Применение теории нечетких множеств и нечеткой логики в задачах

Управления

При использовании нечеткой технологии для синтеза систем управления алгоритм функционирования управляющего устройства УУ, а иногда и объекта управления ОУ, представляют как совокупность нечетких правил, которая в общем случае имеет следующий вид:

{ЕСЛИ... [посылка 1], TO... [заключение 1} ИЛИ

{ЕСЛИ... [посылка 2], ТО... [заключение 2]} ИЛИ

{ЕСЛИ... [посылка j], ТО... [заключение j]} ИЛИ (24)

……………………………………………………

{ЕСЛИ… [посылка n], ТО…[заключение n]},

причем часть «ЕСЛИ» представляет собой обычно высказывание о нечетком (лингвистическом) значении входных переменных УУ переменных состояния х_i(t) объекта или ошибки регулирования e_i(t), а часть «ТО»- высказывание о соответствующем значении управляющего воздействия у_i(t). Часто каждая посылка содержит высказывания относительно двух и более входных переменных, соединенные союзом «И» либо союзом «ИЛИ» Например: ЕСЛИ ошибка регулирования e(t) положительно малая (РS) И производная ошибки e(t) положительно большая (РВ), ТО управляющее воздействие y_j(t) отрицательно среднее (NM). Составные части посылок каждого j-гo правила, соединенные между собой союзами «И», «ИЛИ» и характеризуемые функциями принадлежности m_j(х_i), образуют НМ j-й посылки, общая ФП которого определяется с помощью формул (15) и (16) соответственно для союза «ИЛИ» и союза «И».

Для нахождения ФП m_j"(х,у_i), характеризующей конкретное j-е правило нечеткого условного логического вывода (в aнгл. Conditional Rules Inference, сокращенно CRI), предложено несколько формул, среди которых наибольшее распространение получило правило импликации Мамдани:

m _j "(х,у_j ) = min{ m _j (х), m _l (у_j )}, (25)

где m _j "(х,у_j ) ‑ ФП, характеризующая j-е правило и заданная на прямом (декартовом) произведении множеств Х´У; m _l (у_j ) ‑ ФП, характеризующая l-е лингвистическое значение управляющего воздействия y в j-м правиле; х ‑ вектор входных переменных УУ.

Формула (25) получена, исходя из гипотезы, что следствие каждого правила имеет истинное значение, не меньшее, чем соответствующая предпосылка. Формулу совместной ФП (25), соответствующей конкретному правилу «ЕСЛИ…, ТО… », называют оператором импликации. При фиксированных значениях х* выбору минимальных значений m _j (x*) и m _l (у_j ), заданных на прямом произведении Х´У, соответствует ограничение (усечение) графиков m_l(у_j) сверху на уровне m_j (x*) <1.

Результирующая функция принадлежности mp (y) , которая характеризует всю совокупность j-х правил, соединенных между собой союзом «ИЛИ», определяется в соответствии с формулой (15) как максимум среди всех функций (25) при заданных х*, т.е.:

m _p (x*,y) = m _p * (y) = max{ m _j "(х * , у_j )}, j = 1, … ,n. (26)

Процедура объединения всех правил называется инференц-процедурой (в англ. - composition of rules). В случае совместного применения формул (25) и (26) она называется максиминной инференц-процедурой. Часто используется также инференц-процедура по методу произведения, которая будет проиллюстрирована ниже на конкретном примере

Заключительная процедура синтеза УУ по нечеткой технологии ‑ дефаззификация сводится к определению точного значения управляющего воздействия у. Она выполняется чаще всего по методу центра площади, согласно которому для непрерывной функции m _p * (y) искомое значение управляющего воздействия определяется как абсцисса центра тяжести площади фигуры, образованной этой функцией и осью у:

. (27)

В нечеткой технологии известны формы записи правил (24), у которых в части «ТО» указывается не лингвистическое значение управляющего воздействия (например, у = РВ), а его конкретное, четкое значение (например, у = у*). Так, по методологии Сугено и Тагаки j-е правило логического вывода записывается в следующей форме:

ЕСЛИ х₁ = А_j1 И ….. И х _k = А_jk, ТО у_j = c_j0 + c_j1 +…+ c_jk, (28)

где A_j1, …, А_jk – нечеткие множества типа NB. NM и т.д.; c_j0, c_j1,…,c_jk ‑ постоянные (четкие) значения управляющего воздействия, заданные в виде синглтонов, т.е. в виде пар (у_j, m(у_j ) = 1).

Форма записи (28) называется моделью Сугено нулевого порядка.

Иногда применяют модель Сугено первого порядка:

ЕСЛИ х₁ = А_j1 И ….. И х _k = А_jk, ТО у_j= c_j0 + c_j1х₁ +…+ c_jkх_k . (29)

Объединение составных частей посылок в (28) и (29) осуществляется так же, как и в методе Мамдани, с помощью процедур максимизации (15) и минимизации (16) соответствующих ФП. Агрегирование всех n j-x правил, соединенных между собой союзом ИЛИ, происходит тоже аналогично - по формуле (15). Но процедура импликации и инференц-процедура, выполняемые в методе Мамдани по формулам (25) и (26), здесь в явном виде отсутствуют. Максимальные и минимальные значения ФП m_j(x), характеризующие посылки правил, умножаются на соответствующие синглтоны управляющего воздействия.

Результирующее значение управляющего воздействия, соответствующее всем n правилам, по Сугено определяется формулой:

(30)

Таким образом, сложная процедура дефаззификации в чистом виде (например, по формуле (27)) в методе Сугено – Такаги отсутствует. Проиллюстрируем процедуры фаззификации, нечеткой импликации и дефаззификации на конкретном примере, в котором входные переменные - ошибка регулирования e и ее первая производная по времени e₂ e₁¢ - характеризуются упрощенными функциями принадлежности (рис. 6), а некоторый алгоритм нечеткого управления представлен следующими четырьмя правилами:

Правило 1: ЕСЛИ e1 = NB И e2 = PВ, TO у = РВ

Правило 2: ЕСЛИ e1 = NB И e2 = ZR, TO y = ZR (31)

Правило 3: ЕСЛИ e1 = ZR И e2 = РВ, ТО y = PB

Правило 4: ЕСЛИ e1 = ZR ИЛИ e2 = ZR, TO у = ZR

Рис. 6. Функции принадлежности ошибки регулирования e₁ (а) и её производной e₂ (б)

Пусть входные переменные имеют конкретные значения: e₁=e₁*=–0,35 и e₂=e₂*=+0,20.

Тогда согласно формулам (11) и (16) посылки «ЕСЛИ» первых трех правил (31), содержащие внутри себя союз «И», дают следующие значения функций принадлежности соответствующих нечеткого пересечений (логических конъюнкций):

m₁(e₁*,e₂*) = min{m_NB(e₁*), m_PB(e₂*)} = min{0,7;0,4} = 0,4;

m₂(e₁*,e₂*) = min{m_NB(e₁*), m_ZR (e₂*)} = min{0,7;0,6} = 0,6; (32)

m₃(e₁*,e₂*) = min{m_ZR(e₁*), m_PB(e₂*)} = min{0,3;0,4} = 0,3.

Посылка в правиле 4 содержит союз «ИЛИ», и поэтому согласно формулам (9) и (15) функция принадлежности нечеткого объединения (логической дизъюнкции) дает значение:

m ₄ ( e ₁ *, e ₂ * ) = max{ m _ZR ( e ₁ *), m _ZR ( e ₂ * )} = max{0,3;0,6}=0,6. (33)

Теперь можно в соответствии с композиционным правилом Мамдани (25) определить результирующие функции принадлежности, характеризующие импликации (31):

m₁^п = min{m₁(e₁,e₂) = min{m₁(e₁,e₂), m_PB(y)};

m₂^п = min{m₂(e₁,e₂) = min{m₂(e₁,e₂), m_ZR(y)}; (34)

m₃^п = min{m₃(e₁,e₂) = min{m₃(e₁,e₂), m_PB(y)};

m₄^п = min{m₄(e₁,e₂) = min{m₁(e₁,e₂), m_ZR(y)}.

где m _l (y) - ФП, характеризующие НМ управляющих воздействий у (pиc.7,а).

Так как в рассматриваемом примере функции m_j(e₁,e₂) принимают конкретные значения, меньшие единицы, то операциям минимизации (34) соответствуют "усеченные" исходные функции принадлежности (см. жирные линии на рис. 7,а). На рис. 7,б жирными линиями показаны функции принадлежности и для тех же четырех правил (34), но полученные по упомянутому выше методу произведения ординаты функций m₁-m₄, описывающих импликации (34) в целом, равны произведению числовых значении функций (32) и (33), характеризующих истинное значение предпосылок этих правил (часть «ЕСЛИ») и ординат функции m_l(y), характеризующих истинное значение следствий (часть ТО).

Выполняя для рассматриваемого примера последнюю процедуру фаззификации (инференц-процедуру) – нечеткое объединение функции m₁-m₄ по формуле (26), получаем результирующие функции принадлежности mp*(y) (рис.7,в,г), соответствующие объединяемым функциям на рис.7,а,б. На рис.7,в,г показаны также результирующие значения у* управляющею воздействия у, найденные выполнением процедуры дефаззификации по методу центра тяжести площади по формуле (27).

Рис. 7. Результирующие функции принадлежности отдельных (а, б) и объединенных (в, г) импликаций нечеткого алгоритма регулирования (31)

На рис. 8 приведена общая схема нечеткого регулятора, реализующего все рассмотренные в данном примере процедуры.

Рис. 8. Пример схемной реализации нечеткого регулятора

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 463; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 5 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!