Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии.
Если известно, что исследуемая случайная величина Х распределена по нормальному закону с неизвестным средним квадратическим отклонением, то для поиска доверительного интервала для ее математического ожидания построим новую случайную величину
(2) где 
- выборочное среднее, s – исправленное среднее квадратическое отклонение, п – объем выборки. Эта случайная величина, возможные значения которой будем обозначать t, имеет распределение Стьюдента с k = n – 1 степенями свободы, для которого имеются специальные таблицы. (Степень свободы- это общее число наблюдений минус число уравнений, связывающих эти наблюдения). Это распределение не зависит от параметров а и σ .
Используя распределение Стьюдента, можно получить доверительный интервал (- tγ , tγ ), покрывающий параметр а с надежностью γ:
(3)
Пример. Пусть объем выборки п = 25, = 3, s = 1,5. Найдем доверительный интервал для а при γ = 0,99. Из таблицы находим, что tγ (п = 25, γ = 0,99) = 2,797. Тогда 
, или 2,161< a < 3,839 – доверительный интервал, в который попадает а с вероятностью 0,99.
Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения.
Пусть требуется найти для среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины доверительный интервал вида (s – δ, s +δ), где s – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, и для δ должно выполняться условие: p ( |σ – s| < δ ) = γ.
|
|
|
Обозначим 
. Тогда справедлива формула:
. (4)
q можно найти по заданным п и γ по таблицам для распределения «хи-квадрат».
Замечание. Если q > 1, то с учетом условия σ > 0 доверительный интервал для σ будет иметь границы
. (5) Пример. Пусть п = 20, s = 1,3. Найдем доверительный интервал для σ при заданной надежности γ = 0,95. Из соответствующей таблицы находим q (n = 20, γ = 0,95 ) = 0,37. Следовательно, границы доверительного интервала: 1,3(1-0,37) = 0,819 и 1,3(1+0,37) = 1,781. Итак, 0,819 < σ < 1,781 с вероятностью 0,95.
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 138; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!