Спектральное представление случайных сигналов
В § 1.2 была показана эффективность представления детерминированных сигналов совокупностью элементарных базисных сигналов для облегчения анализа прохождения их через линейные системы. Аналогичный подход может быть использован и в случае сигналов, описываемых случайными процессами [21].
Рассмотрим случайный процесс U(t), имеющий математическое ожидание mu(t). Соответствующий центрированный случайный процесс (t) характеризуется в любой момент времени t1 центрированной случайной величиной (t1):
Центрированный случайный процесс (t) можно, как и ранее [см. (1.1)], выразить в виде конечной или бесконечной суммы ортогональных составляющих, каждая из которых представляет собой неслучайную базисную функцию jk(t) с коэффициентом Ck, являющимся случайной величиной. В результате имеем разложение центрированного случайного процесса (t):
Случайные величины Сk называются коэффициентами разложения. В общем случае они статистически зависимы, и эта связь задается матрицей коэффициентов корреляции . Математические ожидания коэффициентов разложения равны нулю. Неслучайные базисные функции принято называть координатными функциями.
Для конкретной реализации коэффициенты разложения являются действительными величинами и определяются по формуле (1.7).
Предположив, что
детерминированную функцию mu(f) в (1.86) на интервале - T<t<. T также можно разложить по функциям φk(t), представив в виде
|
|
Подставляя (1.87 а) и (1.876) в (1.86) для случайного процесса U(t) с отличным от нуля средним, получим
Выражение случайного процесса в виде (1.87 в) позволяет существенно упростить его линейные преобразования, поскольку они сводятся к преобразованиям
детерминированных функций [mu(t), jk(t)], а коэффициенты разложения, являющиеся случайными величинами, остаются неизменными.
Чтобы определить требования к координатным функциям, рассмотрим корреляционную функцию процесса (t), заданную разложением
Так как
то
Соотношение (1.88) становится значительно проще, если коэффициенты {Ck} некоррелированы (Rkl = 0 при k l, Rkl = 1 при k = l):
В частности, при t1 = t2 = t получим дисперсию случайного процесса U(t):
Поэтому целесообразно выбирать такие координатные функции, которые обеспечивают некоррелированность случайных величин {Сk}. Разложение (1.87), удовлетворяющее этому условию, называют каноническим разложением.
Доказано [21], что по известному каноническому разложению корреляционной функции случайного процесса можно записать каноническое разложение самого случайного процесса с теми же координатными функциями, причем дисперсии коэффициентов этого разложения будут равны дисперсиям коэффициентов разложения корреляционной функции.
|
|
Таким образом, при выбранном наборе координатных функций центрированный случайный процесс характеризуется совокупностью дисперсий коэффициентов разложения, которую можно рассматривать как обобщенный спектр случайного процесса.
В каноническом разложении (1.87) этот спектр является дискретным (линейчатым) и может содержать как конечное, так и бесконечное число членов (линий).
Однако используются и интегральные канонические разложения в форме (1.2). В этом случае мы имеем непрерывный спектр, представляемый спектральной плотностью дисперсии.
Основным препятствием к широкому практическому использованию канонических разложений случайных процессов является сложность процедуры нахождения координатных функций. Однако для ряда стационарных случайных процессов эта процедура вполне приемлема.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 172; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!