Погрешности косвенных измерений

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

На практике часто возникают ситуации, когда интересующую величину непосредственно измерить невозможно - ее значение получается в результате математических действий над параметрами, где некоторые из них получены в результате измерений, т.е. с ошибками - это так называемые косвенные измерения. Возникает вопрос определения ошибок в таких случаях. Примером косвенных измерений может служить определение объема прямоугольного параллелепипеда измерением его длины , ширины и высоты с соответственными ошибками и , т.е. нахождения выражения

(1.10)

где , - некоторые зависимости от средних значений и ошибок параметров, полученных в результате прямых измерений и обработанных по методике, изложенной в предыдущем разделе.

Рассмотрим задачу в общем виде. Пусть интересующая нас величина связана с измеренными параметрами зависимостью

(1.11)

а они определены своими средними значениями с соответствующими ошибками . Найдем выражения для и . Предположим, что среднеквадратические отклонения каждого параметра много меньше их средних значений.

Можно считать, что является случайной величиной, так как она является функцией случайных параметров , представляющих себой функции детерминированных слагаемых - средних значений каждого и случайных - ошибок измерений , (значком ~ будем помечать случайные величины) - отклонений от этих средних значений, т.е.

(1.12)

где , при этом и . ( -символ усреднения , где число случайных элементов). Воспользуемся малостью этих величин и разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности ,

(1.13)

Найдем среднее значение (учитывая, что )

(1.14)

и среднеквадратическую ошибку

(1.15)

Выражение представляет собой так называемую корреляцию событий и, в случае независимых событий, в нашем случае независимых измерений, оно равно нулю, что существенно упрощает формулу. Вообще говоря, в некоторых случаях, измерения могут оказаться коррелированными, это обычно является предметом достаточно сложных исследований.

Приведем выражения для некоторых, наиболее часто встречающихся на практике, зависимостей измеряемой величины от параметров.

1. Линейная функция.

(1.16)

Тогда

,	(1.17)
.	(1.18)

В частности, если

(1.19)

то

;

(1.20)

здесь важно отметить, что всегда является положительной величиной.

2. Мультипликативно - степенная функция

(1.21)

В этом случае

(1.22)

Для нахождения же удобно воспользоваться логарифмической производной. Действительно, из логарифма ,

(1.23)

по методике, такой же, как для линейной функции, получается аналогичное выражение, но только для относительной ошибки , т.к.

(1.24)

где - относительные ошибки. Переходя к абсолютным, получим

(1.25)

Заметим, что показатели степеней входят в эту формулу в виде квадратов их значений, т.е. в случае дробного выражения параметры, находящиеся или в числителе или в знаменателе, войдут в это выражение одинаковым образом. В частности, для произведения и для частного выражения для среднеквадратической ошибки будут иметь одинаковый вид

(1.26)

Наконец, решим поставленную в начале раздела, задачу об определения объема. Согласно изложенному

(1.27)

Свойства глаза

Точность оптических измерений во многом зависит от чувствительности приборов, с помощью которых осуществляется контроль. Ее степень определяется свойствами света, способом регистрации изучаемых объектов и свойствами самого оптического прибора. Существуют два основных класса оптических измерений - автоматические и визуальные. К автоматическим, относятся методы, в которых результат измерения получается в виде какого-то сигнала и, как правило, без участия оператора. К ним относятся фотоэлектрические, телевизионные, фотографические, болометрические и многие другие. Разработка таких методов в настоящее время является одной из наиболее актуальных задач оптического приборостроения. В визуальных методах результат измерения регистрирует оператор, используя в качестве “приемного устройства” собственные глаза.

Совершенно ясно, что, несмотря на бурное развитие автоматических методов оптических измерений, всегда будут существовать ситуации, когда человека - оператора будет невозможно заменить каким либо устройством или это будет нецелесообразно. Кроме того, что при визуальных методах, что при автоматических - оптические части приборов во многом аналогичны, поскольку в последних, считывающее устройство фактически играет роль искусственного глаза. Именно поэтому, в дальнейшем мы будем рассматривать лишь визуальные методы оптических измерений. В этом случае глаз нужно считать частью оптического прибора. Рассмотрим некоторые его основные свойства и параметры.

Способность глаза рассматривать предметы на разных расстояниях называется аккомодацией. Происходящее при этом изменение формы хрусталика и, вследствие этого, изменения фокусного расстояния глаза обеспечивает получение резкого изображения на сетчатке. Предел аккомодации от дальней до ближайшей точки ясного видения определяет ширину аккомодации. Для нормального глаза ширина аккомодации простирается от бесконечности до ближней точки видения, расположенной на расстоянии 250 мм, или от 0 до 4 дптр. Расстояние в 250 мм считается наиболее удобным для рассматривания предметов и условно называется расстоянием наилучшего видения.

Рис. 1.2

Глаз, подобно любому оптическому прибору, имеет также глубину резкого изображения, или так называемую остроту аккомодации.Предмет, находящийся от глаза на расстоянии резко видит на отрезке или в диоптриях (рис. 1.2). При диаметре зрачка глаза Æ2 мм острота аккомодации составляет 0.3 дптр. и ограничивается остротой зрения, т.е. кружком наименьшего рассеяния. Приближенная формула для определения глубины резкого изображения (в диоптриях)

(1.28)

где - разрешающая сила глаза в угловой мере ( ), - радиус зрачка 1 мм, Д – расстояние до предмета в диоптриях.

Способность глаза приспосабливаться к различным условиям освещенности называется адаптацией. Механизм адаптации основан как на изменении диаметра глаза (от 1,5 до 8 мм), так и на восстановлении или разложении зрительного пурпура в сетчатке глаза. Время адаптации глаза зависит и от того, какие механизмы превалируют и от направления (из темноты на свет или наоборот) и составляют от долей секунды при адаптации к яркому свету до десятков минут при адаптации к низким уровням освещенности.

Разрешающей силой глаза или остротой зрения называется минимальный угол, при котором два близко расположенных объекта, например, параллельные штрихи, различаются раздельно. Разрешающая сила глаза зависит от диаметра зрачка, от освещенности, контраста и формы предмета. В случае точечного объекта при нормальных условиях наблюдения разрешающая сила глаза с Æ 2 мм примерно равна . Для расстояния наилучшего зрения 250 мм это соответствует отрезку в 0,0727 мм или, примерно 0,1 мм.

С увеличением или уменьшением диаметра зрачка, разрешающая сила глаза падает

- при уменьшении диаметра зрачка менее 2 мм из-за дифракционных явлений;

- при диаметре свыше 2 мм за счет сильного влияния сферической и хроматический аберраций, рассеяния света в средах глаза, а при минимальных уровнях освещенности из-за перехода на так называемое темновое зрение, когда в процессе восприятия действуют только палочки сетчатки, которые расположены на большом расстоянии друг от друга.

Вследствие этого освещение рассматриваемых предметов при выполнении измерений должно быть в пределах 50 250 люкс.

Контрастная чувствительность среднестатистического глаза находится в диапазоне 1 2% , т.е. визуально можно заметить различие в яркости двух соседних полей или отличие предмета от фона при разнице в яркости не менее 1% .

Особым случаем разрешающей силы глаза является рассматривание одиночных предметов - при этом острота зрения увеличивается в несколько раз. Например, темная нить на светлом фоне видна при угловых размерах 2” 2”,5.

В практике оптических измерений приходится иметь дело, в основном, со штрихованными шкалами, с помощью которых производится оценка точности наведения на контролируемый объект. Точность наведения или иначе точность поперечнойустановки невооруженным глазом зависит главным образом от формы шкалы и контролируемого объекта. Существует несколько способов наведения (рис. 1.3)

1. Путем совмещения креста нитей с краем широкого штриха (а), или полуплоскости (б) или темного диска (в). Ошибки наведения

2. Нониусные установки (г). Ошибки наведения .

3. Биссектрирование (д, е, ж). Ошибки наведения . Соотношение ширины штриха и расстояние между нитями биссектора должно быть в пределах .

Важной особенностью глаза является возможность оценки долей интервала. При благоприятных условиях, когда угловое расстояние интервала составляет , или для расстояния наилучшего видения - мм, наблюдатель может оценить долю интервала с точностью .

Свойства оптических приборов

Высокая точность визуальных измерений обеспечивается применением контрольно-измерительных приборов - зрительных труб и микроскопов. Оптические измерения в подавляющем большинстве (кроме визуального фотометрирования и поляриметрирования - сравнения яркостей и окраски предмета и эталона) сводятся к поперечным и продольным наведением сетки нитей на шкалу, марку или объект и снятия отсчетов со шкал. (Правда в некоторых случаях процесс наведения может происходить и без зрительного участия оператора - например, измерение толщин на длиномере или стрелок прогиба на сферометре). Каждое наведение неизбежно сопровождается ошибками поперечной и продольных установок, величины которых зависят от дифракции света, остаточных аберраций, рассеянием света в приборах, снижающих контраст изображения и т.п.

Влияние аберраций, рассеяния света и других недостатков можно конструктивно уменьшить в принципе в любое число раз при разработке все новых и новых модификаций, однако дифракционные ограничения разрешающей способности преодолеть нельзя.

Разрешающая способность зрительной трубы, как следует из теории дифракции света, определяется выражением

(1.29)

где - диаметр входного зрачка зрительной трубы в миллиметрах, а для микроскопа в линейной мере

(1.30)

где - длина волны излучения, - апертурный угол в радианах. Тогда точность поперечных установок зрительной трубы

(1.31)

где - разрешающая способность зрительной трубы, - коэффициент, показывающий во сколько раз ошибка наведения, связанная с формой шкалы и объекта, меньше разрешающей способности глаза

(1.32)

Для микроскопа точность поперечных установок в линейной мере

(1.33)

При использовании автоколлимационных зрительных труб или микроскопов точность поперечных установок повышается в два раза, т.е. и .

Часто микроскоп фокусируется на изображение объектива, построенное другой оптической системой. При этом наиболее высокая точность установки может быть получена при условии, что апертура микроскопа равна или несколько превышает апертуру испытуемого объектива.

В случае отсутствия сетки (марки) в фокальной плоскости окуляра фокусировка оптического прибора становится неопределенной. Для нормального глаза с шириной аккомодации 4 дптр. диапазон резкого видения между объективом и окуляром представляется выражением

[мм].

(1.34)

У прибора с мм диапазон резкого видения мм.

При наличии сетки точность продольной установки, как зрительной трубы, так и микроскопа

[мкм]

(1.35)

и зависит от длины волны света и апертурного угла . При мкм

[мкм].

(1.36)

К оптическим приборам, применяемым в измерительных целях, предъявляются повышенные требования к качеству изображения, поэтому апертура их объективов должна быть небольшой. Так у зрительных труб апертура в большинстве случаев составляет от 0,06 до 0,03 и у микроскопов . Для трубы с относительным отверстием при мкм точность фокусировки мм, а для микроскопа с А=0,2 мм мм. Полученные значения показывают, что отсчетные шкалы выдвижки трубы и тубуса микроскопа должны иметь точности не выше 0,05 мм и 0,003 мм соответственно, а при меньших апертурах - более грубые.

Фокусировка оптических приборов на изображение объекта на практике осуществляется либо путем получения одновременной резкости сетки изображения, либо способом параллакса. Первый способ применяется при выходных зрачках не более 1 мм. Второй - при больших диаметрах. Наличие параллакса затрудняет наводку прибора и снижает точность измерения.

Явление параллакса может возникнуть и при совмещенной плоскости изображения, построенного объективом с фокальной плоскостью окуляра, если сетка нити смещена вперед или назад. Параллакс может быть и следствием остаточных аберраций оптических систем и тогда он не устраним, но может быть “усреднен“. Параллакс прибора выражается в линейной и угловой мере или в диоптриях. Наибольшая величина параллакса , незаметная для подвижного глаза

(1.36)

где - фокусное расстояние окуляра, - разрешающая способность глаза в угловых минутах, - радиус выходного зрачка в мм. При мм и мм - мм.

Наиболее выгодным размером выходного зрачка измерительного прибора, при условии достаточной яркости объекта, является Æ мм - работа с прибором менее утомительна, существенно уменьшается параллакс. Желательно, чтобы выходной зрачок измерительного прибора был меньше зрачка глаза.

* Вообще говоря, могут, но вероятность такого события пренебрежимо мала.

Дата добавления: 2019-02-26; просмотров: 143; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!