Экстраполяция на основе экспоненциального сглаживания
Экстраполяция на основе экспоненциального сглаживания осуществляется по формуле:
St = α ∙ Xt + (1 - α) ∙ St-1 , (2.6)
где St – текущее сглаженное значение;
Хt – текущее значение исходного ряда;
St – 1 – предыдущее сглаженное значение;
α - сглаживающая const.
α = 0…1 – необходимо выбрать наиболее приемлемое значение с тем, чтобы сглаженный ряд в наибольшей степени отражал закономерность развития, был приближен к динамике исходного ряда и позволял усреднить базовый уровень.
Пример: α = 0,1.
| Год | Объем продаж (Х) | Эксп. сглаживание |
| 1 | 170 | 170 |
| 2 | 120 | 165 |
| 3 | 105 | 159 |
S1 = 170.
S2 = 0,1∙ 120 + (1-0,1) ∙ 170 = 165.
S3 = 0,1∙ 105 + (1-0,1) ∙ 165 = 159.
На основании полученного ряда рассчитывается средний коэффициент роста, аналогично предыдущему методу.
, (2.7)
где n –– количество лет в анализируемом периоде (число точек в исходной информации);
Уэксп.n – последнее значение экспоненциального ряда;
Уэксп.1 – первое значение экспоненциального ряда.
Или по формуле
, (2.8)
где Кi – коэффициенты роста, рассчитанные по экспоненциальному ряду;
m – число точек в экспоненциальном ряду.
Тогда прогноз рассчитывается аналогично предыдущему методу:
, (2.9)
где Убаз.эксп. – последнее значение выбранного экспоненциального ряда.
|
|
|
Метод наименьших квадратов (МНК)
МНК заключается в выборе математической функции, в наибольшей степени соответствующей динамике исходного ряда.
Для этого строят график исходного ряда динамики показателя. Если ряд подвержен существенным колебаниям и вид функции определить невозможно, то на этом же рисунке необходимо построить сглаженный ряд и на его основе осуществить выбор функции.
Периодом времени динамического ряда необходимо присвоить значение ti натурального ряда таким образом, чтобы сумма их за весь период была равна 0, т.е. 
i = 0.
Пример
| Годы | 1988 | 1989 | 1990 | 1991 | 1992 | 1993 | 1994 |
| Значение ti | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Такая процедура позволит упростить расчеты при решении системы нормальных уравнений методом наименьших квадратов. При данных обозначениях и линейной форме графика у (t) она будет выглядеть следующим образом:
, (2.10)
где n –– количество точек (уровней) в исходном ряду динамики;
а0 и а1 –– коэффициенты регрессии;
y – фактические значения исходного ряда.
Учитывая, что в преобразованном динамическом ряду 
получим:
|
|
|
(2.11)
Найдя значение а0 и а1, можно построить уравнение
У(t)=а0+а1 ∙ t (2.12)
Подставляя сюда значение ti , принятые при преобразовании естественных значений исходного ряда, получим выровненный ряд динамики и теоретические значения показателя (Урасч).
Присвоив ti значения, выходящие за рамки исходного ряда, получим прогнозируемые значения исследуемого показателя.
Выровненный ряд строится на графике, прогнозируемые значения показываются пунктиром.
Уравнение линейной зависимости у = а + вt имеет широкое применение в силу простоты определения его параметров. Однако линейная форма зависимости у(t) не всегда верно отражает действительность и на практике чаще встречаются другие.
Если эмпирические данные показывают, что увеличение уровней ряда происходит быстрыми темпами и график приближенно может быть представлен в виде ветви параболы второго порядка, то в качестве уравнения у(t) берется уравнение:
У(t) = a0 + a1 + a2t2 (2.13)
Параметры уравнения рассчитываются по такому же принципу, как и для линейного уравнения. Система нормальных уравнений в данном случае имеет вид:
|
|
|
(2.14)
Если изменение уровней ряда происходит затухающими темпами и ряд динамики приближенно может быть представлен в виде функции гиперболы (рисунок 2.1), то в качестве уравнения у(t) выбирается уравнение (2.15):
Рисунок 2.1 - Гиперболическая зависимость
У(t) = a0 + a1 ∙ (1/t), (2.15)
Для определения коэффициентов уравнения (2.15) - а0 и а1 решается следующая система нормальных уравнений:
(2.16)
При решении гиперболической системы уравнений следует присваивать параметру t порядковые номера (1,2,3…n). Поэтому система уравнений преобразованию не подлежит.
При логарифмическом графике тренда уравнение имеет вид:
у(t) = a0 + a1Igt (2.17)
Рисунок 2.2 - Логарифмический график тренда
Коэффициенты а0 и а1 определяются из системы нормальных уравнений:
(2.18)
Если ряд подвержен существенным циклическим колебаниям (рисунок 2.3), то может быть использовано уравнение :
y=a0+a1t+a2t2+a3t3 (2.19)
Тогда система нормальных уравнений имеет вид:
(2.20)
|
|
|
Рисунок 2.3 – График циклических колебаний
Критерием правильности выбора функции в МНК является минимум суммы квадратичных отклонений расчетных значений показателя (выровненных) от фактических значений исходного ряда:
S = 
min (2.21)
Если просчитывается две и более функции, то выбирается та, которая отвечает данному критерию. Чтобы получить прогнозные значения, необходимо подставлить в полученное уравнение значения независимой переменной, выходящие за пределы исходной информации.
В результате проведенных расчетов получены 4 варианта прогноза.
Результаты расчетов необходимо отобразить графически. На рисунке необходимо построить:
- исходный ряд:
- 3 варианта прогноза, полученные разными методами. Прогнозные значения по всем приемам следует показать на графике пунктиром;
- расчетные значения У, полученные в МНК по функции, отвечающей критерию S (Урасч изобразить точками или другими символами, не соединяя между собой).
В заключении работы на основании анализа динамики исходного ряда и прогнозных графиков необходимо сделать вывод о наиболее вероятном варианте прогноза. При этом необходимо дать оценку вероятности каждому прогнозу, исходя из динамики исходного ряда и сущности экстраполяции и метода наименьших квадратов.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 705; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!