Несобственные интегралы 1-го и 2-го ряда.

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

1) Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным промежутком {\displaystyle [a,+\infty )} [a,+\infty).

2) Функция f(x) является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования.

Если интервал [a,b] конечный и функция интегрируема по Риману, то значение несобственного интеграла совпадает со значением определённого интеграла.

Несобственный интеграл 1 рода возникает, когда по крайней мере одно из чисел a,b бесконечно.

Определение. Пусть существует конечный предел

A=limI(N)=lim∫Naf(x)dx.

N→+∞ N→+∞

Тогда говорят, что несобственный интеграл 1 рода (19) является сходящимся и ему приписывают значение A, саму функцию называют интегрируемой на интервале [a,+∞). Если же указанного предела не существует или он равен ±∞, то говорят, что интеграл (19) расходится.

Несобственные интегралы второго рода
Пусть b есть особая точка функции f(x) и для любого эта функция интегрируема на отрезке . Тогда предел

называется несобственным интегралом второго рода. Если этот предел существует и конечен, то говорят, что интеграл сходится или существует, если же этот предел равен бесконечности, то интеграл расходится, или не существует.

30) Некоторые специальные интегралы: интеграл Пуассона, Дирихле, Френеля. Понятие комплексных чисел, знакомство с теорией функций комплексного переменного.( Света)

31) Вычисление несобственных интегралов от степенной функции.

32) Признаки сходимости несобственных интегралов (признак сравнения, абсолютный, признак сравнения в предельной форме, признаки Абеля и Дирихле). Абсолютная и условная сходимость
Интегралы первого рода

Интегралы второго рода

Абсолютная сходимость

Признак Дирихле

Признак Абеля

33) Задачи линейной и нелинейной оптимизации. Формулировка. ( Света)

34) Понятие функции многих переменных (ФМП). График функции двух переменных.. Линия (поверхности) уровня. Область определения функции.
ФМП- это правило, при котором каждому х=(х1, х2, ….,хn) Î DfÎR^n поставлено в соответствии действительное число f( x )= f( x1, x2, …,xn) f: R^n ® R f: Af® Ef ( По Прилепкиной)

Если каждой точке множества D ставится в соответствие единственное число у из I, то говорят, что задана функция n переменных у=f(x1, …, xn). ( по интернету)

Графиком функции двух переменных z=f(x, y) называется множество точек (х, у, z) 3-мерного пространства, таких, что (х, у)ÎD(z) и z=f(x, y).

Линией уровня функции двух переменных называется линия на плоскости XOY, принадлежащая D(z), в каждой точке которой функция принимает одно и то же значение.

Уравнение линии уровня: f(x, y)=c, где с - произвольное число.

Z=1/9

Z=9

Z=4

Z=1

С=1 Z=1; C=4 Z=4

Область определения функции- это множество чисел на котором задается функция

35) Понятие кривой и ее носителя. Вектор скорости движения точки по кривой.

Понятие вектор-функции.
Опр. Непрерывное отображение отрезка [a, b] в пространство R3 называется кривой и обозначается Γ.

Опр. Множество точек пространства R3, на которое отображается отрезок [a, b], называется носителем кривой Γ.

В общем случае криволинейного движения вектор скорости может изменяться как по величине, так и по направлению. Рассмотрим характер этих изменений.

Пусть материальная точка, имевшая в положении A скорость υ и радиус-вектор r, за небольшой интервал времени ∆t совершила перемещение ∆rr и оказалась в точке B, положение которой определяется радиусом-вектором r1 (рис. 3.2). При этом ее скорость изменилась как по величине, так и по направлению, и определяется вектором υ1 .

Изменение направления вектора скорости за время ∆t характеризуется углом поворота ∆φ , которому соответствует отрезок CD перемещения конца вектора v при повороте (∆υn=CD). Заметим, что радиус-вектор r также поворачивается на угол ∆φ, которому соответствует перемещение ∆r.

ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ, векторная функция - функция r(t) аргумента t, значения которой принадлежат некоторому векторному пространству V.

В конечномерном (размерности m) векторном пространстве V задание вектор-функции эквивалентно заданию ее координат r_j(t), 1 ≤ j ≤ m, в некотором базисе

е₁, ..., е_m пространства V:

Вектор-функция называется непрерывной, дифференцируемой и т. п. (в точке или в области), если такими являются все функции r_j(t).

36) Евклидово пространство.

37) Определение дифференцируемости ФМП. Уравнение касательной плоскости и нормали.

Определение.Касательной плоскостьью к поверхности z = f(x,y) в точке P0(x0,y0,f(x0,y0)) называется плоскость, содержащие все касательные к поверхности, проведённые в точке P0.

Определение.Нормалью к поверхности в точке P называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной плоскости, проведённой через точку P

Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y), в точке M₀(x₀,y₀,z₀) имеет вид: z – z₀ = f’_x(x₀,y₀)(x – x₀) + f’_y(x₀,y₀)(y – y₀)
Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y), в точке M₀(x₀,y₀,z₀), где z₀ = f(x₀,y₀), имеют вид:

В случае, когда уравнение гладкой поверхности задано в неявном виде: F(x; y; z) = 0 и F(x₀; y₀; z₀) = 0, то уравнение касательной плоскости в точке M₀(x₀; y₀; z₀) имеет вид

(3)

а уравнение нормали

38) Дифференцирование сложной функции (ФМП). Доказательство.
Теорема. Пусть u = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t ) и у = у(t ) определены в области ,причём, когда , то х и у принадлежат области D . Пусть функция u дифференцируема в точке M₀(x₀, y₀, z₀), а функции х(t ) и у(t ) дифференцируемы в соответствующей точке t₀, то сложная функция u = f [x(t), y(t)]=F (t) дифференцируема в точке t₀ и имеет место равенство:

Доказательство. Так как u дифференцируема по условию в точке (x₀, y₀), то её полное приращение представляется в виде

.Разделив это соотношение на , получим:

.
Перейдём к пределу при и получим формулу .

39) Частные производные. Дифференциал. Градиент, производная по направлению. Доказательство формулы вычисления производной по направлению. Смысл градиента.

40) Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.
Производные высших порядков.

Пусть дана дифференцируемая функция n переменных u( . Пусть также вычислена производная первого порядка по переменной . Эта функция тоже зависит от переменных .

Возьмем от производную по переменной : = .
Функция называется частной производной второго порядка от функции u( по переменным Таким же образом можно определить производные и третьего порядка .