Тема 4. Абсолютные и относительные статистические величины
Под абсолютными величинами в статистике понимают показатели, которые характеризуют размеры (уровни, объемы) изучаемых экономических явлений.
Абсолютные величины являются исходной базой статистического анализа.
В отличие от абсолютных величин относительные величины являются величинами производными и рассчитываются на основе абсолютных.
В статистическом анализе используют следующие виды относительных величин: величины динамики, величины выполнения плана, величины структуры, величины координации, величины интенсивности, величины сравнения.
При изучении относительных величин динамики необходимо, прежде всего, уяснить их роль в характеристике развития явления во времени. Следует обратить внимание на характер базы сравнения (постоянная, переменная).
Приведем пример расчета относительных величин динамики (табл. 4.1).
Таблица 4.1
Выпуск товарной продукции на предприятии
| Месяц | Тыс. руб. | Относительная величина динамики с постоянной базой сравнения | Относительная величина динамики с переменной базой сравнения | ||
| в коэффициентах | в процентах | в коэффициентах | в процентах | ||
| Январь | 1390,7 | 1,000 | 100,0 | – | – |
| Февраль | 1426,9 | 1,026 | 102,6 | 1,026 | 102,6 |
| Март | 1492,6 | 1,073 | 107,3 | 1,046 | 104,6 |
| Апрель | 1547,5 | 1,113 | 111,3 | 1,037 | 103,7 |
Вычислим относительные величины динамики с постоянной базой сравнения, приняв за базу январь: 1426,9 : 1390,7 = 1,026 ´ 100 = 102,6%; 1492,6 : 1390,7 = 1,073 ´ 100 = 107,3% и т.д.
|
|
|
Вычислим относительные величины динамики с переменной базой сравнения, используя соотношения каждого последующего месяца к предыдущему: 1426,9 : 1390,7 = 1,026; 1492,6 : 1426,9 = 1,046 ´ 100 = 104,6% и т.д.
При вычислении относительных величин структуры следует уяснить их связь с группировкой статистических данных.
Приведем пример расчета (табл. 4.2).
Таблица 4.2
Распределение рабочих по тарифным разрядам
| Тарифный разряд | Число рабочих в цехе | |
| человек | в процентах к итогу | |
| 1 | 3 | 1,5 |
| 2 | 12 | 6,1 |
| 3 | 63 | 32,0 |
| 4 | 68 | 34,5 |
| 5 | 34 | 17,3 |
| 6 | 17 | 8,6 |
| Итого: | 197 | 100,0 |
Для характеристики структуры рабочих по тарифным разрядам (в процентах) определяют удельный вес численности рабочих по соответствующим разрядам в общей численности рабочих. Так, удельный вес численности рабочих 1 разряда составляет (3 : 197) ´ 100 = 1,5% и т.д. (см. табл. 4.2).
При вычислении относительных величин координации за базу сравнения принимается какая-либо одна часть изучаемого явления, а остальные части соотносятся с ней.
Для примера воспользуемся данными табл. 4.2. Если взять за базу сравнения численность рабочих 2 разряда, тогда относительные величины координации составят: 
= 0,25; 
= 5,3; 
= 5,7; 
= 2,8; 
= 1,4, т.е. на каждого рабочего 2 разряда приходится в 4 раза меньше рабочих 1 разряда, 5 рабочих 3 разряда; 6 рабочих 4 разряда и т.д.
|
|
|
При вычислении относительных величин интенсивности необходимо помнить, что они являются именованными показателями: так, коэффициент фондоотдачи показывает, какой объем продукции приходится на единицу стоимости основных производственных фондов; показатель производительности труда характеризует величину объема продукции в расчете на единицу трудовых затрат и т.д.
При вычислении относительных величин сравнения нужно запомнить, что сравнению между собой подвергаются одноименные величины, относящиеся к разным объектам, взятые, как правило, за один и тот же период времени. Например, соотношение выпуска продукции на двух предприятиях в отчетном периоде составило 102%.
Тема 5. Средние величины
Средние величины в статистике выполняют роль обобщающих показателей, характеризующих изучаемую совокупность единиц по какому-либо признаку.
В статистике используют различные виды средних величин: средняя арифметическая простая, средняя арифметическая взвешенная; средняя гармоническая, средняя геометрическая; структурные средние - мода и медиана.
|
|
|
При изучении данной темы особое внимание следует обратить на то, что каждый вид средней величины определяется в зависимости от конкретного экономического условия и от поставленной задачи. В противном случае средняя величина даст ошибочный результат и будет являться искаженной характеристикой изучаемой статистической совокупности.
Средняя величина рассчитывается по качественно однородной совокупности, значения которой примерно одного порядка.
Это - основное условие применения средней.
Нельзя забывать о том, что средние величины в статистике являются величинами именованными и выражаются в тех же единицах, в которых выражен признак.
Необходимо также уяснить значение средних моды и медианы, с помощью которых изучают структуру исследуемой совокупности.
Проиллюстрируем на конкретных примерах порядок расчета каждого вида средних величин.
1. Распределение рабочих-наладчиков участка одного из цехов промышленного предприятия по стажу работы и квалификационным разрядам характеризуется следующими данными:
Таблица 5.1
Данные о составе рабочих
| Стаж работы, лет | Число рабочих, чел. | |||
| Всего | в том числе имеющих разряд | |||
| 4 | 5 | 6 | ||
| До 10 | 9 | 2 | 4 | 3 |
| 10-20 | 7 | – | 2 | 5 |
| 20-30 | 3 | – | 1 | 2 |
| 30-40 | 2 | – | – | 2 |
|
|
|
Определить: а) средний разряд рабочих каждой возрастной группы; б) средний стаж рабочих участка.
Решение:
а) Для нахождения среднего разряда рабочих каждой возрастной группы следует применить среднюю арифметическую взвешенную:
;
в качестве веса (m) выступает конкретный разряд рабочих. Так, для рабочих со стажем работы до 10 лет средний тарифный разряд составит:
= 
= 
= 5 разряд.
И так далее по другим возрастным группам.
б) Для нахождения среднего стажа рабочих на участке применяют ту же среднюю арифметическую взвешенную, но уже для интервального ряда распределения.
Причем, в качестве "x" будут срединные значения признака в группах, а в качестве веса (m) принимают численность рабочих соответствующей группы:
= 
= 
= 14 лет.
2. По следующим данным распределения рабочих цеха по проценту выполнения месячного задания определить моду и медиану.
Таблица 5.2
Данные о выполнении производственного задания
| Выполнение месячного задания, процент | Число рабочих, чел. | Накопленные частоты от начала ряд |
| 95-100 | 3 | 3 |
| 100-105 | 20 | 23 |
| 105-110 | 10 | 33 |
| 110-115 | 5 | 38 |
| 115-120 | 4 | 42 |
| Итого | 42 | – |
Модой в статистике называют наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности значение признака. Следовательно, в данной задаче модальным будет интервал от 100 до 105 процентов, так как на него приходится наибольшее число рабочих (20 чел.).
Моду определяют по формуле:
Mo = x0 + 
∙ (x1 – x0),
где x0 и x1 - соответственно нижняя и верхняя границы модального интервала;
m2 - частота модального интервала;
m1 и m3 - частоты интервала, соответственно, предыдущего и следующего за модальным.
Подставим значения в формулу:
Mo = 100 + 
´ (105 – 100) = 103,1%.
Иначе говоря, наибольшее число рабочих выполняют месячное задание на 103,1%.
Медианой в статистике называют срединное значение признака в исследуемой совокупности. Следовательно, медианным является интервал, на который приходится 50% накопленных частот данного ряда, что по условию задачи 42 : 2 = 21.
В нашей задаче медиана находится в интервале от 100 до 105% , так как на данный интервал приходится накопленная частота 23.
Медиану определяют по формуле:
Me = x0 + 
∙ (x1 – x0),
где x0 и x1 - соответственно нижняя и верхняя границы медианного интервала;
N - сумма частот ряда;
N0 - сумма частот, накопившаяся до начала медианного интервала;
N1 - частота медианного интервала.
Подставим соответствующее значение в формулу:
Me = 100 + 
´ 5 = 104,5%.
Таким образом, 50% всех рабочих выполняют производственное задание менее чем на 104,5%; 50% - более чем на 104,5%.
Тема 6. Ряды динамики
Рядами динамики называют ряды, которые характеризуют изменение явления во времени. Ряды динамики бывают моментные и интервальные. Моментные ряды характеризуют изменение явления в динамике на определенный момент времени (чаще - на начало или конец периода). Интервальные ряды характеризуют изменение явления в динамике за определенный период времени (месяц, квартал, год).
В экономическом анализе используют аналитические показатели динамики. К ним относят абсолютный прирост, средний абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, средний темп роста, абсолютное значение одного процента прироста. Данные показатели широко используются в статистической практике, что вызывает необходимость тщательного изучения порядка их расчета.
Рассмотрим на примере расчет аналитических показателей ряда динамики (табл. 6.1).
Таблица 6.1
Данные о производстве в цехе
| Месяц | Выпуск цехом товарной продукции, тыс. руб. | Показатели динамики | |||||
| Абсолютный прирост (D), тыс. руб. | Темп роста (Тр) | Темп прироста (Тпр) | Абсолютное значение 1% прироста (А), тыс. руб. | ||||
| Цепной | Базисный | Цепной | Базисный | ||||
| 1 | 236 | – | – | 100,0 | – | – | – |
| 2 | 244 | 8 | 103,4 | 103,4 | 3,4 | 3,4 | 2,4 |
| 3 | 246 | 2 | 100,8 | 104,2 | 0,8 | 4,2 | 2,5 |
| 4 | 249 | 3 | 101,2 | 105,5 | 1.2 | 5,5 | 2,5 |
| 5 | 250 | 1 | 100,4 | 105,9 | 0,4 | 5,9 | 2,5 |
| 6 | 252 | 2 | 100,8 | 106,8 | 0,8 | 6,8 | 2,5 |
Абсолютный прирост (D) определяется как разность между отчетным и предыдущим уровнями ряда динамики, т.е. по формуле:
D = yi – yi–1,
где yi, yi–1 - уровни ряда динамики.
Так, например, абсолютный прирост продукции цеха в феврале по сравнению c январем составил: 244 – 236 = 8 тыс. руб., а в марте по сравнению с февралем: 246 – 244 = 2 тыс. руб. и т.д.
Средний абсолютный прирост ( 
) определяется на основе данных абсолютных приростов по следующей формуле:
или 
,
где n - число уровней ряда динамики;
y1 и yn - соответственно первый и последний уровни ряда динамики.
Темп роста (Тр) определяется по формуле:
Тр = 
´ 100%,
где y0 - уровень ряда динамики, взятый за базу сравнения.
Темп роста рассчитывается по принципу цепных и базисных соотношений. В том числе, когда за базу сравнения принимается предыдущий период - это цепные показатели темпа роста, когда сравнение осуществляется с любым другим уровнем ряда динамики, взятым за базу сравнения - базисные темпы роста.
Так, в феврале по сравнению с январем выпуск продукции в цехе составил: Тр2 = (244 : 236) ´ 100% = 103,4%, а в марте по сравнению с февралем: Тр3 = (246 : 244) ´ 100% = 100,8% и т.д.
Если за базу сравнения взять январь, то выпуск продукции в цехе в марте по сравнению с январем составил: (246 : 236) ´ 100% = 104,2%, а в апреле по сравнению с январем: (249 : 236) ´ 100% = 105,5% и т.д.
Темп прироста (Тпр) в отличие от темпа роста характеризует относительный прирост явления в отчетном периоде по сравнению с тем уровнем, с которым осуществляется сравнение и определяется:
Тпр = Тр – 100.
Так, в марте объем продукции цеха по сравнению с февралем увеличился на 0,8% (100,8 – 100), а по сражению с январем - на 4,2% (104,2 – 100) и т.д.
Абсолютное значение одного процента прироста (А) характеризует абсолютный эквивалент одного процента прироста и определяется по формуле:
А = 
.
Так, в марте абсолютное значение одного процента прироста составило: (2 : 0,8) = 2,4 млн. руб. и т.д.
Средний темп роста ( 
) за период динамики определяют по формуле средней геометрической двояким способом - на основе данных цепных коэффициентов динамики, либо на основе данных абсолютных уровней ряда динамики по формуле:
∙100
или
∙100,
где x1, x2, …, xn - коэффициенты динамики по отношению к предыдущему периоду;
n - число коэффициентов динамики;
k - число абсолютных уровней ряда динамики.
Так, за первое полугодие средний годовой темп роста продукции в цехе составил: 
= 
= 
= 1,014 ´ 100 = 101,4% или = 
= 
= 1,014 ´ 100 = 101,4%.
Один из важнейших вопросов, возникающих при изучении рядов динамики - это выявление тенденции развития экономической закономерности в динамике. Для этой цели применяются разнообразные статистические методы, в частности, метод укрупнения интервалов, метод скользящей средней, метод аналитического выравнивания.
Наиболее простым в использовании является метод укрупнения интервалов, основанный на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Выявление тенденции осуществляется по новому укрупненному ряду динамики.
Другой метод - метод скользящей средней заключается в замене первоначальных уровней ряда динамики средними арифметическими, найденными по способу скольжения, начиная с первого уровня ряда с постепенным включением последующих уровней.
Наиболее совершенным методом выявления тенденции ряда динамики является метод аналитического выравнивания, который заключается в замене первоначальных уровней ряда новыми, найденными во времени "t" построением аналитического уравнения связи.
Рассмотрим на примере возможности применения каждого из методов выравнивания при выявлении тенденции ряда динамики.
Известны следующие данные выполнения программы участком "молдинги" цеха ЗИЛ-130 прессового корпуса за 1989 г. (табл.6.2).
Таблица 6.2
| Месяц | Выполнение программы, млн. руб. | t | t2 | ty |  = 18,6 + 0,09t
|
| I | 18,6 | -6 | 36 | -111,6 | 18,1 |
| II | 17,3 | -5 | 25 | -86,5 | 18,2 |
| III | 18,9 | -4 | 16 | -75,6 | 18,3 |
| IV | 18,2 | -3 | 9 | -54,6 | 18,3 |
| V | 17,9 | -2 | 4 | -35,8 | 18,4 |
| VI | 19,1 | -1 | 1 | -19,1 | 18,5 |
| VII | 19,6 | 1 | 1 | 19,6 | 19,2 |
| VIII | 17,5 | 2 | 4 | 35,0 | 19,1 |
| IX | 19,2 | 3 | 9 | 57,6 | 19,0 |
| X | 19,8 | 4 | 16 | 79,2 | 18,9 |
| XI | 18,3 | 5 | 25 | 91,5 | 18,8 |
| XII | 19,4 | 6 | 36 | 116,4 | 18,7 |
| Итого: | 223,8 | 0 | 182 | 16,1 | 223,5 |
1. По методу укрупнения интервалов имеем новые укрупненные поквартально уровни ряда динамики:
у1 = 18,6 + 17,3 + 18,9 = 54,8;
y2 = 18,2 + 17,9 + 19,1 = 55,2 и т.д.
Выровненный ряд динамики примет вид: 54,8 55,2 56,3 57,5.
То есть наблюдается четно выраженная тенденция увеличения выпуска молдингов цехом за 1989 г.
2. Употребляя те же данные, применим метод скользящей средней, используя семичленную скользящую среднюю. Тогда:
= 
= 18,5;
= 
= 18,4 и т.д.
Выравненный с помощью семичленной скользящей средней ряд динамики примет вид: 18,5 18,4 18,6 18,7 18,8 19,0.
Таким образом, подтверждается тенденция увеличения выпуска молдингов в течение 1989 г.
3. Используя метод отсчета от условного нуля введем условное обозначение времени "t", придав ему определенные значения так, чтобы ∑t = 0 (см. табл. 6.2).
Судя по выявленной с помощью двух предыдущих методов тенденции выпуска молдингов в течение года, можно сказать, что наиболее вероятна линейная зависимость данного распределения от времени "t" и данному распределению соответствует уравнение прямой 
= a0 + a1t.
Для нахождения параметров a0 и a1 используем систему уравнений
,
так как ∑t = 0, о имеем
a0 = 
= 
= 18,6;
a1 = 
= 
= 0,09.
Следовательно, уравнение прямой примет вид:
= 18,6 + 0,09t и будет в данном случае искомым, так как ∑y = ∑ .
Тема 7. Показатели вариации
Наряду со средней величиной, характеризующей типичный уровень варьирующего признака, около которого колеблются отдельные значения признака, рассматривают показатели вариации (колеблемости) признака, позволяющие количественно измерить величину этой колеблемости.
К показателям вариации относят: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Простейшим показателем вариации является размах вариации, который рассчитывается по следующей формуле:
R = Xmax – Xmin,
где Xmax, Xmin - соответственно, максимальное и минимальное значения признака в исследуемой совокупности.
Размах вариации характеризует диапазон колебаний признака в изучаемой совокупности и измеряется в тех же единицах, в которых выражен признак.
Рассчитывают среднее линейное отклонение, которое бывает невзвешенное и взвешенное. Если каждое значение признака встречается в совокупности один раз, то применяется формула среднего линейного отклонения невзвешенного:
,
где x - значение признака;
n - количество вариант.
Если имеется некоторая повторяемость значений признака, то применяется формула среднего линейного отклонения взвешенного:
,
где m - частота.
Среднее линейное отклонение характеризует абсолютный размер колеблемости признака около средней и измеряется в тех же единицах, в которых выражен признак.
Наиболее точным показателем вариации является среднее квадратическое отклонение. Для его определения предварительно рассчитывают показатель дисперсии. Дисперсия невзвешенная определяется по формуле:
σ2 = 
.
Дисперсия взвешенная определяется по формуле:
σ2 = 
.
Тогда, соответственно, для расчета среднего квадратического отклонения невзвешенного используют формулу:
σ = 
,
а для расчета среднего квадратического отклонения взвешенного - следующую формулу:
σ = 
.
Как и среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение характеризует абсолютный размер колеблемости признака около средней, однако является более точной характеристикой.
В отличие от среднего линейного и среднего квадратического отклонения коэффициент вариации является мерой относительной колеблемости признака около средней и характеризует степень однородности признака в изучаемой совокупности. Он определяется по формуле:
υσ = 
´ 100%.
Если исследуемую совокупность единиц расчленить на группы, то вправе считать, что общая дисперсия всей совокупности варьирует (изменяется) под влиянием дисперсий для каждой отдельной группы, так называемых групповых или частных дисперсий и межгрупповой дисперсии. Эти дисперсии связаны между собой правилом сложения дисперсий. При использовании правила сложения дисперсий в экономическом анализе по величине частной дисперсии может решаться задача выявления наиболее эффективной в производстве системы (формы, структуры и т.п.) организации труда, его оплаты и т.п.
Частные или групповые дисперсии характеризуют колеблемость изучаемого признака в каждой отдельной группе и определяются по следующей формуле:
и их средняя величина
,
где i = 1, 2, …, n - номер группы;
mi - численность единиц в группе.
Межгрупповая дисперсия характеризует колеблемость частных средних около общей средней и определяется следующим образом:
γ2 = 
.
При соблюдении правила сложения дисперсий должно соблюдаться равенство:
σ2 = 
+ γ2.
Проиллюстрируем расчет показателей вариации по данным о распределении рабочих по стажу работы (табл. 7.1).
1. R = Xmax – Xmin = 14 – 10 = 4 года, т.е. диапазон колебания стажа рабочих в исследуемой совокупности составляет 4 года.
2. 
= 
= 11,4 года
= 
= 1,1 года.
Таблице 7.1
Стаж работы рабочих
| Стаж работы рабочего, лет (x) | Число рабочих, чел. (m) | x∙m | x –
| | x – |m
| (x – )2
| (x – )2m
|
| 10 | 14 | 140 | -1,4 | 19,6 | 1,96 | 27,44 |
| 11 | 11 | 121 | -0,4 | 4,4 | 0,16 | 1,76 |
| 12 | 8 | 96 | 0,6 | 4,8 | 0,36 | 2,88 |
| 13 | 6 | 78 | 1,6 | 9,6 | 2,56 | 15,36 |
| 14 | 4 | 56 | 2,6 | 10,4 | 6,76 | 24,04 |
| Итого | 43 | 491 | – | 48,8 | 11,80 | 74,48 |
В среднем на 1,1 года отклоняется стаж отдельных рабочих от среднего стажа по совокупности.
3. σ2 = 
= 
= 1,73;
σ = 
= 
= 1,3 года.
Величина σ = 1,3 года характеризует колеблемость стажа работы рабочих в данной совокупности:
υσ = 
´ 100 = 
´ 100 = 11,4%.
Таким образом, на 11,4% варьирует состав рабочих по стажу работы в исследуемой совокупности.
Тема 8. Индексы
В статистике индексами называют относительные величины, показывающие соотношение показателей во времени, пространстве, а также фактических показателей с плановыми.
Индексы измеряются в процентах.
Для некоторых простых, единичных явлений, которые допускают непосредственное сравнение, строят индивидуальные индексы. Дня явлений сложных, состоящих из непосредственно несоизмеримых элементов, строят сводные индексы. Так, для характеристики динамики производства конкретного вида продукции, применяется индивидуальный индекс. Если же исследователя интересует динамика выпуска всей продукции предприятия, то в этом случае строится сводный индекс, так как отдельные виды продукции предприятия непосредственно несоизмеримы.
Разработанная статистикой теория индексов позволяет решить следующие задачи:
1) определять соотношение показателей во времени, пространстве, фактических данных с плановыми;
2) выявлять абсолютные результаты измерения показателей в аналогичных направлениях;
3) определять относительное и абсолютное влияние отдельных факторов на такое изменение при условии, что факторы представлены в виде произведения.
В теории индексов наиболее часто используются следующие обозначения: I - индивидуальный индекс; J - сводный индекс.
Порядок построения индивидуальных индексов весьма прост: в числителе дроби записывается показатель на уровне отчетного периода, в знаменателе - на уровне базисного периода. Например:
Ip = 
; It = 
; Iq = 
и т.д.,
где Ip - индивидуальный индекс цен;
It - индивидуальный индекс трудоемкости;
Iq - индивидуальный индекс продукции;
p1 и p0 - цена единицы продукции, соответственно, в отчетном и базисном периодах, руб.;
t1 и t0 - трудоемкость изготовления единицы продукции, соответственно, в отчетном и базисном периодах, ч;
q1 и q0 - количество произведенной продукции, соответственно, в отчетном и базисном периодах, шт.
Существуют цепные и базисные индивидуальные индексы. В цепных индексах каждый последующий период сравнивается с предыдущим, например:
; 
; 
и т.д.
Нетрудно заметить, что перемножение цепных индексов дает в итоге сравнение явлений, разделенных рядом промежутков времени (базисные индексы):
= 
´ 
´ 
.
Естественно, если в задаче известен базисный индекс и какие-то из цепных, то для нахождения других цепных индексов необходимо производить деление.
Следует знать, что индексы динамики, планового задания и выполнения плана связаны между собой известным из теории относительных величин соотношением:
Iдинамики = Iпл. задания ´ Iвыполнения плана.
Если в задаче требуется найти абсолютное изменение какого-то явления, то оно определяется как разница между числителем и знаменателем индекса:
(p1 – p0); (t1 – t0) и т.д.
Если при этом ставится задача определить, как влияет это изменение на какое-то многофакторное явление, то найденная разность между числителем и знаменателем качественного индекса (цен, трудоемкости и т.п.) умножается на соответствующий количественный фактор (количество продукции, численность работающих и т.п.) на уровне отчетного периода. Разность между числителем и знаменателем количественного индекса (продукции, численности работающих и т.п.) умножается на соответствующий качественный фактор (трудоемкость и т.п.) на уровне базисного периода:
(p1 – p0)q1 - размер экономии (перерасхода) денежных средств от снижения (повышения) цен;
(t1 – t0)q1 - размер увеличения (уменьшения) затрат труда на производство продукции от повышения (снижения) трудоемкости;
(q1 – q0)p0 - размер экономии (перерасхода) денежных средств от изменения объема выпуска продукции;
(q1 – q0)t0 - размер увеличения (уменьшения) затрат труда на производство продукции от изменения объема выпуска продукции и т.д.
В отличие от индивидуальных индексов, сводные индексы представляют собой результат сравнения сложных явлений, состоящих из непосредственно несоизмеримых элементов.
Сводные индексы представляют собой соотношение сумм произведений индексируемых величин и их соизмерителей. В качестве соизмерителей могут выступать: трудоемкость изготовления продукции (t), цена единицы продукции (p), себестоимость единицы продукции (z). Название сводного индекса определяется изменяющимся (индексируемым) показателем. Индексируемый показатель записывают в числителе на уровне отчетного периода, в знаменателе - на уровне базисного периода или на уровне планового задания. Если индексируется качественный показатель (цена, трудоемкость, себестоимость), то соответствующий ему количественный соизмеритель фиксируется на уровне отчетного периода. Если индексируется количественный показатель, то соответствующий ему качественный соизмеритель фиксируется на уровне базисного периода или на уровне планового задания. Исходя из этого, сводный индекс цен запишется:
Jp = 
;
сводный индекс трудоемкости: Jt = 
;
сводный индекс себестоимости: Jz = 
;
сводный индекс физического объема продукции:
Jq = 
(при наличии соизмерителя p);
Jq = 
(при наличии соизмерителя t);
Jq = 
(при наличии соизмерителя z).
Индексы цен, трудоемкости и себестоимости продукции относятся к индексам постоянного состава, так как q = const. Индексы физического объема продукции независимо от соизмерителя относятся к индексам структурных сдвигов, так как учитывается изменение в ассортименте и объеме продукции. В том случае, когда в сводном индексе индексируется сам показатель и его соизмеритель, оба составляющих в числителе записываются на уровне отчетного периода, в знаменателе - на уровне базисного периода, а название сводного индекса определяется индексируемыми составляющими. Так, сводный индекс объема продукции в стоимостном выражении запишется Jqp = 
; индекс затрат труда на производство продукции Jqt = 
; индекс денежных затрат на производство продукции Jqz = 
.
Такие индексы относятся к индексам переменного состава, так как варьируют оба составляющих.
В статистическом анализе используется взаимосвязь индексов переменного состава и структурных сдвигов, которая проявляется в виде двух свойств индексов.
Первое свойство индексов: индекс переменного состава равен произведению индексов постоянного состава и структурных сдвигов:
Jqp = Jq ∙ Jp; 
= 
;
Jqt = Jq ∙ Jt; 
= 
;
Jqz = Jq ∙ Jz; 
= 
.
Второе свойство индексов: разность числителя и знаменателя индекса переменного состава равна сумме разностей числителя и знаменателя индексов постоянного состава и структурных сдвигов:
Dqp(qp) = Dqp(q) + Dqp(p); ∑q1p1 – ∑q0p0 = (∑q1p0 – ∑q0p0) + (∑q1p1 – ∑q1p0);
Dqt(qt) = Dqt(q) + Dqt(t); ∑q1t1 – ∑q0t0 = (∑q1t0 – ∑q0t0) + (∑q1t1 – ∑q1t0);
Dqz(qz) = Dqz(q) + Dqz(z); ∑q1z1 – ∑q0z0 = (∑q1z0 – ∑q0z0) + (∑q1z1 – ∑q1z0).
Рассмотрим пример:
По одному из подразделений промышленного предприятия известны следующие данные (табл. 8.1).
Таблица 8.1
| Вид продукции | Количество произведенной продукции, тыс. шт. | Цена 1 шт., руб. | ||
| Базисный период | Отчетный период | Базисный период | Отчетный период | |
| А | 15 | 20 | 0,8 | 0,7 |
| Б | 1,5 | 2 | 2,0 | 1,5 |
| В | 5 | 10 | 1,0 | 0,8 |
Рассчитаем индивидуальные индексы продукции и индивидуальные индексы цен.
Индивидуальные индексы по соответствующим видам продукции составят:
Iq(А) = 
= 
´ 100 = 133,3%;
Iq(Б) = 
= 
´ 100 = 133,3%;
Iq(В) = = 
´ 100 = 200%.
То есть в отчетном периоде по сравнению с базисным произведено продукции вида "А" и "Б", соответственно, на 33,3% больше, а вида "В" - на 100% больше.
Индивидуальные индексы цен по соответствующим видам продукции составят:
Ip(А) = 
= 
´ 100 = 87,5%;
Ip(Б) = = 
´ 100 = 75,0%;
Ip(В) = 
= 
´ 100 = 80,0%.
То есть цена единицы продукции вида "А" в отчетном периоде по сравнению с базисным снизилась на 12,5% (100 – 87,5), вида "Б" - на 25% (100 – 75) и вида "В" - на 20% (100 – 80).
Индивидуальные индексы конкретного вида продукции в стоимостном выражении, соответственно, составят:
Ip(А) = 
= 
´ 100 = 
´ 100 = 116,7%;
Ip(Б) = = 
´ 100 = 
´ 100 = 100%;
Ip(В) = = 
´ 100 = 
´ 100 = 160%.
Таким образом, объем продукции в стоимостном выражении вида "А" в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличится на 16,7% (116,7 – 100), вида "В" - на 60% (160 – 100) и вида "Б" - останется без изменения (100 – 100).
Для того, чтобы ответить на вопрос, как уменьшился объем всей продукции предприятия в отчетном периоде по сравнению с базисным, необходимо рассчитать сводные индексы продукции, цен и физического объема продукции.
Сводный индекс объема продукции в стоимостном выражении составит:
Jqp = = 
´ 100 = 
´ 100 = 125%;
Сводный индекс цен составит:
Jp = 
= 
´ 100 = 
´ 100 = 83,3%;
Сводный индекс физического объема продукции составит:
Jq = 
= 
´ 100 = 
´ 100 = 150%.
Используя первое свойство индексов, имеем:
Jqp = Jq ∙ Jp; 125% = 1,5 ´ 0,833 ´ 100%.
Используя второе свойство индексов, имеем:
Dqp(qp) = Dqp(q) + Dqp(p), т.е. (25 – 20) = (30 – 20) + (25 – 30) или (+5) = (+10) + (-5).
Таким образом, можно сделать вывод: объём продукции в стоимостном выражении увеличился в целом на 25%, или на 5´(25 – 20) тыс. руб., в том числе за счет снижения цен на 16,7% (83,3 – 100) объем снизился на 5 тыс. руб. (25 – 30), а за счет увеличения физического объема продукции на 50% (150 – 100) объем продукции в стоимостном выражении увеличился на 10 тыс. руб.
Тема 9. Взаимосвязи явлений
Первый этап изучения связи явлений - выделение основных причинно-следственных связей и отделение их от второстепенных. Второй этап - построение модели. Последний этап - интерпретация результатов.
Признаки-аргументы называются факторами, а признаки-функции - результатами (результативными признаками).
Связи между явлениями делят по степени тесноты связи (полная или функциональная связь, неполная или статистическая связь), по направлению (прямая, обратная), по аналитическому выражению (линейная, нелинейная).
Для выявления связи, ее характера, направления используют методы приведения параллельных данных, балансовый, аналитических группировок, графический. Суть метода приведения параллельных данных: приводят два ряда данных о двух признаках, связь между которыми хотят выявить, и по характеру изменений делают заключение о наличии связи. Балансовый метод заключается в построении балансов - таблиц, где итог одной части равен итогу другой.
Методы аналитических группировок и графический изложены в соответствующих темах.
Удобная форма изложения данных - корреляционная таблица (табл. 9.1).
Таблица 9.1
Корреляционная таблица
| Часовая выработка ткани, м | Количество станков, обслуживаемых одной работницей, шт. | |||||||
| 5-7 | 7-9 | 9-11 | 11-13 | 13-15 | 15-17 | 17-19 | Итого | |
| 10 - 15 | 7 | 4 | 2 | 1 | 14 | |||
| 15 - 20 | 3 | 8 | 5 | 4 | 20 | |||
| 20 - 25 | 2 | 11 | 8 | 2 | 23 | |||
| 25 - 30 | 5 | 13 | 7 | 1 | 26 | |||
| 30 - 35 | 1 | 16 | 3 | 20 | ||||
| 35 - 40 | 2 | 6 | 19 | 3 | 30 | |||
| 40 - 45 | 3 | 7 | 18 | 28 | ||||
| Итого: | 10 | 14 | 21 | 30 | 33 | 32 | 21 | 161 |
Таблица показывает, что частоты концентрируются у диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний. Это указывает на то, что связь между количеством обслуживаемых работницей станков и ее часовой выработкой ткани прямая (с увеличением числа обслуживаемых станков увеличивается выработка) или близкая к прямой (концентрация частот идет почти по прямой линии).
По данным таблицы можно рассчитать среднюю выработку по каждой из семи групп работниц, выделенных по числу обслуживаемых станков. Обозначив эти средние значения через 
и произведя расчеты, получаем: 
= 14,0; 
= 16,79; 
= 22,51; 
= 24,67; 
= 32,65; 
= 36,88; 
= 41,79.
Данные таблицы и результаты расчетов можно изобразить графически с помощью поля корреляции. Ломаная линия на графике (линия значений 
) называется эмпирической линией регрессии.
Показатели тесноты связи. Для оценки тесноты связи применяется ряд показателей, одни из которых называются эмпирическими или непараметрическими, другие (выводимые строго математически) - теоретическими.
Коэффициент знаков (коэффициент Фехнера) вычисляется на основании определения знаков отклонений вариантов двух взаимосвязанных признаков от их средних величин.
Если число совпадений знаков обозначать через a, число несовпадений - через b, а сам коэффициент - через i , то можно записать формулу этого коэффициента так:
.
Коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена) рассчитывается не по значениям двух взаимосвязанных признаков, а по их рангам следующим образом:
ρx/y = 1 – 
,
где di - разности рангов; n - число пар рангов.
Для определения тесноты связи между тремя и более признаками применяется ранговый коэффициент согласия - коэффициент конкордации, который вычисляется по формуле:
w = 
,
где m - количество факторов;
n - число наблюдений;
S - сумма квадратов отклонений рангов.
Величина коэффициента конкордации более 0,5 показывает, что между исследуемыми величинами имеется тесная зависимость.
Если при определении тесноты связи с помощью приведенных ранговых коэффициентов имеются связные ранги, т.е. если двум или более показателям присвоен один и тот же ранг, то расчеты проводятся по формулам:
коэффициент Спирмена: ρx/y = 1 – 
;
коэффициент конкордации: w = 
,
где T = 
(t3 – t), а t - количество связных рангов по отдельным показателям.
При исследовании социальных явлений и процессов большое значение имеет изучение качественных показателей и признаков, не имеющих количественной оценки:
| a | b | a + b |
| c | d | c + d |
| a + c | b + d | a + b + c + d |
Для определения тесноты связи двух качественных признаков, каждый из которых состоит только из двух групп, применяются коэффициенты ассоциации и контингенции. Для их вычисления строится таблица, которая показывает связь между двумя явлениями, каждое из которых должно быть альтернативным, т.е. состоящим из двух качественно отличных друг от друга значений признака (например, хороший, плохой).
Коэффициенты вычисляются по формулам:
A = 
- ассоциации;
K = 
- контингенции.
Коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации. Связь считается подтвержденной, если A ³ 0,5, или K ³ 0,3.
Если каждый из качественных признаков состоит более чем из двух групп, то для определения тесноты связи возможно применение коэффициента взаимной сопряженности Пирсона. Этот коэффициент вычисляется по формуле:
C = 
,
где j2 - показатель взаимной сопряженности.
Расчет коэффициента взаимной сопряженности проводится по следующей схеме:
| Группа признака A | Группа признака В | Итого | ||
| B1 | B2 | B3 | ||
| A1 | f1 | f2 | f3 | n1 |
| A2 | f4 | f5 | f6 | n2 |
| A3 | f7 | f8 | f9 | n3 |
| m1 | m2 | m3 | ||
Расчет j2 проводится так:
по первой строке 
: n1 = L1;
по второй строке 
: n2 = L2;
по третьей строке 
: n3 = L3;
Следовательно, j2 = L1 + L2 + L3 – 1.
Интерпретация непараметрических коэффициентов связи в некоторых случаях, особенно когда они имеют отрицательное значение, затруднительна. Их абсолютные значения могут изменяться в пределах от 0 до 1. Чем ближе абсолютные значения к единице, тем теснее связь между исследуемыми признаками.
Корреляция и регрессия. Традиционные методы корреляционно-регрессионного анализа позволяют не только оценить тесноту связи, но и выразить эту связь аналитически. Применению корреляционно-регрессионного анализа должен предшествовать качественный, теоретический анализ исследуемого социально-экономического явления или процесса.
Связь между двумя факторами аналитически выражается уравнениями:
прямой 
= a0 + a1x;
гиперболы = a0 + 
;
параболы = a0 + a1x + a2x2 (или другой ее степени);
степенной функции 
.
Параметр a0 показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов. Параметр a1 - коэффициент регрессии показывает, на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу. На основе этого параметра вычисляются коэффициенты эластичности, которые показывают изменение результативного признака в процентах в зависимости от изменения факторного признака на 1%:
Э = a1∙ 
.
Для определения параметров уравнений используется метод наименьших квадратов, на основании которого строится соответствующая система уравнений.
Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции:
r = 
,
а при криволинейной зависимости с помощью корреляционного отношения:
h = 
.
Расчет коэффициентов регрессии несколько осложняется, если ряды по исследуемым факторам сгруппированы, а связь криволинейная.
Если зависимость между двумя факторами выражается уравнением гиперболы
= a0 + 
,
то система уравнений для определения параметров a0 и a1 такова:
na0 + a1∑ 
= ∑y;
a0∑ 
+ a1∑ 
= ∑y .
Для определения параметров уравнения регрессии, выраженного степенной функцией 
, приводят функцию к линейному виду: lg 
= lga0 + a1lgx, отсюда система уравнений для определения параметров запишется:
n∙lga0 + a1∑lgx = ∑lgy;
lga0∑lgx + a1∑(lgx)2 = ∑lgy∙lgx.
Зависимость между тремя и более факторами называется множественной или многофакторной корреляционной зависимостью. Линейная связь между тремя факторами выражается уравнением:
= a0 + a1x + a2z,
а система нормальных уравнений для определения неизвестных параметров a0, a1, a2 будет следующей:
na0 + a1∑x + a2∑z = ∑y;
a0∑x + a1∑x2 + a2∑zx = ∑yx;
a0∑z + a1∑xz + a2∑z2 = ∑yz.
Теснота связи между тремя факторами измеряется с помощью множественного (совокупного) коэффициента корреляции:
R = 
,
где rij - парные коэффициенты корреляции между соответствующими факторами.
Для более углубленного анализа вычисляются частные коэффициенты корреляции.
Дисперсионный анализ связи. При небольшом числе наблюдений исследовать влияние одного или нескольких факторных признаков на результативный можно, используя методы дисперсионного анализа. Дисперсионный анализ проводится расчетом дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой. Общую дисперсию называют дисперсией комплекса, межгрупповую - факторной, внутригрупповую - остаточной.
Дисперсионный анализ заключается в сравнении факторной и остаточной дисперсий. Если различие между ними значимо, то факторный признак, т.е. признак, положенный в основание группировки, оказывает существенное влияние на результативный. При исследовании воздействия на результативный признак только одного факторного, т.е. однофакторного комплекса дисперсии вычисляются:
дисперсия комплекса 
;
факторная дисперсия 
;
остаточная дисперсия 
,
где n – 1, r – 1, n – r - соответствующие числа степеней свободы;
r - число уровней (групп).
На основании дисперсий проводится расчет критерия Фишера Fp. Если расчетное значение больше табличного, т.е. Fp > Fa, то существенность влияния факторного признака подтверждается.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 218; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!