Основные правила интегрирования.
Существование первообразной
Для непрерывной функции.
Прежде чем перейти к доказательству теоремы о существовании первообразной для непрерывной функции, введем понятие интеграла с переменным верхним пределом.
Пусть функция интегрируема на любом сегменте, содержащемся в интервале , и пусть с - некоторая фиксированная точка этого интервала. Тогда, каково бы ни было число х из интервала , функция интегрируема на сегменте . Поэтому на интервале определена функция
которую называют интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема 1. Любая непрерывная на интервале функция имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных является функция
где с - любая фиксированная точка интервала .
Доказательство. Достаточно доказать, что для любого фиксированного х из интервала существует предельное значение , причем это предельное значение равно . Имеем, в силу свойства 6 определенных интегралов
По формуле среднего значения находим
где x - число, заключенное между числами x и . Поскольку функция непрерывна в точке х, то при . Поэтому из последней формулы находим
Замечание 1. Аналогично доказывается теорема о существовании первообразной у непрерывной на сегменте функции. Отметим, что в этом случае в качестве нижнего предела интегрирования с можно взять а.
|
|
Замечание 2. При доказательстве теоремы мы установили существование производной от интеграла с переменным верхним пределом и доказали, что эта производная равна подынтегральной функции.
(1)
2. Основная формула интегрального исчисления.
Любые две первообразные данной функции отличаются на постоянную. Поэтому, согласно теореме 1 и замечанию 1 к этой теореме, можно утверждать, что любая первообразная непрерывной на сегменте функции имеет вид
где С — некоторая постоянная.
Полагая в последней формуле сначала , а затем и используя свойство определенных интегралов, найдем
Из этих равенств вытекает соотношение
(2)
называемое основной формулой интегрального исчисления или формулой Ньютона - Лейбница.
Итак, для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции нужно составить разность значений произвольной ее первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.
Отметим, что основная формула интегрального исчисления открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, поскольку задача вычисления определенного интеграла сводится к задаче разыскания первообразной функции.
|
|
Формулу (2) иногда записывают в иной форме. Именно разность обозначают символом Тогда
(3)
Рассмотрим несколько примеров:
1)
2)
3)
4)
Пусть функция непрерывна на отрезке симметричном относительно точки . Тогда,
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 165; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!