Решение систем линейных уравнений

Рассмотрим решение системы N нелинейных уравнений с M неизвестными:

Здесь , …, - некоторые скалярные функции от скалярных переменных . Уравнений может быть как больше, та и меньше числа переменных.

Для решения системы введите с клавиатуры ключевое слово Given (дано), затем правее и ниже ключевого слова — левую часть первого уравнения системы, далее — символьный знак равенства (нажмите на клавиатуре клавиши < Ctrl>+<=> ) и правую часть уравнения (нуль). Аналогично введите остальные уравнения системы. Правее и ниже последнего уравнения системы введите имя функции Find (найти), перечислите в скобках имена переменных, значения которых нужно вычислить, выделите Find( x, y, z), щелкните по кнопке ® на панели Symbolisc. Вычисленное решение системы будет отображено после щелчка мышью вне выделяющей рамки в рабочем документе справа от стрелки — в виде матрицы, каждый столбец которой содержит одно из решений системы.

Массивы

Массивами - называют упорядоченные последовательности чисел. Существует несколько способов создания массива. Самый простой и наглядный способ создания заключается в следующем:

1. Нажать кнопку Matrix or Vector (Матрица или вектор) на панели Matrix (Матрица) либо клавиши <Ctrl> + <M>, либо выбрать пункт меню

Insert / Matrix (Вставка / Матрица);

2. В диалоговом окне Insert Matrix (Вставка матрицы) задать целое число столбцов и строк матрицы;

3. Нажать кнопку ОК или Insert (Вставить) – в результате в документ будет вставлена заготовка матрицы с определенным числом строк и столбцов;

4. Ввести значения в местозаполнители элементов матрицы. Переходить от одного элемента матрицы к другому можно с помощью указателя мыши либо клавиш со стрелками.

Транспонированием называют операцию, переводящую матрицу размерности N´M в матрицу размерности M´N, делая столбы исходной матрицы строками, а строки – столбцами.

Ввод символа транспонирования осуществляется с помощью панели инструментов Matrix (Матрица) или нажатием клавиш <Ctrl>+<1> (для вставки символа транспонирования матрица должна находиться между линиями ввода).

В Mathcad можно как складывать матрицы, так и вычитать их друг из друга. Для этих операторов применяются символы <+> и <->, соответственно. Матрицы должны иметь одинаковую размерность, иначе будет выдано сообщение об ошибке. Каждый элемент суммы двух матриц равен сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых.

Кроме сложения матриц, Mathcad поддерживает операцию сложения матрицы со скаляром. Каждый элемент результирующей матрицы равен сумме соответствующего элемента исходной матрицы и скалярной величины.

При умножении надо помнить, что матрицу размерностью M´N допустимо умножать только на матрицу размерности N´P (P может быть любым). В результате получается матрица размерностью M´P.

Чтобы ввести символ умножения, нужно нажать клавишу со звездочкой <*>. Аналогично производится умножение матриц на скалярную величину.

Определитель матрицы обозначается стандартным математическим символом |A|. Чтобы ввести оператор нахождения определителя матрицы, можно нажать кнопку Determinant (Определитель) на панели инструментов Matrix (Матрица) или набрать на клавиатуре <|> (нажав клавиши <Shift>+<\>). В результате появляется местозаполнитель, в который следует поместить матрицу. Чтобы вычислить определитель уже введенной матрицы, нужно:

Переместить курсор в документе таким образом, чтобы поместить матрицу между линиями ввода.
Ввести оператор нахождения определителя матрицы.
Ввести знак равенства, чтобы вычислить определитель.

Поиск обратной матрицы возможен, если матрица квадратная и ее определитель не равен нулю. Произведение исходной матрицы на обратную по определению является единичной матрицей. Для ввода оператора поиска обратной матрицы нажмите кнопку Inverse (Обратная матрица) на панели инструментов Matrix (Матрица).

Решение матричных уравнений

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x₁, x₂,…,x_n.

(1)

В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в виде: , где:

Если определитель матрицы А не равен 0, то система имеет единственное решение, т.к. существует обратная матрица А^-1 при умножении обеих частей уравнения на которую получаем:

Системы линейных уравнений удобно решать с помощью функции lsolve:

lsolve(А, b)-возвращается вектор решения x такой, что (см. рис. 9).

Рис.9.

Метод Гаусса

Метод Гаусса состоит в том, что систему (1) приводят последовательным исключение неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей:

решение которой находят по рекуррентным формулам:

В матричной записи это означает, что сначала (прямой ход метода Гаусса) элементарными операциями над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

а затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица:

Последний, (n+1) этой матрицы содержит решение системы (1).

В Mathcad прямой и обратный ходы метода Гаусса выполняет функция rref( A). На рис.10 показано решение системы линейных уравнений методом Гаусса, в котором используются следующие функции:

Рис. 10

rref(A)- возвращает ступенчатую форму матрицы А.

augment(A, В) - возвращает матрицу, сформированную слиянием матриц-аргументов слева направо. Массивы Aи В должны иметь одинаковое число строк.

submatrix(A, ir, jr, ic, jc) - возвращает матрицу, состоящую из всех элементов с ir по jr строкуи столбцах с ic по jc . Удостоверьтесь, что ir ≤jr и ic ≤jc, иначе порядок строк и (или) столбцов будет обращен.

При работе с массивами следует уметь обращаться с системной переменной ORIGIN. Если в тексте документа она не упоминается, то её значение по умолчанию считается равным нулю и нумерация элементов в массиве начинается с нулевого элемента, как в языке Си. При желании можно начать нумерацию с единицы. Для этого следует ввести оператор ORIGIN:=1.

Создание графиков

В Mathcad встроено несколько различных типов графиков, которые можно разбить на две большие группы:

Ø Двумерные графики

- XY (декартовый) график,

- полярный график;

Ø Трехмерные графики

- график трехмерной поверхности,

- график линий уровня,

- трехмерная гистограмма,

- трехмерное множество точек,

- векторное поле.

Дата добавления: 2019-07-17; просмотров: 98; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!