Эквивалентные системы векторов
Векторные системы
Определение векторного пространства
Пусть дано поле действительных чисел 
. Всякое непустое множество 
называется векторным пространством над полем , если на этом множестве задана бинарная операция сложения и операция умножения на скаляр, причем выполняются следующие условия (аксиомы векторного пространства):
-
; -
; -
; -
; -
; -
; -
; -
.
Арифметическое 
-мерное векторное пространство
Пусть нам дано поле действительных чисел . Рассмотрим так называемое декартово произведение множеств
Элементом этого множества будет упорядоченная система чисел 
. Ее мы будем обозначать 
и называть -мерным вектором.
Рассмотрим еще один -мерный вектор 
. Числа 
назовем координатами этого вектора и введем в рассмотрение сумму векторов 
:
.
Возьмем 
и 
. Определим произведение скаляра 
на вектор следующим образом:
.
Легко видеть, что 
. Этот вектор мы будем называть противоположным для и обозначать 
.
Множество всех -мерных векторов обозначают через 
. Легко видеть, что множество обладает структурой векторного пространства, т.е. на множестве для операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр выполняются аксиомы 1-8 векторного пространства. Поэтому множество называют арифметическим -мерным векторным пространством.
Пример. Найти линейную комбинацию 
, если 
, 
, 
.
Решение: найдем векторы
, 
, .
Складывая их, получим:
|
|
|
.
Линейная зависимость и независимость системы векторов
Пусть дана система векторов
из -мерного векторного пространства над полем . Составим выражение
и назовем это выражение линейной комбинацией векторной системы . Скаляры называют коэффициентами этой линейной комбинации. Если все коэффициенты в выражении равны нулю, то линейная комбинация называется тривиальной.
Составим следующее выражение:
. 
Если равенство выполняется только при нулевых коэффициентах 
, то говорят, что система векторов линейно независима. Если существует хотя бы один коэффициент 
, что выполняется равенство , то говорят, что система векторов линейно зависима.
Будем говорить, что вектор 
есть линейная комбинация векторов , если выполняется следующее условие:
.
Под линейной оболочкой векторов системы будем понимать множество всевозможных линейных комбинаций векторов этой системы. Линейную оболочку векторов системы будем обозначать
.
Теорема 1. система векторов, содержащая нулевой вектор линейно зависима.
|
|
|
Доказательство.Пусть нам дана система векторов . Предположим, что она содержит нулевой вектор 
. Составим выражение:
.
Поскольку коэффициент при векторе отличен от нуля, то из последнего равенства следует, что исходная система векторов линейно зависима.
Теорема 2. Система векторов линейно зависима, если какая-нибудь ее подсистема линейно зависима.
Доказательство. Пусть дана система векторов , которая содержит линейно зависимую подсистему 
, поэтому
, где 
.
Тогда справедливо:
.
Откуда следует, что система линейно зависима.
Следствие. Любая подсистема линейно независимой системы векторов линейно независима.
Теорема 3. Система векторов , где хотя бы один вектор (например, 
) отличен от нуля, линейно зависима тогда и только тогда, когда какой-нибудь вектор этой системы есть линейная комбинация остальных векторов этой же системы.
Доказательство. Пусть дана система векторов , удовлетворяющая условиям теоремы и пусть она линейно зависима. Тогда существует хотя бы один коэффициент 
, что выполняется следующее равенство:
.
Тогда:
.
Обратно. Пусть вектор 
– линейная комбинация остальных векторов системы, т.е. выполняется . Тогда можно записать:
|
|
|
Следовательно, линейно зависима. Теорема доказана.
Теорема 4. Если система векторов - линейно независима, а система векторов 
- линейно зависима, то - линейная комбинация системы векторов , причем единственная.
Доказательство. Предположим, что система векторов линейно независима. Тогда равенство 
выполняется только при нулевых коэффициентах, т.е.
.
Но система векторов - линейно зависима. Тогда равенство
выполняется хотя бы при одном коэффициенте, отличном от нуля. Но, учитывая равенство , видим, что 
. Из последнего равенства мы можем найти вектор как линейную комбинацию векторов:
.
Равенство единственно. Докажем это методом от противного.
Пусть имеет место другое разложение по векторам , т.е.:
.
Вычитая из равенства равенство почленно, получим:
.
Но линейно независимы. Поэтому последнее равенство справедливо только при нулевых коэффициентах:
.
Теорема 5. Если 
, а 
, то 
.
Доказательство. Т.к. , то
.
|
|
|
Т.к. , то
Подставляя в равенство вместо векторов 
их значения по формулам , получим, что 
- линейная комбинация векторов 
, т.е. 
. Теорема доказана.
Теорема 6. Если система векторов 
, то векторы 
линейно зависимы.
Доказательство. Пусть
.
Предположим, что это система ненулевых векторов. Докажем теорему методом математической индукции по числу 
. Проверим справедливость теоремы при 
. Поскольку имеет место условие , то
1) Пусть . Из следует:
т.е. векторы 
линейно зависимы. При теорема верна.
2) Предположим, что теорема верна при 
и на этом основании докажем, что она верна и при 
. Пусть , тогда система примет следующий вид:
Если в правых частях системы все коэффициенты при векторе 
равны нулю, то получим, что 
. Значит по индуктивному предположению система векторов 
- линейно зависима, а, значит, будет линейно зависимой и система векторов 
. если хотя бы один из коэффициентов при векторе отличен от нуля, например, 
, то, исключая вектор 
из первых 
равенств, получим:
Из 
следует, что система векторов 
линейно зависима, откуда
,
где хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Откуда следует, что система векторов линейно зависима. теорема доказана.
Следствие 1. Если система векторов 
, где 
, то система векторов линейно зависима.
Следствие 2. Если система векторов и система векторов 
линейно независима, то 
.
Эквивалентные системы векторов
Пусть даны две системы векторов: 
и 
. Будем говорить, что две системы векторов 
и 
находятся в отношении 
, если каждый ненулевой вектор одной из этих систем можно представить в виде линейной комбинации векторов другой системы. Записывается следующим образом:
Легко видеть, что данное отношение есть отношение эквивалентности, т.е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Из определения эквивалентности двух систем векторов непосредственно следует:
1) 
их линейные оболочки равны;
2) если две конечные системы векторов эквивалентны и каждая из них линейно независима, то эти системы состоят из одинакового числа векторов.
Под элементарными преобразованиями (э.п.) конечной системы векторов будем понимать:
1) умножение какого-нибудь вектора системы на скаляр 
;
2) прибавление (вычитание) к одному из векторов системы другого вектора данной системы, умноженного на скаляр;
3) исключение из системы или введение в систему нулевого вектора, причем это преобразование называется особенным.
Теорема 1. Если одна из конечных систем векторов получается из другой системы векторов в результате цепочки э.п., то эти системы векторов эквивалентны.
Доказательство. Пусть дана конечная система векторов
. 
Перейдем от этой системы к следующей системе:
, . 
Ясно, что 
.
Перейдем от системы к следующей системе:
, . 
Легко видеть, что 
. Применяя к 
э.п. вида 1) и 2), снова приходим к эквивалентной системе.
Следует заметить, что применение к системе преобразование вида 3), снова приведет к эквивалентной системе. Поэтому в силу транзитивности отношения 
система векторов, получающаяся из системы в результате цепочки э.п. снова эквивалентна исходной системе.
Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 1506; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!