Симплексный метод решения задач линейного программирования
Симплексный метод – это метод последовательного улучшения плана. Этим методом можно решать задачи линейного программирования с любым количеством переменных и ограничений.
Этот метод включает в себя три основные этапа:
1) Построение начального опорного плана.
2) Правило перехода к лучшему (точнее, нехудшему) решению.
3) Критерий проверки найденного решения на оптимальность.
При симплексном методе выполняются вычислительные процедуры (итерации) одного и того же типа в определенной последовательности до тех пор, пока не будет получен оптимальный план задачи или станет ясно, что его не существует.
1) Построение начального опорного плана.
Данную задачу линейного программирования необходимо сначала привести к каноническому виду; при этом правые части ограничений должны быть неотрицательными.
Признаком возможности построения начального опорного плана служит наличие в каждом ограничении-равенстве с неотрицательной правой частью базисной переменной.
Базисной называют плановую переменную, которая входит только в одно уравнение (а в другие не входит), и при этом имеет коэффициент, равный единице.
Пусть задача линейного программирования приведена к каноническому виду, и все уравнения системы ограничений имеют свою базисную переменную. Приравняв базисные переменные к соответствующим правым частям ограничений, а остальные переменные к нулю, получим опорное или базисное решение задачи.
|
|
|
Пример. Для данной задачи линейного программирования найти начальный опорный план (базисное решение).
max
Решение. Изменим знаки второго и третьего неравенств на противоположные, умножив каждое из них на –1. Система ограничений теперь будет такой:
В каждом ограничении слева добавим положительную переменную 
, соответственно запишем канонический вид задачи:
max
.
Переменные 
базисные. Приравниваем их к правым частям ограничений: 
Все остальные переменные – свободные, приравниваем их к нулю: 
Запишем теперь начальный опорный план
(0; 0; 0; 0; 16; 4; 0).
Составление симплексных таблиц. Критерий оптимальности.
Симплексный метод удобно применять, используя построение симплексных таблиц. Первая симплексная таблица, соответствующая начальному плану, имеет вид:
| Базис |
| В | 
| 
| … | 
|
|
| 
| … | 
| ||||
| 
| 
| 
| 
| … | 
| |
| 
| 
| 
| 
| … | 
| |
| … | … | … | … | … | … | … | |
| 
| 
| 
| 
| … | 
| |
|
| 
| 
| 
| … | 
| ||
Здесь приняты следующие обозначения.
Столбец «Базис» – это базисные переменные.
Столбец « 
» – это коэффициенты при базисных переменных в целевой функции.
|
|
|
Столбец «В» – правые части ограничений;
– коэффициенты при переменных в ограничениях;
– коэффициенты при переменных в целевой функции.
Последняя строка в таблице ( 
) – это проверочная или оценочная строка.
– значение целевой функции, соответствующее построенному начальному плану. Его находят так: каждый элемент столбца 
умножают на соответствующий элемент столбца В и произведения складывают, т.е.
.
– называют оценками или симплексными разностями и находят так: элементы столбца 
умножают на соответствующие элементы столбца 
, складывают результаты и вычитают .
Например,
.
Оценки ( ) базисных переменных всегда равны нулю.
Признак оптимальности опорного плана состоит в следующем:
Опорный план будет оптимальным тогда и только тогда, когда все оценки
для задачи на max и
для задачи на min.
Если критерии оптимальности не выполняются, то нужно перейти к нехудшему опорному плану, т.е. исключить из базиса некоторую переменную и ввести вместо нее новую из числа свободных переменных.
Переменная, которую нужно ввести в базис, соответствует той оценке 
, которая не удовлетворяет условию оптимальности. Если таких оценок несколько, то среди них выбирают наибольшую по абсолютной величине и соответствующую ей переменную вводят в базис. Столбец с этой переменной называют разрешающим.
|
|
|
Для определения переменной, которую нужно вывести из базиса, поступают так: элементы столбца В делят только на положительные элементы разрешающего столбца и находят симплексные отношения 
. Выбирают из 
наименьшее. Оно называет ту переменную, которую нужно ввести в базис. Соответствующая строка таблицы называется разрешающей.
На пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки находится разрешающий элемент.
Теперь начинаем заполнять следующую таблицу. Покажем этот процесс на конкретном примере.
Пример. Решить симплексным методом задачу линейного программирования.
max
Решение. 1) Приводим задачу к каноническому виду, т.е. из ограничений неравенств делаем равенства.
max
2) Определяем базисные переменные – это 
.
3) Заполняем первую таблицу
| Базис |
| В | 2 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 |
|
| 
| 
| 
| 
| 
| ||||
|
| 0 | 18 | 1 | 3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 
|
|
| 0 | 16 | 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 
|
|
| 0 | 5 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 
|
| 0 | 21 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | – |
|
| 
0
| 
–2
|  
–3
| 
0
| 
0
| 
0
| 
0
| ||
|
|
|
Здесь 
и не удовлетворяют условию оптимальности, т. к. они меньше нуля. Выбираем среди них большее по модулю. Это 
. Следовательно, столбец переменной – разрешающий. Значит, в новый базис нужно ввести переменную 
.
Находим 
: 
; 
; 
Наименьшее из этих чисел – это число 5, что соответствует строке базисной переменной . Значит, строка базисной переменной 
– разрешающая, следовательно, из базиса нужно вывести переменную . Элемент 
=1 – разрешающий. Новый базис: 
.
Заполнение следующей таблицы начинаем со столбцов «Базис» и « 
». Потом заполняем разрешающую строку, разделив каждый ее элемент на разрешающий, т.е. на 1. Все элементы разрешающего столбца будут нулями, кроме разрешающего, который всегда равен 1. Столбцы под 
переписываем без изменения, т. к. эти переменные остались в базисе. Остальные элементы новой таблицы находим по правилу прямоугольника. Например, элемент 
найдем из прямоугольника
= 
Или элемент 
= 
из прямоугольника
Оценки 
для новой таблицы можно находить по этому же правилу.
В целом, решение данной задачи симплексным методом в виде таблиц будет иметь вид
| Базис |
| В | 2 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 |
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
| 0 | 18 | 1 | 3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 6 |
|
| 0 | 16 | 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 16 |
|
| 0 | 5 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 5 |
|
| 0 | 21 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | – |
|
| 0 | –2 | –3 | 0 | 0 | 0 | 0 | таб. 1 | |
|
| 0 | 3 | 1 | 0 | 1 | 0 | –3 | 0 | 3 |
|
| 0 | 11 | 2 | 0 | 0 | 1 | –1 | 0 | 5,5 |
|
| 3 | 5 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | – |
|
| 0 | 21 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 7 |
|
| 15 | –2 | 0 | 0 | 0 | 3 | 0 | таб. 2 | |
| Базис |
| В | 2 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 |
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
| 2 | 3 | 1 | 0 | 1 | 0 | –3 | 0 | – |
|
| 0 | 5 | 0 | 0 | –2 | 1 | 5 | 0 | 1 |
| 3 | 5 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 5 |
|
| 0 | 12 | 0 | 0 | –3 | 0 | 9 | 1 | 
|
|
| 21 | 0 | 0 | 2 | 0 | –3 | 0 | таб. 3 | |
|
| 2 | 6 | 1 | 0 | –0,2 | 0,6 | 0 | 0 | |
|
| 0 | 1 | 0 | 0 | –0,4 | 0,2 | 1 | 0 | |
|
| 3 | 4 | 0 | 1 | 0,4 | –0,2 | 0 | 0 | |
|
| 0 | 3 | 0 | 0 | 0,6 | –1,8 | 0 | 1 | |
|
| 24 | 0 | 0 | 0,8 | 0,6 | 0 | 0 | таб. 4 | |
Оценочная строка четвертой таблицы показывает, что получен оптимальный план, так как все 
.
– это значения 
из столбца В, т.е. 
, 
, 
, 
.
Свободные (небазисные) переменные 
.
Итак, 
= (6; 4; 0; 0; 1; 3),
= 
= 24.
Примечание: При переходе от таблицы к таблице для контроля сравнивают 
, которое должно быть не меньше предыдущего для задачи на максимум и не больше предыдущего – для задачи на минимум.
При использовании симплексного метода возможны следующие случаи.
1) Если в оценочной строке симплекс-таблицы оценка 
= 0 соответствует свободной переменной, то это означает, что ЗЛП имеет не единственный оптимальный план.
2) Если при переходе от одного опорного плана к другому в разрешающем столбце нет положительных элементов, то это означает, что целевая функция ЗЛП является неограниченной и оптимальных планов не существует.
Задания для самостоятельной работы.
Определить оптимальный план задач, используя симплексный метод решения задач линейного программирования:
| а) |  max
| б) | m in
|
Понятие двойственности
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 411; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!