интегрирования .

Если - аналитическая функция в односвязной области , то значение интеграла не зависит от линии , а только от начальной и конечной точки этой линии.

Теорема Коши.

Для всякой функции , аналитической в некоторой односвязной области , интеграл по любому кусочно-гладкому замкнутому контуру , целиком принадлежащему области , равен нулю

Если кривая задана параметрическими уравнениями , , , то

где .

Если функция аналитическая в однозначной области , содержащей точки и , то справедлива формула Ньютона-Лейбница

Если функции и - аналитические в односвязной области , а и - произвольные точки этой области, то справедлива формула интегрирования по частям

Пример. Вычислить интеграл , где 1. линия - отрезок действительной оси, соединяющей точки , , 2. - верхняя полуокружность .

Поскольку для комплексного числа сопряженным является число , то на действительной оси , и . Поэтому в первом случае

2. Верхнюю полуокружность можно задать так. , где , причем убывает. Поскольку , , то

Интегральная формула Коши

Если функция является аналитической в области , ограниченной кусочно-гладким контуром , и на самом контуре, то верна интегральная формула Коши

где - любая точка внутри контура и контур обходится так, чтобы область все время оставалась слева (обход контура против часовой стрелки).

Таким образом, аналитическую функцию достаточно определить на контуре , а по этой формуле можно автоматически получить ее значения в других точках .

Если функция аналитическая в области и на ее границе , то для любого натурального верна формула

- значение производной функции в точке .

Это позволяет вычислить следующие интегралы

Пример. Вычислить интеграл , где - окружность радиуса с центром в точке , причем обход контура осуществляется против часовой стрелки.

Преобразуем подынтегральную функцию следующим образом

Функция является аналитической внутри рассматриваемого круга и на его границе. Поэтому запишем

Степенные ряды. Ряд Тейлора.

Функция , однозначная и аналитическая в точке , разлагается в окрестности этой точки в ряд Тейлора

коэффициенты которого определяются формулами

где - окружность с центром в точке , расположенная в окрестности точки , в которой функция аналитическая. Центр окружности круга сходимости находится в точке ; эта окружность проходит через особую точку функции , ближайшую к точке , т.е. радиус сходимости ряда будет равен расстоянию от точки до ближайшей особой точки функции .

Для функций , , , ряд Тейлора имеет следующий вид:

Пример. Разложить в ряд Тейлора функцию в окрестности точки .

Преобразуем эту функцию следующим образом . Поскольку , то при получим

Следовательно,

Полученный ряд сходится при , или .

Ряд Лорана

Функция однозначная и аналитическая в кольце (не исключены случаи , ) , разлагается в ряд Лорана

коэффициенты которого определяются формулой

где - произвольная окружность с центром в точке , расположенная внутри этого кольца.

В формуле Лорана ряд

называется главной частью ряда Лорана, а ряд

называется правильной частью ряда Лорана.

Пример. Разложить функцию в ряд Лорана в следующих кольцах 1. ; 2. ; 3. .

Во всех кольцах данная функция является аналитической и поэтому может быть разложена в них в соответствующий ряд Лорана. Представим эту функцию в виде суммы элементарных дробей: .

1. Поскольку , то получим

Главная часть ряда Лорана имеет только один член.

2. Если , то , поэтому

В этом разложении отсутствует правильная часть

3. Если , то функцию нужно разложить в геометрический ряд со знаменателем :

Главная часть полученного ряда Лорана содержит только один член.

Особые точки

Рассмотрим функцию , аналитическую в точке . Точка называется нулем функции порядка (или кратности) , когда выполняются условия:

Если , то точка называется простым нулем.

Значение тогда и только тогда является нулем порядка функции , аналитической в точке , когда в некоторой ее окрестности верно равенство

где - функция, аналитическая в точке и .

Особой точкой функции называется точка , в которой эта функция не является аналитической. Точка называется изолированной особой точкой функции , когда существует окрестность этой точки, в которой аналитическая всюду, кроме . Особая точка функции называется устранимой, когда существует конечный предел этой функции в данной точке: . Точка называется полюсом функции , когда .

Для того, чтобы точка была полюсом функции необходимо и достаточно, чтобы эта точка была нулем функции

Точку называют полюсом порядка функции , когда эта точка является нулем порядка для функции . В случае полюс называется простым.

Для того, чтобы точка являлась полюсом порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы функцию можно было привести к виду:

где - функция, аналитическая в точке и .

Точка называется существенно особой точкой функции , когда в ней функция не имеет ни конечного ни бесконечного предела.

Справедливы следующие утверждения.

1. Точка является устранимой особой точкой функции тогда и только тогда, когда ее лорановское разложение в окрестности точки не содержит главной части.

2. Точка является полюсом функции тогда и только тогда, когда главная часть ее лорановского разложения в окрестности точки содержит только конечное число членов:

Наибольший из показателей степени разности в знаменателях совпадает с порядком полюса.

3. Точка называется существенно особой точкой функции тогда и только тогда, когда главная часть ее лорановского разложения в окрестности точки содержит бесконечное множество членов.

Пример. Показать, что точка является нулем второго порядка для функции .

Разложим в ряды данную функцию и ее первую и вторую производные

Поскольку , , , т.е. выполняются условия

при , то точка - нуль второго порядка для функции .

Вычеты функций

Вычетом однозначной аналитической функции в изолированной особой точке называется число, которое обозначается через и определяют формулой

где интеграл взят в положительном направлении по контуру . Используются и другие обозначения , . В качестве контура рассматривается окружность с центром в точке достаточно малого радиуса, такого, чтобы окружность не выходила за пределы области аналитичности функции и не содержала внутри себя других особых точек этой функции. Вычет функции равен коэффициенту при минус первой степени лорановском разложении функции в окрестности точки

Вычет функции в устранимой особой точке равен нулю.

Если - полюс порядка функции , то

В случае простого полюса ( )

Если функция в окрестности точки является частным двух аналитических функций

причем , , а , т.е. - простой полюс функции , то

Если является существенно особой точкой функции , то для нахождения необходимо найти коэффициент в лорановском разложении функции в окрестности точки ; это и будет .

Теорема Коши.

Если функция является аналитической на границе области и всюду внутри этой области, за исключением конечного числа особых точек , то

Этой теоремой пользуются при вычислении определенных интегралов и нахождении суммы рядов.

Функция является аналитической в в бесконечно удаленной точке , если функция аналитична в точке . Например, функция аналитична в точке , поскольку функция аналитична в точке .

Пусть функция аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки (кроме самой точки ). Говорят, что является устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой точкой в зависимости от того, конечен, бесконечен или вовсе не существует предел этой функции при .

Теорема. Если является устранимой особой точкой функции , то ее лорановское разложение в окрестности данной точки не содержит положительных степеней ; когда - полюс, то это разложение содержит конечное число положительных степеней , в случае существенно особой точки – бесконечное множество положительных степеней .

Рассмотрим функцию , аналитическую в некоторой окрестности точки (кроме, быть может, самой этой точки).

Вычетом функции в бесконечности называется величина

где - окружность достаточно большого радиуса , которую точка проходит по часовой стрелке (при этом окрестность точки остается слева, как и в случае конечной точки ).

Из этого определения следует, что вычет функции в бесконечности равен коэффициенту при в лорановском разложении в окрестности точки , взятому со знаком минус

Известные разложения функций , , , , можно рассматривать как лорановские ряды в окрестности точки . Поскольку указанные ряды содержат бесконечное множество положительных степеней , то указанные функции имеют в точке существенную особенность.

Теорема. Если функция имеет в расширенной комплексной плоскости конечное число особых точек , то сумма всех ее вычетов, включая и вычет бесконечности, равен нулю.

Пример. Найти вычет функции .

Данную функцию можно записать так: и рассматривать эту сумму как разложение в ряд Лорана по степеням , для которого . Соответственно находим, что ( - особая точка) .

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 755; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!