ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
ЗАДАНИЕ 1
Номер задания определяется по двум последним цифрам в номере зачетной книжки
| Предпоследняя цифра в номере зачетной книжки | |||||||||||
| Последняя цифра в номере зачетной книжки | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| 0 | 1 | 26 | 5 | 13 | 20 | 25 | 30 | 4 | 7 | 8 | |
| 1 | 11 | 2 | 27 | 6 | 14 | 21 | 26 | 1 | 5 | 9 | |
| 2 | 20 | 12 | 3 | 28 | 7 | 15 | 22 | 27 | 2 | 6 | |
| 3 | 28 | 21 | 13 | 4 | 29 | 8 | 16 | 23 | 28 | 3 | |
| 4 | 5 | 29 | 22 | 14 | 5 | 30 | 8 | 17 | 24 | 29 | |
| 5 | 11 | 6 | 30 | 23 | 15 | 6 | 1 | 9 | 18 | 19 | |
| 6 | 16 | 12 | 7 | 1 | 24 | 16 | 7 | 2 | 10 | 11 | |
| 7 | 20 | 17 | 13 | 8 | 2 | 25 | 17 | 8 | 3 | 12 | |
| 8 | 23 | 21 | 18 | 14 | 9 | 3 | 26 | 18 | 9 | 4 | |
| 9 | 25 | 24 | 22 | 19 | 15 | 10 | 4 | 27 | 19 | 10 | |
1. Вырождение транспортной задачи и способы его преодоления.
2. Геометрическая интерпретация и графический метод решения задач линейного программирования. Достоинства и недостатки метода
3. Графический метод: понятия граничная прямая, полуплоскость и полупространство
4. Понятия: Область решения. Область допустимых решений неравенства. Их определение на графике.
5. Понятия: Область решения Область допустимых решений. системы неравенств Их определение на графике.
6. Способ определения экстремальной точки на области допустимых решений. Решение задачи.
|
|
|
7. Алгоритм графического метода решения задач линейного программирования
8. Распределительные задачи, Определение и примеры.
9. Постановка и экономико-математическая модель транспортной задачи.
10. Условие разрешимости распределительных задач. Открытая и закрытая модели транспортной задачи, их особенности. Фиктивный поставщик (потребитель), его запас (спрос), тарифы фиктивного поставщика (потребителя).
11. Матрица планирования перевозок. Размещение в матрице условий задачи
12. Способы построения исходных опорных планов транспортной задачи. Общий алгоритм.
13. Алгоритм построения улучшенных опорных планов транспортной задачи методом потенциалов.
14. Особенности метода потенциалов при решении задач на минимум и максимум
15. Правила построения цикла перераспределения перевозок,
16. Определение величины перераспределяемого груза
17. Перераспределение объемов перевозок по маршрутам.
18. Общая характеристика симплекс-метода.
19. Приведение задачи линейного программирования к каноническому виду. Экономическое содержание дополнительных переменных.
20. Понятия базисного решения (плана) задачи линейного программирования.
|
|
|
21. Понятия недопустимого базисного решения и допустимого базисного решения (опорного пана) задачи линейного программирования.
22. Понятие оптимального решения (плана). Признаки оптимальности опорного плана при решении задачи симплексным методом на минимум и максимум
23. Двухэтапный алгоритм симплексного метода.
24. Правило выбора разрешающего столбца и разрешающей строки в задачах на минимум и максимум. Экономическое содержание этих действий.
25. Форма и содержание полной симплексной таблицы. Заполнение первой симплексной таблицы.
26. Расчет коэффициентов индексной строки первой симплексной таблицы
27. Действия симплексного метода в исходной симплексной таблице.
28. Последовательность и заполнения новой таблицы и расчета новых значений элементов в полных симплексных таблицах
29.Анализ решения по последней симплексной таблице. Значения переменных. Двойственные оценки. Коэффициенты замещения.
30. Двойственные оценки (объективно обусловленные оценки) и их использование при анализе и корректировке оптимального решения. Место двойственных оценок в симплексной таблице.
ЗАДАНИЕ 2 .
На основе приведенных данных сформулировать постановку задачи и определить оптимальный план распределения посевов нескольких сортов озимой пшеницы по участкам земли различного плодородия.
|
|
|
В сельскохозяйственной организации имеется четыре участка земли с различным уровнем плодородия (например, это могут быть предшественники).
Площади участков земли с различным уровнем плодородия, га.
| Варианты | Участки | ||||
| №1 | №2 | №3 | №4 | ||
| 0 | 750 | 560 | 890 | 500 | |
| 1 | 940 | 550 | 710 | 500 | |
| 2 | 730 | 540 | 740 | 500 | |
| 3 | 1100 | 530 | 570 | 500 | |
| 4 | 850 | 620 | 630 | 500 | |
| 5 | 910 | 510 | 780 | 500 | |
| 6 | 680 | 700 | 770 | 500 | |
| 7 | 870 | 490 | 740 | 500 | |
| 8 | 890 | 480 | 780 | 500 | |
| 9 | 1040 | 450 | 710 | 500 | |
Для посева могут использоваться следующие сорта озимой пшеницы: Купава, Дея, Полтавчанка, Победа 50.
Запасы семян позволяют иметь следующие возможные площади посева каждого сорта (таблица 2).
| Варианты | Сорта | ||||||||
| Купава | Дея | Полтавчанка | Победа 50 | ||||||
| 0 | 500 | 930 | 500 | 920 | |||||
| 1 | 500 | 1050 | 400 | 900 | |||||
| 2 | 500 | 950 | 450 | 950 | |||||
| 3 | 500 | 850 | 500 | 1000 | |||||
| 4 | 500 | 750 | 550 | 1050 | |||||
| 5 | 500 | 650 | 600 | 1100 | |||||
| 6 | 500 | 750 | 850 | 750 | |||||
| 7 | 500 | 680 | 1000 | 670 | |||||
| 8 | 500 | 650 | 950 | 750 | |||||
| 9 | 500 | 700 | 800 | 850 | |||||
|
|
|
| Урожайность каждого сорта по участкам приведена в таблице. | |
| Участки | Сорта | ||||||||
|
| Купава | Дея | Полтавчанка | Победа 50 | |||||
| №1 |
| 55 | 67 | 68 | 55 | ||||
| №2 |
| 60 | 48 | 70 | 56 | ||||
| №3 |
| 50 | 66 | 68 | 58 | ||||
| №4 |
| 65 | 52 | 66 | 60 | ||||
Необходимо составить план размещения сортов пшеницы по участкам обеспечивающий максимальный валовой сбор зерна.
МЕТОДИЧЕСКИЕ СОВЕТЫ И СХЕМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
(исходные данные соответствуют варианту №10)
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ .
В сельскохозяйственной организации имеется четыре участка земли с различным уровнем плодородия. Площади участков составляют соответственно 1000, 500, 650 и 500 га.
Для посева могут использоваться семена следующих сортов озимой пшеницы Купава, Дея, Полтавчанка, Победа 50.
Запасы семян позволяют высеять сорт Купава на площади 500 га, сорт Дея на площади 700 га, сорт Полтавчанка на площади 850 га, сорт Победа 50 на площади 800га.
Урожайность каждого сорта по участкам приведена в таблице.
Урожайность сортов пшеницы по участкам ц./га.
| Участки | Сорта | ||||
| Купава | Дея | Полтавчанка | Победа 50 | ||
| №1 | 55 | 67 | 68 | 55 | |
| №2 | 60 | 48 | 70 | 56 | |
| №3 | 50 | 66 | 68 | 58 | |
| №4 | 65 | 52 | 66 | 60 |
Необходимо составить план размещения сортов пшеницы по участкам обеспечивающий максимальный валовой сбор зерна.
ПОСТРОЕНИЕ ПЕРВОНАЧАЛЬНОГО ОПОРНОГО ПЛАНА
Проверяем условие разрешимости задачи.
Общая площадь участков (поставщики A i):
1000+500+650 + 500 = 2650 га.
Общая площадь посевов (потребители B j):
500+700+850+800 = 2850 га.
Запасы не равны потребностям –задача открытая.
Для решения открытой задачи её необходимо привести к закрытому виду.
Так площади участков меньше возможной площади посевов, то вводим фиктивный участок (обозначим его условно A5) площадь, которого равна разности между потребностями и запасами 2850-2650 = 200. Урожайность сортов на фиктивном участке принимаем равной нулям. Запасы стали равны потребностям – задача закрытая и разрешима.
Переносим условия задачи в матрицу планирования.
Таблица 3.5
| Сорта | B 1 | В2 . | B 3 | B 4 | ||||
| Уч | b j | Запасы | Остатки | |||||
| аст | u i | v 1 = | v 2 = | v 3 = | v 4 = | |||
| ки | ||||||||
| u 1 = | 55 | 67 | 68 | 55 | ||||
| A 1 | - | 650 | 350 | - | 1000 | 650, 0 | ||
| 0 | ||||||||
| 60 | 48 | 70 | 56 | |||||
| A 2 | u 2= | - | - | 500 | - | 500 | 0 | |
| 50 | 66 | 68 | 58 | |||||
| A 3 | u 3= | - | 50 | - | 600 | 650 | 600, 0 | |
| 65 | 52 | 66 | 60 | |||||
| A 4 | u 4 = | 500 | - | 0 | - | 500 | 0 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | |||||
| A 5 | u 5= | - | - | - | 200 | 200 | 0 | |
| Потреб- | 500 | 700 | 850 | 800 | 2850 | |||
| ности | ||||||||
| Остатки | 0 | 50 | 350 | 200 | 2850 | |||
| 0 | 0 | 0 | ||||||
Первоначальный (исходный) опорный план составим способом наилучшего тарифа. Так как задача на максимум то наилучшим будет наибольший тариф.
Наибольший тариф 70 имеет клетка A 2 B 3 . Сравниваем для неё запасы и потребности.
На участке A 2 можем разместить (500, 850) – 500 га сорта B 3. Площадь участка A 2 использована полностью, оставшиеся клетки в строке исключаем. Неразмещенными остались
350 га сорта B 3.
Из оставшихся клеток наибольший тариф 68 имеют клетки A 1 B 3 и A 3 B 3 ,Для заполнения возьмем клетку A 1 B 3, На участке A 1 можем разместить (350, 1000) – 350 га. сорта B 3.
Площадь сорта B 3 использована полностью, оставшиеся клетки в столбце исключаем. На участке A 1 остались свободными
650 га.
Из оставшихся клеток наибольший тариф 67 имеет клетка A 1 B 2 . На участке A 1 можем разместить (650, 700) – 650 га. сорта B 2 . .Площадь участка A 1 использована полностью, оставшиеся клетки в строке исключаем. У сорта B 2 остались неразмещенными 50 га.
Из оставшихся клеток наибольший тариф 66 имеет клетка A 3 B 2, На участке A 3 можем разместить (50, 650) 50 га. сорта B 2 . Площадь сорта B 2 размещена полностью, оставшиеся клетки в столбце исключаем. На участке A 3 остались свободными 600 га.
Из оставшихся клеток наибольший тариф 65 имеет клетка A4B1, На участке A4 можем разместить (500, 500) 500 га. сорта B1 Площадь участка A4 использована полностью, оставшиеся клетки в столбце исключаем. Площадь сорта B1 размещена полностью, оставшиеся клетки в строке исключаем.
Из оставшихся клеток наибольший тариф 58 имеет клетка A3B4 ,На участке A3 можем разместить (800, 600) 600 га. сорта B4.. Площадь участка A3 использована полностью, оставшиеся клетки в строке исключаем. У сорта B4 остались неразмещенными 200 га
Не размещенные 200 га сорта B4 размещаем на оставшейся свободной площади 200 га участка A5.
Исходный опорный план размещения сортов по участкам составлен.
| x12 | = 650 | x13 | = 350 | x23 | = 500 |
| x32 | = 50 | x34 | = 600 | x41 | = 500 |
| x54 | = 200 |
Валовое производство зерна по этому плану составит: 650*67+350*68+500*70 + +50*66+600*58+500*65 +200*0 = 172950 ц.
Так как число занятых леток 7 а необходимо m+n-1=5+4-1=8 ,то план вырожденный.
ПОСТРОЕНИЕ УЛУЧШЕННЫХ ОПОРНЫХ ПЛАНОВ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛОВ ДО ПОЛУЧЕНИЯ
ОПТИМАЛЬНОГО ВАРИАНТА
3.1.-3,2 Построение системы потенциалов и проверка плана на оптимальность.
Расчеты приводятся полностью в контрольной работе их можно выполнять непосредственно в матрице планирования (табл. 3.6).
| Таблица 3.6 |
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||
| Сорта | B 1 |
| В2 . |
| B 3 | B 4 | Запа- | ||||||||||||||||||
| Уча | b j |
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||
| v 1 = 67 | v 2 = 67 | v 3 = 68 | v 4 = 59 | сы | |||||||||||||||||||||
| стки | u i | ||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||
|
| 55 |
| 67 |
| 68 | 55 |
| ||||||||||||||||||
| A 1 | u 1 = 0 | > |
| 650 |
| 350 | > |
| 1000 | ||||||||||||||||
|
| - |
|
| + |
|
| |||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||
|
| 60 |
| 48 |
| 70 | 56 |
| ||||||||||||||||||
| A 2 | u 2= 2 | > | > |
|
| 500 | > |
| 500 | ||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||
|
| 50 | + | 66 |
| 68 | - | 58 |
| |||||||||||||||||
| A 3 | u 3= -1 | > |
| 50 | -1 |
| 600 | 650 | |||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||
|
| 65 |
| 52 |
| 66 | 60 |
| ||||||||||||||||||
| A 4 | u 4 = -2 | 500 | > |
| - | 0 | + | 500 | |||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| -3 |
| |||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||
|
| 0 |
| 0 |
| 0 | 0 |
| ||||||||||||||||||
| A 5 | u 5= -59 | > | > |
| > |
| 200 | 200 | |||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||
| Потребности | 500 |
| 700 |
| 850 | 800 | 2850 | ||||||||||||||||||
| Пусть u1 = 0 |
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||
| Далее находим занятую клетку с известным потенциалом и определяем неизвестный потенциал | |||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||
| Занятые клетки с | Расчет неизвестного потенциала | ||||||||||||||||||||||||
| одним известным |
| ||||||||||||||||||||||||
| потенциалом |
| ||||||||||||||||||||||||
| A 1 B 2 | v 2 = 67 – 0 = 67 | ||||||||||||||||||||||||
| A 1 B 3 | v 3 = 68 – 0 =68 | ||||||||||||||||||||||||
| A 2 B 3 | u 2 = 70 – 68 = 2 | ||||||||||||||||||||||||
| A 3 B 2 | u 3 = 66 – 67 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
| A 3 B 4 | v 4 = 58- (–1) = 59 | ||||||||||||||||||||||||
| A 5 B 4 | u 5 = 0 – 59 = -59 | ||||||||||||||||||||||||
Процесс расчета потенциалов прервался из-за вырожденности плана.
Для преодоления вырождения необходимо вписать “0”
в свободные клетки столбца B1 или строки A4 для которых определение потенциалов без преодоления вырождения невозможно. Ноль можно вписать в любую из названных клеток.
Поступим следующим образом. Из свободных клеток строки A4 и столбца B1 выберем клетку A4B3 с наибольшим тарифом и
вписываем в нее “0”.
Для преодоления вырождения вписываем ноль в клетку A4B3 и продолжаем расчет потенциалов.
| A 4 B 3 | v 4 = 66 – 68 =-2 |
| A 4 B 1 | u 2 = 65 –(- 2) =67 |
Так как задача на максимум проверяем условие оптимальности исходя из условия
UI + VJ≥ CIJ
Характеристики (двойственные оценки) клеток определяем так
βij = (ui + vj ) – cij ≥ 0
Если сумма потенциалов больше тарифа, что соответ-ствует условию оптимальности, то в левом нижнем углу клетки делаем соответствующую отметку, проставляя знак “>”. Если сумма потенциалов меньше тарифа, то в левом нижнем углу клетки записываем двойственную оценку.
| Свободная клетка | Расчет двойственной | Отметка в клетке |
| оценки | ||
| A 1 B 1 | 0+67-55 = 12 | β > 0 |
| A 1 B 4 | 0+59-55 = 4 | β > 0 |
| A 2 B 1 | 2+67-60 = 8 | β > 0 |
| A 2 B 2 | 2+67-48 = 21 | β > 0 |
| A 2 B 4 | 2+59-56 = 5 | β > 0 |
| A 3 B 1 | -1+67-50 = 16 | β > 0 |
| A 3 B 3 | -1+68-68 = -1 | β = -1 |
| A 4 B 2 | -2+67-52 = 13 | β > 0 |
| A 4 B 4 | -2+59-60 = -3 | β = -3 |
| A 5 B 1 | -59+67-0 = 8 | β > 0 |
| A 5 B 2 | -59+67 -0 = 8 | β > 0 |
| A 5 B 3 | -59+68-0 = 9 | β > 0 |
Условие оптимальности не выполняется для клеток A3B3 и A4B4.Наибольшее отклонение в клетке A4B4.Ставим в ней знак“+” и строим для нее цикл перераспределения (табл. 3.6).
Новую перевозку переставляем в клетку A4B4.
Новый план записываем в таблицу 3.6 и повторяем для нее расчет потенциалов и проверку плана на оптимальность.
| Таблица 3.6 | |||||||
| Сорта | B 1 | В2 . | B 3 | B 4 | Запа- | ||
| Участ- | b j | ||||||
| v 1 = 64 | v 2 = 67 | v 3 = 68 | v 4 = 59 | сы | |||
| ки | u i | ||||||
| 55 | 67 | 68 | 55 | ||||
| A 1 | u 1 = 0 | 650 | 350 | 1000 | |||
| > | + | ─ | > | ||||
| 60 | 48 | 70 | 56 | ||||
| A 2 | u 2= 2 | 500 | 500 | ||||
| > | > | > | |||||
| 50 | 66 | 68 | 58 | ||||
| 50 | 600 | ||||||
| A 3 | u 3= -1 | + | 650 | ||||
| > | ─ | ||||||
| -1 | |||||||
| 65 | 52 | 66 | 60 | ||||
| A 4 | u 4 = 1 | 500 | 0 | 500 | |||
| > | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | ||||
| A 5 | u 5= -59 | 200 | 200 | ||||
| > | > | > | |||||
| Потребности | 500 | 700 | 850 | 800 | 2850 | ||
| В таблице 3 план неоптимальный в клетке A 3 B 3. Выпол- | |||||||
| няем действия по построению цикла, определению ВП, пере- | |||||||
| распределению посевов. | |||||||
| ВП = 50. В клетку A 3 B 3 записываем 50. Клетка A 3 B 2 ста- | ||
| новится незанятой. В клетке A 1 B 2 перевозка станет равной 700 | ||
| (650+50). В клетке A 1 B 3 перевозка станет равной 300 (350-50). | ||
| Новый план записываем в таблицу 3.7 и повторяем для | ||
| нее расчет потенциалов и проверку плана на оптимальность. | ||
| Таблица 3.7 | |||||||
| Сорта | B 1 | В2 . | B 3 | B 4 | Запасы | ||
| Уча- | b j | v 1 = 63v 2 = 67 | v 3 = 68 | v 4 = 58 | |||
| стки | u i | ||||||
| u 1 = | 55 | 67 | 68 | 55 | |||
| A 1 | 700 | 300 | 1000 | ||||
| 0 | > | > | |||||
| 60 | 48 | 70 | 56 | ||||
| A 2 | u 2= 2 | 500 | 500 | ||||
| > | > | > | |||||
| 50 | 66 | 68 | 58 | ||||
| A 3 | u 3= 0 | > | 50 | 600 | 650 | ||
| 65 | 52 | 66 | 60 | ||||
| A 4 | u 4 = 2 | 500 | 0 | 500 | |||
| > | > | ||||||
| u 5= - | 0 | 0 | 0 | 0 | |||
| A 5 | 200 | 200 | |||||
| 58 | |||||||
| > | > | > | |||||
| Потребности | 500 | 700 | 850 | 800 | 2850 | ||
| Так как положительных двойственных оценок в табли- | |||||||
| це 3.7 нет, то план оптимален и решение окончено. | |||||||
Ответ
На участке №1 700 га необходимо использовать для посева сорта Дея и 300 га для посева сорта Полтавчанка. Площадь участка 1000 га используется полностью.
На участке № 2 500 га необходимо использовать для посева сорта Полтавчанка. Площадь участка 500 га используется полностью.
На участке № 3 50 га необходимо использовать для посева сорта Полтавчанка и 600 га для посева сорта Победа 50. Площадь участка 650 га используется полностью.
На участке № 4 500 га необходимо использовать для по-сева сорта Купава. Площадь участка 500 га используется полностью.
500 га сорта Купава высевается на участке № 4. Возможная площадь посева 500 га используется полностью.
700 га сорта Дея высевается на участке № 1. Возможная площадь посева 700 га используется полностью.
300 га сорта Полтавчанка высеваются на участке №1, 500 га на участке № 2 и 50га на участке № 3. Возможная площадь посева 850 га используется полностью.
600 га сорта Победа50 высевается на участке №3. Возможная площадь посева недоиспользуется на 200 га, так как попадает на площадь фиктивного участка.
Максимальный валовой сбор зерна составит 700*67 + 300*68 ++500*70 + 50*68 + 600*58 + 500*68 + 200*0 = 173500 ц. Распределения посевов обеспечивающего больший валовой сбор зерна не существует.
Альтернативного плана с таким же валовым производством зерна построить нельзя, так как в оптимальном плане клетки, для которых сумма потенциалов равна тарифу, отсутствуют.
Рекомендуемая литература
Основная литература:
| 1. Грачева М.В. Моделирование экономических процессов [Электронный ресурс]: учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления/ Грачева М.В., Черемных Ю.Н., Туманова Е.А.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2015.— 543 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/52067.— ЭБС «IPRbooks», по паролю 2. Исследование операций в экономике : учеб. пособие для студ. вузов / Финансовый университет при Правительстве РФ ; ред. Н. Ш. Кремер. - 3-е изд., перераб. и доп. - М. : Юрайт, 2013. - 438 с. - (Бакалавр. Углубленный курс). 3. Исследование операций в экономике : учебник для акад. бакалавриата / Финансовый университет при Правительстве РФ ; ред. Н. Ш. Кремер. - 3-е изд., перераб. и доп. - М. : Юрайт, 2014. - 438 с. - (Бакалавр. Академический курс) 4. Красс М.С. Математика в экономике: математические методы и модели : учебник для бакалавров / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов ; ред. М. С. Красс ; Финансовый университет при Правительстве РФ. - 2-е изд., испр. и доп. - М. : Юрайт, 2013. - 541 с. - (Бакалавр. Базовый курс 5. Лубенец Ю.В. Экономико-математические методы и модели [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Лубенец Ю.В.— Электрон. текстовые данные.— Липецк: Липецкий государственный технический университет, ЭБС АСВ, 2013.— 64 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/55180.html.— ЭБС «IPRbooks» 6. Математическое моделирование экономических процессов [Электронный ресурс]: учебное пособие/ А.В. Аксянова [и др.].— Электрон. текстовые данные.— Казань: Казанский национальный исследовательский технологический университет, 2016.— 92 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/62188.html.— ЭБС «IPRbooks» |
Дополнительная литература:
1. Алексеенко В.Б. Математические модели в экономике [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Алексеенко В.Б., Коршунов Ю.С., Красавина В.А.— Электрон. текстовые данные.— М.: Российский университет дружбы народов, 2013.— 80 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/22160.html.— ЭБС «IPRbooks»
2. Лазарева Е.И. Методы моделирования инновационно-ориентированных экономических стратегий экологоустойчивого развития [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Лазарева Е.И.— Электрон. текстовые данные.— Ростов-на-Дону: Южный федеральный университет, 2011.— 212 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/47008.html.— ЭБС «IPRbooks»
3. Семенычев В.К. Предложения эконометрического инструментария моделирования и прогнозирования эволюционных процессов : моногр. / В. К. Семенычев, А. А. Коробецкая, В. Н. Кожухова. - Самара : САГМУ, 2015. - 382 с.
4. Семенычев Е.В. Жизненный цикл экономических объектов: методология и инструментарий параметрического моделирования : моногр. / Е. В. Семенычев ; Самарский научный центр Российской академии наук. - Самара : СамНЦ РАН, 2015. - 386 с.
5. Тимофеев В.С. Эконометрика [Электронный ресурс]: учебник/ Тимофеев В.С., Фадеенков А.В., Щеколдин В.Ю.— Электрон. текстовые данные.— Новосибирск: Новосибирский государственный технический университет, 2013.— 338 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/47703.— ЭБС «IPRbooks», по паролю
6. Эконометрика : учебник для магистров / Санкт-Петербургский государственный экономический университет ; ред. И. И. Елисеева. - М. : Юрайт, 2014. - 449 с. - (Магистр)
Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 417; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!