Замена переменной под знаком определенного интеграла.
Пусть выполнены следующие условия:
1) функция 
непрерывна на сегменте 
;
2) сегмент является множеством значений некоторой функции 
, определенной на сегменте 
и имеющей на этом сегменте непрерывную производную;
3) 
При этих условиях справедлива формула
(4)
Формула (4) показывает, что если вычислен интеграл, стоящий в левой части этой формулы, то также вычислен интеграл, стоящий в правой части, и наоборот. Указанная формула называется формулой замены переменной под знаком определенного интеграла.
Рассмотрим некоторую первообразную 
функции 
. По формуле (2) имеем
(5)
Так как функции и 
дифференцируемы на соответствующих сегментах, то сложная функция 
дифференцируема на сегменте 
. Поэтому, применяя правило дифференцирования сложной функции, получим
(6)
причем производная 
вычисляется по аргументу х: 
, где 
. Поскольку 
, то при получим 
. Подставляя это значение 
в правую часть равенства (6), получим
Следовательно, функция , определенная на сегменте , является на этом сегменте первообразной для функции 
, и поэтому, согласно формуле (2),
Так как 
, то
Сравнивая последнюю формулу с формулой (5), мы убеждаемся в справедливости формулы (4).
|
|
|
Отметим, что:
1) при вычислении определённого интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;
2) часто вместо подстановки 
применяют подстановку 
;
3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.
Пример 1.
Формула интегрирования по частям.
Пусть функций 
и 
имеют непрерывные производные на сегменте 
. Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям определенных интегралов:
. (7)
Так как 
и 
, то эту формулу записывают еще следующим образом:
. (8)
В справедливости этих формул убедиться нетрудно. Действительно, функция 
является первообразной для функции 
. Поэтому
.
Отсюда, используя свойства определенных интегралов, мы и получим формулы (7) и (8).
Пример 2.
1) 
2) 
Геометрические и физические приложения
Определённого интеграла.
Площадь плоской фигуры.
Площадь криволинейной трапеции ABCD, ограниченной сверху графиком функции 
, слева и справа - прямыми 
и 
соответственно, снизу - осью Ох, вычисляется по формуле
|
|
|
.
Площадь криволинейной трапеции ABCD, ограниченной справа графиком функции 
, сверху и снизу - соответственно прямыми 
, 
, слева - осью Оу, определяется формулой
.
Если функция 
- не положительна на отрезке 
, то площадь S над кривой на равна определённому интегралу от 
на , взятому со знаком «минус»: 
.
Пусть на отрезке задана непрерывная функция общего вида. Предположим также, что исходный отрезок можно разбить точками на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция будет знакопостоянна или равна нулю. Площадь заштрихованной фигуры 
, т.е. равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов: 
.
Теорема 1. Пусть на отрезке заданы непрерывные функции 
и 
такие, что 
. Тогда площадь S фигуры, заключенной между кривыми и , на отрезке вычисляется по формуле 
.
 |
Проиллюстрируем теорему графически. Возможны несколько случаев расположения кривых на отрезке .
1. 
, рис. а.
.
2. 
, рис. б.
.
3. 
, рис. в.
.
4. Общий случай (рис. г) сводится к частным случаям, рассмотренным выше, если разбить отрезок на отдельные отрезки 
, 
, 
.
Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически
|
|
|
,
прямыми 
и и осью Ох, то площадь ее находится по формуле 
, где 
и 
определяются из равенств 
и 
.
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом 
, 
.
Найдем сначала 
площади S. Здесь х изменяется от 0 до а, следовательно, t изменяется от 
до 0. Находим:
Значит, 
.
Найдем площадь S криволинейного сектора, т. е. плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией 
и двумя лучами 
и 
, где 
и 
- полярные координаты. Искомая площадь равна 
.
Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной «трехлепестковой розой» 
.
Найдем сначала площадь половины одного лепестка «розы», т. е. 
часть всей площади фигуры:
Следовательно, 
Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то лучами, выходящими из полюса, ее следует разбить на криволинейные секторы, к которым применить полученную формулу для нахождения площади. Так, для фигуры, изображенной на рисунке, имеем:
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 516; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!