Соотношения между длительностью импульсов и шириной их спектров
Анализируя спектр одиночного прямоугольного импульса (см. рис.1.10), можно установить, что при увеличении его длительности τ от 0 до 
спектр сокращается от безграничного (у дельта-функции) до одной спектральной линии в начале координат, соответствующей постоянному значению сигнала. Это свойство сокращения ширины спектра сигнала при увеличении его длительности и наоборот справедливо для сигналов любой формы. Оно вытекает непосредственно из особенностей прямого и обратного интегрального преобразования Фурье, у которых показатель степени экспоненциальной функции в подынтегральных выражениях имеет переменные t и ω в виде произведения.
Рассмотрим функцию u(t) определенной продолжительности и функцию u( 
t), длительность которой при λ>1 будет в λ раз меньше. Считая, что u(t) имеет спектральную характеристику S(jω), найдем соответствующую характеристику S (jω) для u( t):
где 
=λt.
Следовательно, спектр укороченного в λ раз сигнала ровно в λ раз шире. Коэффициент l / λ перед S(jω / λ) изменяет только амплитуду гармонических составляющих и на ширину спектра не влияет.
Другой важный вывод, также являющийся прямым следствием Фурье-преобразования, заключается в том, что длительность сигнала и ширина его спектра не могут быть одновременно ограничены конечными интервалами: если длительность сигнала ограничена, то спектр его неограничен, и, наоборот, сигнал с ограниченным спектром длится бесконечно долго. Справедливо соотношение
|
|
|
где Δt - длительность импульса; Δf - ширина спектра импульса; С - постоянная величина, зависящая от формы импульса (при ориентировочных оценках обычно принимают С=1).
Реальные сигналы ограничены во времени, генерируются и передаются устройствами, содержащими инерционные элементы (например, емкости и индуктивности в электрических цепях), и поэтому не могут содержать гармонические составляющие сколь угодно высоких частот.
В связи с этим возникает необходимость ввести в рассмотрение модели сигналов, обладающие как конечной длительностью, так и ограниченным спектром. При этом в соответствии с каким-либо критерием дополнительно ограничивается либо ширина спектра, либо длительность сигнала, либо оба параметра одновременно. В качестве такого критерия используется энергетический критерий, согласно которому практическую длительность Тп и практическую ширину спектра wп выбирают так, чтобы в них была сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала.
Для сигналов, начинающихся в момент времени t0 = О, практическая длительность определяется из соотношения
где η - коэффициент, достаточно близкий к 1 (от 0,9 до 0,99 в зависимости от требований к качеству воспроизведения сигнала).
|
|
|
Принимая во внимание равенство Парсеваля (1.56), для практической ширины спектра сигнала соответственно имеем
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 343; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!