Дифференцирование функции комплексной переменной

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Комплексные числа.

Комплексное число записывается в виде

где - действительные числа, - мнимая единица .

Комплексные числа записывают также в тригонометрической форме

где, соответственно

. Комплексно сопряженная форма комплексного числа - .

Действия над комплексными числами

Сложение и вычитание

Умножение

Деление

Возведение в степень

Извлечение корня

Примеры:

Понятие функции комплексного переменного

Комплексное число имеет вид , где и - действительные числа, - мнимая единица . Оно изображается точкой на комплексной плоскости с координатами . Пусть - область (открытое связанное множество) комплексной плоскости . Если каждой точке по определенному правилу поставлено в соответствие единственное комплексное число , то говорят, что в области определена однозначная функция комплексной переменной и пишут . Функцию можно рассматривать как комплексную функцию двух действительных переменных и , определенную в области . Задание такой функции равносильно заданию двух действительных функций , , . Таким образом, если , , то

Комплексное число является пределом однозначной функции при , если для всякого существует такое число , что из неравенства следует неравенство . В этом случае пишут .

Функция называется непрерывной в точке , если

Функция, непрерывная в каждой точке области , называется непрерывной в этой области.

Область называется односвязной, когда она ограничена замкнутой линией , не пересекающей себя. Область называется двусвязной, когда она ограничена двумя замкнутыми линиями и , которые не пересекаются и каждая не пересекает себя; внутренняя линия , в частности, может вырождаться в точку или в дугу непрерывной линии. Аналогично определяется трехсвязная, четырехсвязная и т.д. области.

Пример. Найти значение функции

при следующих значениях аргумента: 1.

, 2.

, 3.

Элементарные функции комплексной переменной

Функции комплексной переменной , , определяются как суммы соответствующих степенных рядов, сходящихся на всей комплексной плоскости:

Показательная функция имеет следующие свойства: 1. , где - произвольные комплексные числа, 2. , т.е. является периодической функцией с периодом .

Тригонометрические функции , - периодические с действительным периодом ; они имеют только действительные нули и соответственно, где .

Для функций , , справедливы формулы Эйлера

откуда

Если , то , поэтому

Тригонометрические функции , определяются формулами

Все формулы тригонометрии остаются справедливыми и для тригонометрических функций комплексной переменной.

Гиперболические функции , , , определяются формулами

, , ,

Функции , можно рассматривать как суммы степенных рядов, сходящихся на всей комплексной плоскости:

Тригонометрические и гиперболические функции связаны между собой следующими равенствами

Логарифмическая функция , где , определяется как функция, обратная показательной, причем

Эта функция является многозначной. Главным значением называется такое значение, которое получается при , оно обозначается через :

Очевидно, что

Справедливы следующие равенства

Обратные тригонометрические функции , , , определяются как функции, обратные тригонометрическим функциям , , , . Например, когда , то называется арксинусом числа и обозначается .

Все эти функции являются многозначными, они выражаются через логарифмические функции следующими формулами

Главные значения обратных тригонометрических функций , , , получаются, когда рассматриваются главные значения соответствующих логарифмических функций.

Общая степенная функция , где - любое комплексное число, определяется формулой

ее главное значение равно

Общая показательная функция ( - любое комплексное число) определяется формулой

главное значение этой многозначной функции равно

Пример. Найти . Используя формулу для - , получим

Дифференцирование функции комплексной переменной

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой области комплексной плоскости, и точки , . Обозначим , .

Производной функции в точке называется конечный предел отношения когда произвольным образом стремится к нулю

Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке.

Если , то комплексная функция имеет вид , и ее приращение можно представить в виде

Таким образом, при любом способе стремления к нулю, должен существовать этот предел, равный одному и тому же комплексному числу . В частности, это должно иметь место, если а) и или, если б) и . В первом случае

Во втором случае

Но тогда должны выполняться равенства

(А)

которые называют условиями Коши-Римана (или условиями Д’Аламбера-Эйлера).

Обратно, если в некоторой точке функции , дифференцируемы как функции действительных переменных , и, кроме того, удовлетворяют соотношениям (А), то функция является дифференцируемой в точке как функция комплексной переменной .

Функция называется аналитической в точке , если она дифференцируема в ней и некоторой ее окрестности. Функция называется аналитической в области , если она дифференцируема в каждой ее точке.

Для всякой аналитической функции производная выражается через частные производные функций , :

Геометрический смысл модуля и аргумента производной.

Если функция - аналитическая в точке и , то равен коэффициенту растяжения в точке при отображении плоскости на плоскость , точнее: при будет растяжение, а при будет сжатие. Аргумент производной равен углу, на который надо повернуть касательную в точке к любой гладкой кривой на плоскости , которая проходит через точку , чтобы получить направление касательной в точке к образу этой кривой на плоскости при отображении . Отметим, что при поворот осуществляется против часовой стрелки, а при - по часовой стрелке.

Отображение с помощью аналитической функции называется конформным отображением.

Дифференцирование элементарных функций.

Производные элементарных функций , , , , , , , , находятся по формулам:

Гармоническая функция.

Функция называется гармонической в области , если она имеет в ней непрерывные частные производные второго порядка и удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа

Если функция аналитическая в области , то ее действительная часть и мнимая часть являются гармоническими функциями в этой области.

Однако, если , - две произвольные гармонические функции, то функция вовсе не обязана быть аналитической функцией: для аналитичности нужно, чтобы функции , удовлетворяли условиям Коши-Римана.