Двойственный симплексный метод
Для получения решения исходной задачи можно перейти к двойственной. А используя оценки ее оптимального плана, можно определить оптимальное решение исходной задачи.
Если рассмотреть первую симплексную таблицу с единичным дополнительным базисом, тогда переход к двойственной задаче не обязателен. Это связано с тем, что в столбцах определена исходная задача, а в строках – двойственная.
bi являются оценками плана двойственной задачи. Сj являются оценками плана исходной задачи.
Найдем решение двойственной задачи по симплексной таблице. В симплексной таблице прописана исходная задача. Также определим оптимальный план двойственной задачи. Также найдем и оптимальный план исходной задачи.
Такой метод принято называть двойственным симплексным методом.
Допустим нужно определить исходную задачу линейного программирования, которая поставлена в общем виде: минимизировать функцию Z=СХ при АХ=A0, Х>0. Значит в двойственной задаче следует максимизировать функцию f=YA0 при YA>С. Пусть определен следующий базис D=(A1, А2,…, Аi,…, Аm), причем в нем хотя бы одна из компонент вектора Х=D-1A0=(x1, x2,…, xi,…, xm) отрицательная. Для всех векторов Aj используется следующее соотношение Zj–Cj >0 (i=1,2,…, n).
Пользуясь теоремой двойственности, Y=СбазD-1 является планом двойственной задачи. Этот план не оптимальный. Потому что оценки оптимального плана двойственной задачи должны быть неотрицательными и выбранный базис X содержит отрицательную компоненту и не является планом исходной задачи, а с другой стороны.
|
|
|
Поэтому, следует исключить из базиса исходной задачи вектор Аi, который соответствует компоненте xi<0. Данный вектор относится к отрицательной оценке, его необходимо включить в базис двойственной задачи.
Просматриваем i-ю строку для выбора вектора, включаемого в базис исходной задачи. Т.е. если строка не имеет xij<0, тогда линейная функция двойственной задачи не ограничена на многограннике решений. Поэтому нет решений исходной задачи.
В противном случае для столбцов, имеющих отрицательные значения, определяем q0j=min(xi/xij)>0. Также находим вектор, который соответствует minq0j(Zj–Cj) при решении исходной задачи на максимум, а также maxq0j(Zj–Cj) при значении исходной задачи на минимум.
Найденный вектор включаем в базис исходной задачи. Направляющей строкой определяется вектор, который надо убрать из базиса исходной задачи.
Допустим, что q0j=min(xi/xij)=0, т.е. xi=0, тогда xij выбирается как разрешающий элемент, но лишь тогда, когда xij>0.
Данный подход к решению задачи не приводит к росту количества отрицательных компонент вектора X. Пока не будет получено Х>0, процесс не прекращается.
|
|
|
Определяя оптимальный план двойственной задачи, находим и оптимальный план исходной задачи.
Используя при решении, алгоритм двойственного симплексного метода условие Zj–Cj>0 допускается не учитывать, пока не будут исключены все хi<0.
Обычным симплексным методом определяется оптимальный план. Этот метод обычно используется при условии, что все хi<0. Чтобы перейти к плану исходной, задачи за одну итерацию надо определить q0j=max(xi/xij)>0.
Задачи линейного программирования можно решать двойственным симплексным методом. Системы ограничений в задачах при положительном базисе имеют свободные члены любого знака. Двойственный симплексный метод позволяет значительно уменьшить размеры симплексной таблицы и количество преобразований системы ограничений.
Глава 2. Разработка задачи
Основы теоремы двойственности
Несимметричные двойственные задачи
Теорема двойственности:
Система ограничений исходной задачи в несимметричных двойственных задачах определяется как равенство. Двойственная же задача задается, как неравенство, причем переменные могут быть и отрицательными. Что бы проще понимать постановку задачи будем интерпретировать ее в матричной форме.
|
|
|
Сформулируем двойственную задачу. Необходимо определить матрицу-строку Y=(y1, y2,…, ym), которая максимизирует линейную функцию f=YA0 и удовлетворяет ограничениям
YA>С (1.1)
Сформулируем исходную задачу. Определить матрицу-столбец X=(x1, x2,…, xn), которая минимизирует линейную функцию Z=СХ и. удовлетворяет ограничениям
AX=A0,Х>0 (1.2)
Как в исходной так и в двойственной задачах А=(aij) – матрица коэффициентов системы ограничений, A0=(b1, b2,…, bm) – матрица-столбец, C=(c1, c2,…, cn) – матрица-строка. Теорема двойственности устанавливает связь между оптимальными планами пары двойственных задач.
Теорема двойственности гласит: если из пары двойственных задач одна обладает оптимальным планом, то и другая имеет решение, причем для экстремальных значений линейных функций выполняется соотношение minZ =maxf. Если линейная функция одной из задач не ограничена, то другая не имеет решения
Доказательство.
Будем считать, что исходная задача имеет оптимальный план. План определен симплексным методом. Можно считать, что конечный базис состоит из т первых векторов A1, A2,…, Am.
Будем считать, что D является матрицей, составленной из компонент векторов конечного базиса A1, A2., Am Приведенная выше таблица состоит из коэффициентов разложения векторов A1, A2,…, An исходной системы по векторам базиса. В этой таблице каждому вектору A j соответствует вектор Xj.
|
|
|
Используя соотношения (1.3) и (1.4), получаем:
(1.5) A=D, D-1A=
(1.6) A0 =DX*; D-1A0 =X
(1.7) min Z= C*X*,
(1.8) = C* – C > 0,
где С=(C1, C2,…, Cm), С=(C1, C2,…, Cm, Cm +1,…, Cn), a=(CX1–C1; СХ2 – С2,…, CXn–Cn)=(Z1–С; Z2-C2;…, Zn–Cn) – вектор, компоненты которого неположительны, так как они совпадают с Zj–Cj>0, соответствующими оптимальному плану.
Оптимальный план исходной задачи имеет вид X=D-1А0, поэтому оптимальный план двойственной задачи ищем в виде
(1.9) Y = C*D-1
Покажем, что Y* действительно план двойственной задачи. Для этого ограничения (1.2) запишем в виде неравенства YA-С>0, в левую часть которого подставим Y*. Тогда на основании (1.9), (1.5) и (1.8) получим
YА–С=С*D-1А–С=С-С>0, откуда находим Y*A>С
Так как Y* удовлетворяет ограничениям (1.2), то это и есть план двойственной задачи. При этом плане значение линейной функции двойственной задачи f(Y)=Y*A0.Учитывая соотношения (1.9), (1.6) и (1.7), имеем
(1.10) f (Y) = Y*A0=C * D-1A0= C*X = minZ(X)
Таким образом, значение линейной функции двойственной задачи от Y численно равно минимальному значению линейной функции исходной задачи
Докажем теперь, что Y* является оптимальным планом. Умножим (1.1) на любой план Y двойственной задачи, а (1.2) – на любой план X исходной задачи: YAX=YA0=f(Y), YAX>СХ=Z(X), отсюда следует, что для любых планов Х и Y выполняется неравенство
(1.11) f(Y)>Z(X)
Этим же соотношением связаны и экстремальные значения maxf(Y)>minZ(Х). Из последнего неравенства заключаем, что максимальное значение линейной функции достигается только в случае, если maxf(Y)=minZ(X), но это значение f(Y) достигает при плане Y, следовательно, план Y – оптимальный план двойственной задачи.
Аналогично можно доказать, что если двойственная задача имеет решение, то исходная также обладает решением и имеет место соотношение maxf(Y)=minZ(X)
Для доказательства второй части теоремы допустим, что линейная функция исходной задачи не ограничена снизу. Тогда из (1.11) следует, что f(Y) – Y. Это выражение лишено смысла, следовательно, двойственная задача не имеет решений.
Аналогично предположим, что линейная функция двойственной задачи не ограничена сверху. Тогда из (1.11) получаем, что Z(X)+Y. Это выражение также лишено смысла, поэтому исходная задача не имеет решений.
Доказанная теорема позволяет при решении одной из двойственных задач находить оптимальный план другой. Здесь матрица-строка С = (0; 1; 0; –1; – 3, 0), матрица-столбец
1 1 2 0 -1 1 0
A 0 = 2 A = 0 -4 1 2 -1 0
3 0 3 0 0 1 1
1 0 0
2 -4 3
A «’ = 0 1 0
-1 2 0
1 -1 0
0 0 1
Двойственная задача. Найти максимальное значение линейной функции f=y1+2y2+5y3 при ограничениях
y1> 0
2y1 – 4y2 + 3y3 > 1,
y2 > 0,
(-y1) + 2y2 >(-1),
y1 – y2 + y3 = -3, y3 > 0
Оптимальный план исходной задачи X = (0; 1/3; 0; 11/3; 4; 0), при котором получим Zmin= -46/3. Используя эту итерацию, найдем оптимальный план двойственной задачи. Согласно теореме двойственности оптимальный план двойственной задачи находится из соотношения Y= C*D-1, где матрица D-1 - матрица, обратная матрице, составленной из компонент векторов, входящих в последний базис, при котором получен оптимальный план исходной задачи. В последний базис входят векторы A5, A4, A2; значит,
1 -1 2
D = (A 5, A 4, A 2) = -1 2 -4
1 0 3
Обратная матрица D -1 образована из коэффициентов, стоящих в столбцах A1, A3, A6 четвертой итерации:
2 1 0
D -1 = -1/3 1/3 2/3
-2/3 -1/3 1/3
Из этой же итерации следует С = (–3; –1; 1). Таким образом
2 1 0
Y=С*D-1 =(-3; – 1; 1) -1/3 1/3 2/3
-2/3 1/3 1/3
Y=(-19/3; – 11/3; – 1/3),
т.е. yi =С*Хi, где Хi – коэффициенты разложения последней итерации, стоящие в столбцах векторов первоначального единичного базиса.
Итак, i-ю двойственную переменную можно получить из значения оценки (m+1) – й строки, стоящей против соответствующего вектора, входившего в первоначальный единичный базис, если к ней прибавить соответствующее значение коэффициента линейной функции:
у1 =–19/3+0=–19/3; y2 =-11/3+0=-11/3; у3 =-1/3+0=-1/3
При этом плане maxf=-46/3
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 302; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!