Свойства случайных ошибок наблюдений
Nbsp; Министерство образования Российской Федерации
Московский государственный университет
Геодезии и картографии
А.Н. Андреев А.Б. Шерешев
ОПТИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
Учебное пособие для студентов
Факультета оптического приборостроения
Москва 2002
А.Н. Андреев А.Б. Шерешев. Оптические измерения:
Учебное пособие по курсу «Оптические измерения». М.,:Изд. МИИГАиК, 2002 г.
Учебное пособие содержит необходимые сведения по курсу «Оптические измерения».
В пособии рассмотрены основные оптические методы измерений форм и размеров оптических деталей, характеристик оптических материалов и параметров оптических систем. Проведено математическое и физическое обоснование этих методов, обработки результатов измерений. Особое внимание уделено описаниям схем и конструкций оптических контрольно - измерительных приборов. В пособии приведено большое количество графических материалов, иллюстрирующих принципы действия таких приборов.
Учебное пособие предназначено для студентов факультета оптического приборостроения. Оно будет также полезно студентам вечернего факультета и при дипломном проектировании.
Введение
Наблюдения и опыт, с помощью которых познаются явления окружающего мира, позволяют найти между ними закономерные связи. Так как подавляющее большинство из них имеют количественный характер, то основным источником наших знаний, полученных в результате эксперимента, являются измерения. Измерить какую либо величину означает сравнить ее с другой, выбранной в качестве единицы измерения и найти число, показывающее, сколько таких единиц содержится в этой величине. Всякому измерению предшествует выбор метода измерения, что предполагает знание экспериментатором физических и технических основ, как метода измерения, так и исследуемого процесса, поскольку цель и метод должны быть оптимальным образом согласованы. Методами измерения называются способы сравнения двух величин, причем различают:
|
|
|
1. метод непосредственной оценки;
2. дифференциальный (разностный) метод;
3. нулевой метод;
4. метод совпадения.
При использовании метода непосредственной оценки вся измеряемая величина непосредственно оценивается мерами или измерительными приборами, например, при измерении длины масштабной линейкой, угла – на гониометре. Такие методы наиболее распространены в технической практике.
При дифференциальном (разностном) методе измерительными методами непосредственно оценивается разность между измеряемой величиной и известной. Например, при измерении на оптиметре первый отсчет делается, когда на столике установлена концевая мера известной длины L 0, второй отсчет – когда установлена измеряемая деталь размера L и; разность отсчетов даст разность длин l, и размер детали будет равен L и = L 0 + l.
|
|
|
Дифференциальный метод может дать очень высокую точность и требует менее сложной аппаратуры, чем метод непосредственной оценки. Первое преимущество вытекает из того, что при однородных материалах концевой меры и измеряемой детали температурные влияния почти полностью исключаются, второе – из того, что пределы измерения прибора здесь могут быть невелики, составляя лишь малую долю измеряемой величины. Например, если разность между известной и измеряемой величиной составляет 0,1% и оценивается прибором с точностью до 1%, то точность измерения искомой величины составит уже 0,001%.
При нулевом методе измеряемая величина компенсируется (уравновешивается) известной величиной так, чтобы в результате совместного действия они не оказывали влияния на индикаторы (указатели) измерительных приборов. Такие методы принадлежат к числу очень точных вследствие большой чувствительности, с которой глаз (или иное устройство) фиксирует приведение показаний приборов к нулевому или первоначальному состоянию. Если к тому же компенсация измеряемой величины производится однородной известной величиной, то влияние окружающей среды (температура, давление и т.п.) становятся ничтожными. Нулевой метод превращается в дифференциальный, если компенсация не доводится до нуля и оценивается разность, получающаяся между сравниваемыми величинами. При самых точных измерениях обычно пользуются этим последним приемом. В настоящее время наблюдается тенденция перехода к нулевому методу измерения – появляются компенсационные рефрактометры, компенсационные методы измерения аберраций и т.д.
|
|
|
Примерами нулевых методов являются, например, метод мостов, который применяется при электрических измерениях, так называемый метод нейтрализации для определения оптической силы очковых линз с помощью эталонных линз медицинского набора, метод измерения показателей преломления газов и жидкостей на интерферометре Релея и другие.
При методе совпадения ряд равномерно чередующихся отметок или сигналов, соответствующих измеряемой величине, сопоставляется с рядом отметок и сигналов, относящихся к известной величине, и наблюдается их совпадения, на основании которых находится значение измеряемой величины.
|
|
|
Примерами методов совпадения могут служить отсчет нониуса; стробоскопический метод измерения частоты переменного тока или числа оборотов вращающихся тел и другие.
Всякое измерение, результат которого получен с погрешностью не более 0,1% (1/1000 измеряемой величины), часто рекомендуют называть «точным измерением». В соответствии с этим, например измерение метровой линейкой с точностью до одного миллиметра следует считать точным, измерение же тончайшей проволоки с погрешностью в 0,1 мк при диаметре в 10 мк (относительная погрешность1%) нельзя считать точным. Между тем первое измерение выполняется легко и простыми средствами, а второе – более трудно и требует специальных средств. Поэтому предлагалось назвать точным измерением всякое измерение, погрешность результата которого известна. Согласно этому определению результат всякого точного измерения должен обязательно сопровождаться указанием, с какой погрешностью он получен. Погрешность результата выражается обычно однозначным числом, реже двузначным.
В соответствии со сказанным, точным прибором нужно считать всякий измерительный прибор, погрешности которого хорошо изучены и известны.
Требуемая точность измерений обычно вытекает из практической необходимости. Эта точность, наряду с некоторыми другими условиями, определяет выбор метода и аппаратуры для измерений. Нельзя измерять грубее, чем это требуется по характеру работы, но также недопустимо и завышать точность измерения, так как это связано с увеличением затрат времени и средств. Например, шкала штангенциркуля с ценой деления 0,1 мм должна быть аттестована с ценой несколько сотых доле миллиметра, но не до мкм.
Оптические измерения занимают особое место в силу ряда обстоятельств. Прежде всего, из-за того, что в их физической основе лежат свойства света, то эти методы в подавляющем числе случаев наглядны в буквальном смысле этого слова и поэтому легки для восприятия. Кроме того, в случае использования геометрооптического приближения, лучи света ассоциируются с прямыми линиями и построение оптических схем, а также их понимание, достаточно просто осуществляется в рамках обычной геометрии. С помощью таких прямых линий можно строить по аналогии с механикой разного рода механизмы, считать лучи рычагами, а оптические компоненты шарнирами и создавать устройства, свободные от недостатков, присущих механике, таких как люфты, деформации и т.п., что позволяет добиваться очень высоких точностей при измерениях. Если же воспользоваться волновыми свойствами света, то там, в качестве меры выступает длина волны излучения оптического диапазона, равная долям микрона, что так же позволяет получить высокие точности, причем даже без использования высоких технологий, развитых в последнее время. Например, использование пробных стекол для контроля оптических деталей, основанное на использовании интерференции и известное около двухсот лет, без особых усилий позволяет выявить дефекты порядка долей длины волны. Особо следует отметить при этом и очень высокую информативность интерферограмм, поскольку они представляют собой двумерные структуры, а это с использованием современной цифровой техники позволило создать весьма эффективные приборы и устройства.
В настоящем пособии рассматриваются, в основном методы, основанные на законах геометрической оптики и использующие классические оптические приборы – микроскопы, зрительные трубы и их узлы - объективы, окуляры и т.п. В некоторых случаях описываются приборы, использующие физико-оптические явления, такие как дисперсия, поглощение и волновые свойства света.
Структурно, пособие состоит из введения, пяти глав и приложения. В первой главе изложены принципы, лежащие в основе оптических измерений. Во второй – методы измерения длин и толщин. В третьей показаны способы определения параметров оптического стекла. В четвертой приведены методы измерений параметров оптических приборов. В пятой – изложен лабораторный практикум по всем вышеизложенным разделам. И, наконец, в приложении, приведены описания основных оптических узлов и деталей и их основные характеристики.
Глава 1
Ошибки измерений
Известно, что измерение какой либо величины является случайным процессом. Это означает, что даже при соблюдении неизменности внешних условий проведении процесса измерения и при использовании оптимальных методов и средств, результаты последовательных измерений одной и той же величины будут отличаться друг от друга. Причина этого носит скорее философский характер и представляет собой одну из реализаций принципа невозможности достичь абсолюта: в данном случае заранее предполагается, что и методы, и средства, и внешние условия меняют свои параметры неконтролируемым образом. Это обстоятельство имеет принципиальный характер - даже если в процессе развития науки и техники будут разработаны новые методы и средства, отмеченный эффект всегда будет иметь место в той или иной степени. Сказанное объясняет причину разброса значений измеряемой величины. Очевидно, что этот разброс представляет собой точность измерений, а некая его оценка определяет ошибку этих измерений. Вопросы точности измерений являются предметам изучения курса “Метрология“ и, в частности, одного из его вариантов “Теория ошибок наблюдения”. Напомним некоторые основные сведения из этой теории.
Под погрешностью измерений понимается разность между измеренным и истинным значением измеряемой величины. В этом определении имеется некоторое противоречие со сказанным выше - понятия “истинное значение” является одним из вариантов абсолюта, однако это определение является скорее термином, правда включающего в себя цель измерений. Под понятием истинного значения понимается то значение, которое известно заранее и получено в результате более точных измерений. Как правило, на практике встречаются ситуации, когда это “истинное значение” неизвестно (в самом деле, если бы было так, то зачем проводить измерения?). Поэтому, основной задачей обработки результатов измерений является получение двух величин, одну из которых можно было бы считать “истинным значением”, а другую - количественной характеристикой этой точности, т.е. ошибкой или погрешностью измерения.
По характеру возникновения погрешности классифицируются следующим образом:
Систематические - появляющиеся всякий раз при повторных измерениях в тех же условиях измерений с одним и тем же законом. Они возникают из-за каких то конструктивных недостатков прибора (неравномерности или погрешности шкалы, не прямолинейности направляющих, эксцентриситета осевой системы и т.п.) - их часто называют инструментальными. Их влияние в принципе может быть выявлено и или исключено соответствующей методикой измерений, или учтено при обработке результатов.
Случайные - подчиняющиеся законам теории вероятности. Для их обработки требуются многократные измерения, что бы набрать некоторую статистику Их источник - нестабильность условий, несовершенство объекта и измерительного устройства и прочие случайные факторы.
Грубые - случайные ошибки, величины которых резко выделяются из общего ряда измерений и явно искажают результаты измерений. Причиной их появления являются сильные и, как правило, непродолжительные изменения условий измерений - скачки напряжения в сети, резкие толчки оснований приборов и т.п. Причиной таких ошибок может также стать невнимательность оператора или его усталость. Грубые ошибки должны быть выявлены и удалены из ряда измеренных величин.
Свойства случайных ошибок наблюдений
Ошибки являются случайными величинами и подчиняются аксиоматике теории вероятностей. Основными их свойствами являются:
1. Случайные ошибки не могут превосходить по абсолютной величине определенного предела* .
2. Положительные и отрицательные значения ошибок равновероятны.
3. Среднее арифметическое значение величин случайных ошибок 
стремится к нулю при неограниченном увеличении их числа, т.е.
| (1.1) |
4. Чем больше по абсолютной величине случайная ошибка, тем меньше вероятность ее появления.
Установлено, что вполне надежный результат дает ряд в 100 измерений. При увеличении числа измерений до бесконечности, распределение значений случайных ошибок согласно теории вероятности становится Гауссовым или нормальным распределением. Однако практика показала, что для получения вполне достоверных результатов достаточно иметь около 10 измерений, а производить их более 
нецелесообразно.
Из теории ошибок следует, что для оценки точности измерений лучшим критерием является средняя квадратическая ошибка, полученная из всей совокупности значений случайных ошибок данного ряда
| (1.2) |
где 
разность между упоминавшимся ранее истинным значением величины 
и ее отдельным измеренным значением 
. За истинное значение принимается наиболее вероятное, которое, как это можно доказать методами теории вероятности, представляет собой среднее арифметическое 
из ряда измерений
 .
| (1.3) |
При таком определении средняя квадратическая ошибка одного измерения будет определяться по несколько измененной формуле (1.4), так называемой формуле Бесселя
 ,
| (1.4) |
где 
.
Для оценки точности результата измерений служит среднеквадратическая ошибка результата измерения 
| . (1.5) |
Иногда удобно выражать погрешность в долях измеряемой величины, вводя так называемую относительную ошибку 
, которую часто записывают в процентах
 .
| (1.6) |
Таким образом, только что веденные величины и 
полностью определяют результат измерения, представляя собой измеряемую величину и ошибку ее определения, соответственно. Результат измерения обычно записывают в виде
 .
| (1.7) |
|
| рис 1.1 |
Покажем, привлекая теорию вероятности, смысл данной записи. Пусть нам примерно известен ожидаемый результат измерений. Возьмем числовую ось, отметим на ней это значение, а также возьмем некоторую окрестность вокруг этой точки. Разобьем эту окрестность на 
малых интервалов, каждый шириной 
, обозначив их границы как 
(рис.1.1). Будем проводить многократные измерения этой величины. Если результат отдельного измерения 
удовлетворяет неравенству 
, то поместим квадрат со стороной на интервал с границами 
. Если в процессе последующих измерений вновь выполнится это неравенство, то поместим такой же квадрат сверху на уже существующий. В результате будет получаться фигура, составленная из заштрихованных квадратов, как показано на рис.1.1. Продолжая такой процесс, в пределе при уменьшении длины интервалов 
и увеличении числа измерений 
получим, что огибающая этой фигуры будет представлять собой некую колоколообразную кривую, называемую функцией Гаусса, аналитическая запись которой имеет вид
 ,
| (1.8) |
где и - определенные выше наиболее вероятное значение измеряемой величины и среднеквадратическая ошибка; 
- несущественная константа, определяющая масштаб по высоте. Эта функция будет получаться при любых сериях измерений при исследовании любых природных процессов. Данный результат является прямым следствием одного из наиболее важного результата теории вероятности - закона больших чисел.
Из построения этой кривой ясно, что площадь под всей кривой пропорциональна числу измерений (каждому измерению соответствовал один квадратик - единица площади). Неравенство
| (1.9) |
представляет собой область, на которой значение функции Гаусса больше чем 
. Действительно, из этого неравенства следует, что 
. Площадь под кривой на этом интервале пропорциональна числу измерений, результаты которых удовлетворяют неравенству (1.9). Таким образом, отношение числа измерений, попавших в интервал 
ко всей серии измерений, пропорционально отношению площадей под кривой на этом интервале к площади под всей кривой. Величина этого отношения хорошо известна (оно может быть получено интегрированием) и составляет 
. Таким образом, смысл выражения (1.7) заключается в том, что при измерениях некоторой величины при одинаковых внешних условиях и данным методом даст такие результаты, что вероятность попадания их величин в интервал составляет 67%. 
Получение значений величин и является целью обработки результатов измерений. Эти вычисления удобно оформить в виде таблицы 1.1.
Таблица 1.1
| № | 
| 
| 
| 
| 
|
 1
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 2 | 
| 
| 
| 
| 
|
| . . . | . . . | . . . | 
| . . . | . . . |
| . . . | . . . | . . . | 
| . . . | . . . |
| 7 | 
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
|
Эта таблица заполняется следующим образом. Последовательные результаты измерений начала 
измеряемой величины и конца 
записываются в двух крайних левых колонках. Затем, в третью колонку записывается абсолютная величина их разности - собственно измеряемая величина 
. С целью исключения грубых ошибок следует убрать максимальное и минимальное значение , причем, если значений 
, существенно отличающихся от основного, ряда будет больше двух, то их также следует удалить, но обязательно сделать недостающие измерения, чтобы иметь достаточную статистку. Из оставшихся находится среднее арифметическое 
. В четвертой колонке вычисляются уклонения 
. Их алгебраическая сумма должна быть равна нулю - это математическое тождество. Однако на практике этого обычно не происходит: из-за ошибок округления эта величина часто немного отлична от нуля, но в любом случае ее значение должно быть много меньше 
. Наконец в пятой колонке вычисляется сумма квадратов уклонений, с помощью которой определяется среднеквадратическая погрешность 
и записывается результат в виде (1.7). Следует отметить, что значение имеет оценочный характер, а поэтому ее надо округлять до первой значащей цифры.
Дата добавления: 2019-02-26; просмотров: 524; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!