Расчет источника гармонических колебаний

ВВЕДЕНИЕ

Цель курсовой работы — закрепить теоретический материал, научить студентов приемам и методам познавательной деятельности, умению обобщать и вырабатывать навыки творческого мышления и самостоятельной работы.

Для расчета цепей, построения графиков и оформления отчета целесообразно применять персональные ЭВМ (ПЭВМ). При этом можно пользоваться готовыми программами систем инженерных и научных расчетов типа MATLAB, MATHCAD, MICROCAP и другими или самостоятельно написанными, что способствует закреплению навыков работы с вычислительной техникой. Умение правильно использовать компьютер становится важным показателем работы специалиста. Отсутствие у студента доступа к ЭВМ не является причиной невыполнения курсовой работы или отдельных ее пунктов.

ОПИСАНИЕ СХЕМЫ

Предметом курсовой работы является исследование электрической цепи, структурная и функциональная схемы которой
показаны на рис. 1 и 2 соответственно. Схемы активного двухполюсника — источника гармонических колебаний (ИГК), четырехполюсника и параметры их элементов выдаются преподавателем по вариантам в виде раздаточного материала.

Схема источника гармонических колебаний состоит из источников ЭДС и тока одинаковой частоты и пассивных элементов разного характера, соединенных определенным образом (см. рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

Роль первичной обмотки линейного трансформатора (ТР) выполняет одна из индуктивностей L_n, входящих в состав источника. При этом последовательно с индуктивностью не должен быть включен источник тока, и ток в этой ветви не равен нулю, например L₃ на рис. 2. Если в схеме нет такой индуктивности, то ее нужно создать, включив в любую ветвь без источника тока индуктивность 100 мГн и емкость 10 мкФ. Установившийся режим в схеме источника от этого не нарушится. Линейный (воздушный) трансформатор имеет две вторичные обмотки L₈ и L₉.

Напряжение u₁ вторичной обмотки L₈ ТР подается на вход повторителя, собранного на операционном усилителе (ОУ) DA1. Ориентировочные параметры такого усилителя следующие: R_вх 0,5 мОм, R_вых 100 Ом, m₀  5×10⁴, f_в=20 мГц , где m₀ — коэффициент усиления по напряжению, а f_в — верхняя рабочая частота. Часто такой ОУ используется не для получения усилительного эффекта, а для предания электрическим цепям особых свойств, получить которые без него сложно или невозможно. Для работы ОУ к нему необходимо подвести постоянное питающее напряжение U = 10...15 В. Цепи питания на схемах обычно не изображают.

В большинстве практических расчетов характеристики ОУ идеализируют. При этом считают, что входная проводимость и выходное сопротивление равны нулю, а коэффициент усиления имеет бесконечно большое значение. Выходное напряжение повторителя u₃ = u₁, мощность входного сигнала равна нулю, а мощность выходного может принимать любое значение в зависимости от нагрузки — это не противоречит закону сохранения энергии, так как она обеспечивается источником питающего напряжения ОУ.

Напряжение u₂ со вторичной обмотки L₉ ТР подается на инвертирующий вход компаратора — порогового элемента, преобразующего гармоническое (синусоидальное) колебание в разнополярные импульсы прямоугольной формы: U₄ = 10 В при u₂ £ 0, U₄ = –10 В при u₂ > 0. Компаратор собран на ОУ DA2 с разомкнутой отрицательной обратной связью (ООС). В цепи без ООС коэффициент усиления ОУ оказывается чрезвычайно большим и синусоидальный сигнал преобразуется в прямоугольный. Следует обратить внимание, что напряжения u₁ и u₂ находятся в противофазе, а напряжению u₃ ³ 0 соответствует U₄ = 10 В.

Токи во вторичных обмотках трансформатора ТР для идеальных ОУ (R_вх ) равны нулю, поэтому нагрузка трансформатора никакого влияния на активный двухполюсник не оказывает.

Переключатель Кл позволяет подключить заданную схему четырехполюсника либо к выходу повторителя, либо к выходу компаратора. Переключение из одного положения в другое происходит мгновенно. В исходном (начальном) состоянии переключатель Кл находится в положении 1 (см. рис. 2). Изменение положения переключателя вызывает в схеме четырехполюсника изменение режима работы и возникновение переходного процесса.

ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА

В учебном пособии не ставится задача проведения расчета какого-либо варианта курсовой работы. Рассматриваются отдельные фрагменты выполнения работы на примерах, позволяющих составить общее представление о характере и объеме необходимых расчетов.

Расчет источника гармонических колебаний

Пример 1. Рассчитать источник гармонических колебаний (см. п. 1.1) по схеме рис. 2, если заданы следующие исходные данные: i_J1 = sin(10³ t + 270°) A, e₂ = 600 sin(10³ t + 225°) B, E₃ = 500 + j500 B, R₁ = 0 Ом, C₂ = 20/3 мкФ, R₃ = 150 Ом,                      L₃ = 100 мГн, R₄ = 100 Ом, C₅ = 10 мкФ, L₆ = 100 мГн, R₇ = 20 Ом.

Решение. Предварительная подготовка схемы к расчету заключается в выборе положительных направлений токов в ветвях и их обозначении. Кроме того, необходимо обозначить все узлы схемы буквенными или цифровыми индексами. Для перехода к комплексной схеме замещения (рис. 3) все независимые источники нужно представить в комплексной форме (в виде комплексных амплитуд или комплексных действующих значений) и рассчитать комплексные сопротивления всех ветвей схемы. Так, комплексные действующие значения источников будут равны:
i_J1  J₁ = 4exp( j270°) = – j4, e₂  E₂ = exp ( j225°) = –300
– j300, а комплексные сопротивления при w = 10³ c^–1: Z₁ = R₁ = 30, Z₂ = –jX_C2 = –j/(wC₂) = –j150, Z₃ = R₃ + jX_L3 = R₃ + jwL₃ = 150 + j100, Z₄ = R₄ = 100, Z₅ = –jX_C5 = –j/(wC₅) = –j100, Z₆ = jX_L6 = jwL₆ = j100, Z₇ = R₇ = 20, где  — символ соответствия между оригиналом и изображением функции.

 

Рис.3

 

Рис.4

 

Пример 1. Рассчитать ток I₃ в первичной обмотке трансформатора (см. рис. 2) методом эквивалентного источника.

Данный метод расчета основан на теореме об эквивалентном источнике (источнике напряжения или тока) [1–4]. В соответствии с этой теоремой ток в любой ветви m–n сколь угодно сложной электрической цепи (рис. 6, а) не изменится, если электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником энергии, который может быть представлен последовательной (источником напряжения — рис.

6, б) или параллельной (источником тока — рис. 6, в) схемой замещения.

ЭДС идеального источника напряжения в последовательной схеме замещения должна быть равна напряжению на разомкнутых зажимах m–n схемы; ток идеального источника тока в параллельной схеме замещения равен току, протекающему между зажимами m–n, замкнутыми накоротко; внутреннее сопротивление и внутренняя проводимость эквивалентного источника должны быть равны соответственно входному сопротивлению и входной проводимости пассивной электрической цепи (источники замещены их внутренним сопротивлением) со стороны разомкнутых зажимов m–n. Эта теорема лежит в основе метода эквивалентного источника.

Решение. Расчет неизвестного тока I₃ для исходной схемы (см. рис. 3) выполним методом, например, эквивалентного источника напряжения. Найдем параметры E _ЭГ и Z _вн, учитывая, что обмотка трансформатора с индуктивностью L₃ =100 мГн включена между точками а–е.

А. Схема для определения E_ЭГ показана на рис. 5. Направление напряжения U _{ae xx}совпадает с направлением неизвестного тока I₃. Из уравнения, составленного по методу контурных токов,

I₁₁(Z ₄ + Z ₅ + Z ₆) – I ₂₂  Z ₆ = 0 при условии, что I ₂₂ = J ₁ = –j4, определяем токи

I₁₁ = 4, I¢₄ = I ₁₁ = 4, I¢₂ = I ₂₂ = –j4. Теперь из уравнения U _{ae xx} + I¢₄ Z₄ + I¢₂ Z₂ = E ₂ + E ₃, составленного согласно второму закону Кирхгофа для правого контура, находим E_ЭГ = U _{ae xx}= 400 + j400.

 

Рис. 5                                                           Рис. 6

Б. Схема для определения внутреннего сопротивления генератора Z _вн = Z _{ае вх} показана на рис. 6 - здесь источники замещены их внутренним сопротивлением:

Z _вн = R₃ + R₂ + Z ₄ (Z ₅ + Z ₆) / (Z ₄ + Z ₅ + Z ₆) = 150 – j150.

На основании метода эквивалентного источника напряжения определяем:

I ₃ = E _ЭГ/(Z _вн + Z_L3) = (400 + j200)/(150 – j150 + j100) = 2 + j2.

 

Запишем мгновенные значения тока i₃ и напряжения u_L3(t) на индуктивности L₃, представляющей собой первичную обмотку трансформатора. Комплексной амплитуде тока I_3m= (2+j2)==4exp(j45°) соответствует мгновенное значение тока i(t)= 4 sin(10³t + 45°). Комплексному действующему значению напряжения U _L3=I₃jX_L3=(2+j2)(j100)= –200+j200=200 ´ exp( j45°) соответствует мгновенное значение напряжения u_L3(t) = 400sin(10³t + 135^°). Кривые мгновенных значений токов i(t) или i(wt), напряжений u(t) или u(wt), построенные в декартовой системе координат (рис. 7), называются волновыми или временными диаграммами.

Определим значения взаимных индуктивностей М₃₈ и М₃₉, необходимых для получения на вторичных обмотках линейного трансформатора заданных значений U₁ и U₂ (см. рис. 2). Пусть требуется получить напряжения

U₁ = 5 B, U₂ = 10 B. Так как U₁ == X_m38 I₃ = w M₃₈ I₃, а I₃ = 2 , то M₃₈ = U₁ /(wI₃) = 5/(10³ 2 ) = 1,25  = 1,77 мГн. При рассчитанном значении взаимной индуктивности комплексное значение напряжения на входных зажимах повторителя напряжения U₁ = jwM₃₈ I₃ = j10³ ´ 1,25 10^–3 ´ (2 + j2) = 5exp ( j135°). (Для проверки правильности записи равенства для U₁ необходимо задаться направлением тока I₈ в L₈, записать уравнение для U₁ с учетом магнитных связей, а затем принять I₈ = 0, так как ОУ считается идеальным.) Мгновенное значение напряжения u₁ = 5 sin (10³t + j135°). Заданный коэффициент связи позволяет определить значение индуктивности L₈ вторичной обмотки трансформатора. Так как k₃₈ = M₃₈ / , то, например, при k₃₈ = 0,5 L₈ = M ²₃₈ /  / (k ²₃₈ L₃) = (1,25 ×10^–3)² / (0,5²×100×10^–3) = 0,125 мГн. Аналогично: M₃₉ = U₂ / (wI₃) = 10 / (10³×2 ) = 2,5 = 2,54 мГн, при k₃₉ = 0,5 L₉ = M ²₃₉ / (k ²₃₉L₃) = (2,5 ×10^–3)² / (0,5²×100×10^–3) = 0,5 мГн, U₂ = – jwM₃₉ I₃ = – j10³ ´ 2,5 ×10^–3(2 + j2) =

=10 exp(–j45°)  u₂ = 10 sin (10³t – j45°). Напряжение u₂ на индуктивности L₉ находится в противофазе с напряжением u₁ на L₈ (см. схему включения обмоток ТР на рис. 2).

Расчет четырехполюсника

Пример 2. Для схемы рис. 8 рассчитать токи и напряжения методом входного сопротивления, построить их векторные диаграммы. В схеме заданы: u _вх = 40 sin(10³t +p/2) B, R₁ = X_C1 =
= X_C2 = R₃ = X_L3 = 10 Ом.

Решение. Обозначим точки соединения элементов схемы и токи. Выберем условно положительные направления токов в соответствии с рис. 9. Ток в неразветвленной части схемы I₁ = U _вх / Z _вх, где Z _вх — комплексное входное сопротивление схемы, Z _вх = R₁ – jX_C1 + [–j X_C2(R₃ + j X_L3)] / [R₃ + j(X_L3 – X_C2)] = 10 –j10 + [–j10(10 + j10)] / [10 + j(10 –10)] = (20 – j20) Ом.

Комплексное действующее значение входного напряжения U_вх = j40 B. Общий ток I₁ = j40/(20 – j20) = –1 + j = exp135°. Токи в параллельных ветвях выразим через ток I₁: I₂ = I₁Z₃ / (Z₂ + Z₃) =

=(–1 + j)(10 + j10) / (–j10 + 10 + j10) = – 2 = 2exp( jp), I₃ = I₁Z₂ / (Z₂ + Z₃) = (–1 + j)(–j10) / 10 = 1 + j = = exp( jp/4).

Построим векторную диаграмму — совокупность векторов токов или напряжений на комплексной плоскости с учетом их взаимной ориентации по фазе. Ток в неразветвленной части схемы равен геометрической сумме токов I ₁ = I ₂ + I ₃. Векторная диаграмма токов с учетом выбранного масштаба m_I = 0,5 A/см представлена на рис.9, а.

Для построения векторной диаграммы напряжений рассчитаем напряжения на отдельных элементах (участках) схемы (см. рис. 8). Направления напряжений принимаем совпадающими с направлением токов в соответствующих элементах. Рассчитаем падение напряжения на элементах схемы: U_R1 = U_ed =

=R₁ I₁= 10 и совпадает по фазе с током I₁; U_C1 = U_dc = X_C1 I₁ = 10 , но отстает по фазе от тока I₁ на угол p/2; U_R3 = U_cb = R₃I₃ = 10 и совпадает по фазе с током I₃; U_L3 = 14,1 и опережает по фазе ток I₃ на угол p/2; напряжение U_ca = X_C2 I₂ = 20 и отстает по фазе от тока I₂ на угол p/2.

Рис. 8                                                    Рис. 9

Геометрическая сумма U _R1 + U _C1 + U _R3 + U _L3 = U_вх = U _ea, а сумма U _R3 + U _L3 равна по модулю падению напряжения на емкости С₂ — U_ca. Кроме того, эта векторная сумма равна выходному напряжению четырехполюсника.

Векторная диаграмма напряжений показана на рис.9, б (m_U = 8 B/см). Мгновенные значения тока i₁ и выходного напряжения u_вых: I₁ = exp( j3p /4)  i₁ = 2 sin(10³t + 3p/4), U_вых = j20  u_вых =
= 20 sin(10³t + p/2). Сдвиг по фазе между выходным и входным напряжениями

j = y_вых – y_вх = p/2 – p/2 = 0, а отношение действующих значений U_вых / U_вх = 20/40 = 0,5.

Расчет передаточной функции
и частотных характеристик цепи

Динамические свойства линейных устройств можно описать передаточной, переходной или импульсной характеристиками, которые, в свою очередь, описывают поведение цепей (устройств) соответственно в частотной и временной областях. При этом оба представления совершенно равносильны и взаимно дополняют друг друга, а переход от одного к другому осуществляется с помощью прямого и обратного преобразования Фурье и Лапласа. Частотные и временные характеристики удобно определять с помощью операторного метода. Для этого находят передаточную функцию цепи.

Передаточная функция линейной электрической цепи с сосредоточенными параметрами W(s) равна отношению преобразования Лапласа Y(s) реакции цепи y(t) к изображению Х(s) входного воздействия x(t), вызвавшему эту реакцию, при нулевых начальных условиях:

W(s) = Y(s) / Х(s) = (b_m s^m + b_m–1 s^m–1 + … +b₀) / (a_n sⁿ + a_n–1 s^n–1 + … + a₀). При этом условно предполагают, что в схеме действует один источник. Передаточная функция представляет собой аналитическую дробно-рациональную функцию комплексного аргумента s = s + jw, где m и n — степени (порядок) полиномов числителя и знаменателя (m £ n). Вид полиномов B(s) и A(s) и их коэффициенты зависят от структуры цепи и параметров ее элементов.

Если требуется определить частотные характеристики цепи, переходят от преобразования Лапласа к преобразованию Фурье, приняв s = jw, и получают комплексную передаточную функцию (коэффициент передачи) W( jw) = Y( jw) / X( jw) = Y_m( jw) / X_m( jw), определяемую как отношение комплексных амплитуд (комплексных действующих значений) электрических величин на выходе и входе цепи в заданном режиме работы. Размерность комплексного коэффициента передачи W( jw) определяется схемой и соотношением реакций цепи и входного воздействия. Так, например, передаточная функция по напряжению равна W_U ( jw)= U_вых / U_вх и является безразмерной величиной.

В общем виде W( jw) можно представить в виде отношения двух комплексных полиномов в алгебраической или показательной форме:

W(jw) = b(jw)/a(jw) = [B₁(w) + jB₂(w)] / [A₁(w) + jA₂(w)] =

= exp[ j arctg (B₂ /B₁)] / exp[ j arctg(A₂ /A₁)]} =

= B(w) exp [ jy_B(w) ] /{A(w) exp [(jy_A(w)]} =

= [B(w) /A(w)] exp j[y_B(w) –  y_A(w)] = W(w) exp [jj(w)],

где B₁(w) = Re [b( jw)],  А₁(w) = Re [a( jw)], B₂(w)  =  Im [b( jw)],  А₂(w) = Im[a( jw)],   W(w) = B(w) / A(w) — модуль передаточной функции, называемый амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ); j(w)  = y_B(w) – y_A(w) — аргумент передаточной функции, или фазочастотная характеристика (ФЧХ).

Передаточная функция может быть представлена также в виде суммы двух полиномов:

W( jw) = P(w) + jQ(w) =  ´ exp [ jarctg(Q/P) = W(w) exp [ jj(w)], где Р(w) — вещественная, а Q(w) — мнимая частотные характеристики. Но этот путь более трудоемкий, особенно при определении знака ФЧХ.

При расчете ФЧХ следует помнить, что если значение действительной части комплексного полинома отрицательно, то вектор на комплексной плоскости расположен или во второй ее четверти, или в третьей — это зависит от знака мнимой части комплексного полинома: при положительном — во второй, при отрицательном — в третьей.

Для обозначения передаточных функций используют также и другие обозначения, например K( jw), H( jw).

При определенном значении w = w_k комплексная передаточная функция W( jw_k) представляет собой вектор на комплексной плоскости s = s + jw и характеризуется амплитудой W(w_k) и фазой j(w_k). При изменении частоты w амплитуда и фаза вектора W( jw) будут изменяться, а его конец будет описывать на плоскости кривую, представляющую собой амплитудно-фазовую характеристику. Геометрическое место точек на комплексной плоскости, соответствующих концу вектора комплексной передаточной функции W( jw) при изменении частоты от нуля до бесконечности, называется годографом (амплитудно-фазовой характеристикой).

Частотные характеристики позволяют косвенно, т.е. без решения дифференциальных уравнений, описывающих схему (систему), судить о прохождении сигнала, об устойчивости схемы и ряде других показателей качества, а также определить ее реакции на гармоническое воздействие. При подаче на вход сигнала x(t) установившаяся гармоническая величина на выходе определяется произведением входной функции на комплексный коэффициент передачи, т.е. Y( jw) = W( jw) X( jw), откуда

|Y | = W(w)|X |, y_y = y_x + j(w), где y_x — начальная фаза гармонического воздействия.

Пример 3. Для схемы четырехполюсника (см. рис. 2) найти выражение передаточной функции по напряжению при разомкнутых выходных зажимах. Построить амплитудно-частотную, фазочастотную характеристики и годограф.

Решение. Для определения передаточной функции составим уравнение цепи:

 u_вх = Ldi/dt + Ri + u_вых или в операторной форме (независимые начальные условия нулевые)

U_вх(s) = sLI(s) + RI(s) + U_вых(s). Так как I(s) = U_вых(s) / (1/sC) = sCU_вых(s), то
U_вх(s) = s²LCU_вых(s) + sRCU_вых(s) + U_вых(s). Тогда операторная передаточная функция будет иметь вид W_U(s)=U_вых(s) /U_вх(s) = 1 / (s ²LC + sRC + 1) = (1 / LC)[1 / (s ² + (R / L)s + 1 / (LC))].

Введем обозначения: 1 / LC = , R / (2L) = d. В соответствии с обозначениями

W_U (s) = / (s² + 2ds + ). Характеристическое уравнение s² + 2ds + = 0  имеет корни

s_1,2 = – d = – R/(2L) ± . При R = 0 (d = 0) s_1,2 = ± j = ± jw₀, где w₀ =  — частота незатухающих колебаний.

Комплексную передаточную функцию легко получить из операторной при замене s на jw:

W( jw) = / [(  - w²) + j2d]. Полином знаменателя запишем в показательной форме: W( jw) =
= /{ exp [–jarctg 2d/(  - w²)]} = W(w)exp [ jj(w)]. Отсюда W(w) = /  = =1/  — АЧХ, j(w) = - arctg [2d/(  - w²)]  = - jarctg [wRC/(1 – w²LC)] — ФЧХ.

Пусть в схеме (см. рис. 2) заданы параметры: R = 50 Ом, L = 250 мГн, С = 80 мкФ. Запишем выражения операторной и комплексной передаточных функций с учетом численных значений коэффициентов: W_U(s) = 5×10⁴/(s² + 200s + 5×10⁴), W( jw) = 5×10⁴ / [(5×10⁴ – w²) + j 200w. Отсюда АЧХ и ФЧХ:

W(w) = 5×10⁴ /  j(w) =  - arctg [200w / (5×10⁴ – w²)].

По полученным выражениям АЧХ и ФЧХ рассчитаем их значения в контрольных точках для фиксированных частот w_k (0; w/10; w/2; w; 3w; 5w) и w₀, где w = 10³ — частота источника гармонических колебаний. Они равны: w = 0, W(0), j(0) = 0;
w = 100 с^–1, W(100) = 1,2; j(100) = –26,5°; w = w₀ = 100  с^–1,

w = 1000 с^–1, W(1000) = 0,0121; j(1000) = -168°. На рис. 10 построены АЧХ, ФЧХ и годограф.

 

Рис. 10

Пример 4. Для схемы четырехполюсника (рис. 11) определить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи цепи по напряжению.

Решение. Коэффициент передачи по напряжению

W_U ( jw) = U₂ /U₁ = Z₂ /(Z₁ + Z₂), где Z₁ = jwL, Z₂ = [R / ( jwC)] / [R + 1 / ( jwC)] = R /(1 + jwRC).

Комплексная частотная характеристика W_U ( jw) =

= 1/(1 – w²LC + jwL/R) = 1 /{[(1 – w²LC)² + (wL / R)² ]^1/2exp [arctg (wL //(R – w²RLC ))]}, откуда АЧХ

W_U (w) = |W_U ( jw)| = 1 / [(1 – w²LC )² + (wL/R)² ]^1/2, а j(w) = - arctg [wL/(R – w²RLC )].

    

Рис. 11                                               Рис. 12

Пример 7. Для схемы четырехполюсника (рис. 12) определить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи цепи по напряжению.

Решение. Определяем W(jw) = U₂ /U₁ = j0,5wLI / U₁ = j0,5wLU₁ / /{U₁ [jwL + R/(jwC) / [R + 1/( jwC)]} = =j0,5wL/[jwL + R/(1 + jwRC)] = j0,5wL(1 + jwRC)/[ jwL/(1 + jwRC) + R] = j0,5wL(1+ jwRC) / [(R –
– w²RLC) + jwL].

Записываем комплексные полиномы числителя и знаменателя W(jw) в показательной форме:

W( jw)  = [0,5wL exp( jp/2)]{ exp [ jarctg (wRC)]} /
/{ exp [jarctg (wL / (R – w²RLC ))]}.

Отсюда АЧХ W(w) = 0,5wL / , а ФЧХ j(w)  = p/2 + arctg(wRC) – arctg [wL/(R – w²RLC)] = p/2 + j₁(w)  +  j₂(w).

Частотные характеристики изображены качественно на рис. 13. В зависимости от параметров элементов схемы W(w) может иметь вид 1 или 2. Следует обратить внимание на выражение для j₂(w): для w >1/  значения числителя и знаменателя функции arctg будут отрицательными, и в этом диапазоне частот электрические углы следует определять по формуле j₂(w) =
= –p + arctg [wL / (w²RLC – R)] = –p  +  arctg(wL / | R – w²RLC |).

 

Рис. 13

---

Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 389; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!