Замена переменных в определенном интеграле.



Метод неопределенных коэффициентов.

1. Разложим знаменатель на множители:

2. Правильная дробь разлагается в сумму простейших и каждому множителю вида соотв. сумма из n простейших дробей вида:

 с неопределенным коэф. A1n 

Каждому множителю вида  соот. сумма из m простейших дробей вида:

с неопределенным коэф.B1 C1

 

3. Неизвестный коэф. находится методом неопределенных коэф., основанном на: определении, что 2 многочлена тождественно совпадают, если у них равные коэффициенты при одинаковых степенях.

4. Приравнивая коэф. при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим систему линейных уравнений относительно неизвестного уравнения.

Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл.

Определение. Пусть непрерывная функция от одной переменной задана на отрезке [a, b].

1) Тогда разбиением отрезка [a, b] называется конечное множество точек х0 , х1 ... хn , где

а = х0 < х1< х2 < .... < хn-1 < хn = b

2) обозначим через D хi = хi – хi-1, i=1, 2, …, n

Диаметром разбиения называется

D = - длина максимального из отрезков разбиения.

На каждом отрезке , i = 1, 2, …, n, произвольно выберем и составим сумму

(13)

которая называется интегральной суммой Римана функции f(х), соответствующей

данному разбиению отрезка [а, b] и выбору точек .

Теперь выясним геометрический смысл интегральных сумм Римана.

Пусть f (х) непрерывная на отрезке [а, b] функция, причем f (х) 0, .

Произведение f( )Dхi равно заштрихованной площади прямоугольника с основанием D х= хi - хi-1 и высотой f ( ).

Тогда сумма

представляет собой сумму площадей n прямоугольников, с основаниями D хi и высотами f ( ), i = 1, 2…, n. Здесь х0=а, хn = b.

Если при стремлении к нулю диаметра разбиения отрезка [а, b] существует предел (14), то определенный интеграл представляет собой площадь криволинейный трапеции.

Свойства определенного интеграла.

Df. Промежуток с гранич. т. A и B ориентированным, если указано направление перехода от т. A к т. B.

1. Пусть сущ. определенный интеграл  сущ. определенный интеграл  и справедливо равенство

 

2.

Док-во:

 

3. Свойство линейности определенного интеграла:

                                         1. Пустьф-ии интегрируемы на ***

                                         2. Пусть , то для любой произвольной постоянной  - справедлива формула

4. Аддитивность определенного интеграла:

Пусть ф-ия  интегрируема на большем их трех помежутков , тогда она интегрируема на обоих меньших промежутках и справедлива формула:

Свойство монотонности. 1. Пусть ф-ия  неотрицательна на  и интегрируема на нем, Док-во: В силу н-ва для ф-ий любая интегрируема ф-ия неотрицательна Þ любая последовательность интегрируемых сумм будет иметь неотрицательный предел Þ интеграл будет неотрицательным. 2. Пусть ф-ия  на , искл. конечн. точек, и интегрируема на , тогда Док-во: Из интегрируемости следует, что предел не зависит от выбора разбиения на . Достаточно строить инт. разбиения так, чтобы точки, в которых ф-ия равна нулю, являлись точками разбиения. А следовательно в силу аддитивности интеграл по всему прмежутку равен сумме интегралов по частичным промежуткам, т.к **** Df Две ф-ии , заданные на , значения которых различны на  лишь в конечном ч. точек называются эквивалентными на этом отрезке.   3. Инт. от эквивалентных ф-ий совп. Пусть эквивалентны и интегрируемы на , тогда  (они не совпадают а интегралы совпадают). Д-во:  на  лишь в конеч. ч. точек отр. , следовательно по 2му   4. Пусть  на , кроме конечного ч. точек,  инт. на , , то 5. Пусть  инт-ма на  Þ модуль ф-ии тоже интегрируем на  и справедливо неравенство: 6. Пусть  интегрируема на , , то существует М, такая что 25.Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его непрерывности. Теорма: Если функция f ( x ) интегрируема на отрезке [a,b], то функция непрерывна на этом отрезке. Доказательство: Дадим числу х приращение ∆х так, чтобы х+∆х Î [ a , b ]. Для наглядности изобразим на числовой оси один из возможных вариантов расположения точек:
 

 


 

        a        x 0                 x        х+∆х b

 

 

Получим:

По теореме (Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке, то интегрируема и абсолютная величина |f(x)|, причем

 

…(на этом теорема закончилась, но неравенство относится к ней.) и следствию из теоремы (Если на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема и удовлетворяет неравенству m£f(x)£M. То выполняются неравенства:

(на этом следствие из теоремы закончилось)

получаем:

 

Отсюда следует, что при ∆х→0 будет ∆ F →0. Это доказывает непрерывность функции F ( x ). Отметим, что для подынтегральной функции f ( x ) точка х может быть точкой разрыва.

 

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть F(x) -произвольная первообразная для функции f(x), заданной на промежутке [a,b]. Так как две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое, то верно равенство (1):


( в качестве числа х0 взято число а).

 

В этом тождестве положим х=а и получим ,

Откуда С = -F(a). Формула (1) примет вид:

Заменяя здесь х на b, приходим к формуле Ньютона-Лейбница:


Иногда ее правую часть записывают короче с помощью двойной подстановки:


Замена переменных в определенном интеграле.

Теорема: при замене переменной х на t по формуле x = φ ( t ) равенство (1)


Справедливо при условиях:

1. φ(α) = а, φ(β) = b,

2. φ'(t) непрерывна на отрезке [α,β],

3 f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а f[φ(t)] определена непрерывна на отрезке [α,β].

 

Доказательство: при наших предположениях левая и правая части равенства (1) существуют и существуют первообразные подынтегральные функции. Пусть ∫f(x)dx = F(x)+C. Тогда, как легко проверить дифференцированием обеих частей, справедливо равенство ∫f[φ(t)]φ'(t)dt = F[φ(t)]+C правая часть дифференцируется как сложная функция). Применяем формулу Ньютона-Лейбница

Получаем


(по условию 1)

правые части этих двух равенств оказываются одинаковыми, следовательно, можно приравнять левые части. Приравнивая их, приходим к равенству (1). Ч.т.д.

 

 


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 45;