II Оценка генеральной средней по выборочной средней



Пусть требуется изучить дискретную генеральную совокупность относительно количественного признака Х.

Генеральной средней х называется среднее арифметическое значений признака Х генеральной совокупности.

Далее под запись.

 

Интервальное оценивание неизвестных параметров  ( Точность оценки, доверительная вероятность (надежность), доверительный интервал. Построение доверительных интервалов для оценки математического ожидания нормального распределения при известной и при неизвестной дисперсии. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределени.)

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, что приводит к грубым ошибкам. Поэтому в таком случае лучше пользоваться интервальными оценками, то есть указывать интервал, в который с заданной вероятностью попадает истинное значение оцениваемого параметра. Разумеется, чем меньше длина этого интервала, тем точнее оценка параметра. Поэтому, если для оценки Θ* некоторого параметра Θ справедливо неравенство | Θ* - Θ | < δ, число δ > 0 характеризует точность оценки ( чем меньше δ, тем точнее оценка). Но статистические методы позволяют говорить только о том, что это неравенство выполняется с некоторой вероятностью.

Определение 1. Надежностью (доверительной вероятностью)оценки Θ* параметра Θ называется вероятность γ того, что выполняется неравенство | Θ* - Θ | < δ то есть

γ = p (| Θ* - Θ | < δ) или γ = p ( Θ * - δ < Θ < Θ * + δ ).

Таким образом, γ есть вероятность того,что Θ попадает в интервал ( Θ*- δ, Θ*+ δ).

Определение 2. Доверительным называется интервал, в который попадает неизвестный параметр с заданной надежностью γ.

При нахождении интервальных оценок решаются 3 основные задачи.

1) Дано: точность δ, объем n.

Найти: доверительную вероятность γ.

2) Дано: доверительная вероятность γ, объем n.

Найти: точность δ.

3) Дано: точность δ, доверительная вероятность γ.

Найти: объем n.

 

         

Рассмотрим построение доверительных интервалов для некоторых параметров распределений.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.

Пусть исследуемая случайная величина Х распределена по нормальному закону с известным средним квадратическим σ, и требуется по значению выборочного среднего  оценить ее математическое ожидание а.

Будем рассматривать выборочное среднее  как случайную величину а значения вариант выборки х1, х2,…, хп как одинаково распределенные независимые случайные величины Х1, Х2,…, Хп, каждая из которых имеет математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. 

При этом М( ) = а,  (используем свойства математического ожидания и дисперсии суммы независимых случайных величин). Оценим вероятность выполнения неравенства .

Применим формулу для вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал:

р ( ) = 2Ф .

Тогда , с учетом того, что

, р ( ) = 2Ф ==2Ф( t ), где .

Отсюда , и предыдущее равенство можно переписать так:

                                .                                 (1)

Итак, значение математического ожидания а с вероятностью (надежностью) γ попадает в интервал , где значение t определяется из таблиц для функции Лапласа так, чтобы выполнялось равенство 2Ф(t) = γ.

 

Пример. Найдем доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины, если объем выборки п = 49, σ = 1,4, а доверительная вероятность γ = 0,9.

Определим t, при котором Ф(t) = 0,9:2 = 0,45.Следовательно, t = 1,645. Тогда

, или 2,471 < a < 3,129.

Найден доверительный интервал, в который попадает а с надежностью 0,9.

 


Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 201; Мы поможем в написании вашей работы!






Мы поможем в написании ваших работ!