Связь между решениями неоднородной СЛУ и

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Решениями ассоциированной с ней однородной СЛУ

Пусть дана НСЛУ

Тогда система

называется ассоциированной с системой однородной системы линейных уравнений (ОСЛУ).

Обозначим через множество всех решений ОСЛУ , а через - некоторое решение НСЛУ .

Рассмотрим следующую сумму , где (пробегает все ).

Теорема 1. Если решение НСЛУ сложить с решением ОСЛУ , то получится решение системы .

Доказательство. Пусть вектор - решение НСЛУ , а вектор - решение ОСЛУ Значит,

, ,

, .

Складывая и почленно, мы получим:

Из следует: вектор является решением системы . Теорема доказана.

Теорема 2. Разность разных двух решений НСЛУ является решением ассоциированной с ней ОСЛУ .

Доказательство. Пусть и - есть решение НСЛУ . Тогда

, ,

, .

Вычитая из выражение , получим:

, .

Из имеем - решение ОСЛУ . Теорема доказана.

Теорема 3. Если вектор - решение НСЛУ , а - множество всех решений ОСЛУ , то - множество всех решений НСЛУ .

Следствие 1. Совместная НСЛУ имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ассоциированная с ней ОСЛУ имеет единственное (нулевое) решение.

Следствие 2. Если две НСЛУ с неизвестными совместны и равносильны, то ассоциированные с ними ОСЛУ равносильны.

Правило решения произвольной системы линейных уравнений

1. Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если , то система несовместна.

2. Если , система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка (напоминание: минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным). Взять уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений.

3. Найти выражения главных неизвестных через свободные. Получено общее решение системы.

4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом, можно найти частные решения исходной системы уравнений.

Пример. Исследовать на совместность систему